Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Три системы с параметром

Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.

Задача 1. При каких значениях параметра a система уравнений

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-(2a+1)x+a^2-3=y}\\{y^2 -(2a+1)y+a^2-3=x}\end{matrix}\]

имеет одно решение?

Заметим, что оба уравнения очень друг на друга похожи. Заменой x на y можно получить из первого второе. То есть в задаче присутствует симметрия. Иначе говоря, можем написать, что если имеется решение (x_0; y_0), то обязательно будет и решение (y_0; x_0). У такой симметричной системы количество решений будет четным (если, конечно, два указанных решения не совпадают – тогда решение одно). Если x=y, то

    \[x^2-(2a+1)x+a^2-3=x\]

    \[x^2-(2a+2)x+a^2-3=0\]

Приравняем дискриминант к нулю, и тогда решение единственное:

    \[\frac{D}{4}=(a+1)^2-a^2+3=0\]

    \[a^2+2a+1-a^2+3=0\]

    \[2a+4=0\]

    \[a=-2\]

На этом этапе решения успокаиваться рано, надо еще проверить, действительно ли система будет иметь одно решение при найденном a, для этого подставим его в систему:

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-(-4+1)x+4-3=y}\\{y^2 -(-4+1)y+4-3=x}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x^2+3x+1=y}\\{y^2 +3y+1=x}\end{matrix}\]

Получили два симметричных уравнения, которые очень удобно вычесть друг из друга:

    \[(x-y)(x+y)+3(x-y)=y-x\]

    \[(x-y)(x+y+4)=0\]

Имеем, что или  x=y, или y=-x-4

Подставляем первый случай в первое уравнение системы:

    \[x^2+3x+1=x\]

    \[x^2+2x+1=0\]

    \[x=y=-1\]

Теперь подставим y=-x-4 в первое уравнение системы:

    \[x^2+3x+1=-x-4\]

    \[x^2+4x+5=0\]

Это уравнение решений не имеет.

В таком случае значение a=-2 нас устраивает.

Ответ: a=-2.

 

Задача 2. При каких значениях параметра a система уравнений

    \[\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+3a}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}\]

имеет единственное решение?

Обращаем внимание на то, что x у нас присутствует или под знаком модуля, или в квадрате, то есть при замене x на -x ничего не изменится. А вот с y такая замена не пройдет. Поэтому если есть решение x_0, то обязательно будет и решение -x_0. Если ввести функцию, то она будет четной. Четная функция имеет симметрично расположенные корни. Их количество может быть нечетным и четным: в последнем случае она не проходит через точку x=0.   Тогда, чтобы получить нечетное количество корней, приравняем x к нулю, заставив таким образом функцию пройти через эту точку:

    \[y^2=1\]

    \[y= \pm 1\]

Тогда параметр найдем, подставив найденные y в первое уравнение:

    \[\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^0+4=3\cdot1+3a}\\{3 \cdot 2^0+4=3\cdot(-1)+3a }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{4=3a}\\{10=3a }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a=\frac{4}{3}}\\{a=\frac{10}{3} }\end{matrix}\]

Теперь снова надо проверить, подойдут ли найденные значения параметра!

Подставляем в исходную систему первое полученное значение:

    \[\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+4}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} -x^2)}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}\]

Во втором уравнении содержатся ограничения на значения x и y, а именно: обе переменных не превосходят 1 по модулю. Поэтому 1\leqslant 2^{\mid x \mid}\leqslant2. Также 0\leqslant \mid x \mid -x^2\leqslant1, и тогда

0\leqslant \frac{5}{3}(\mid x \mid -x^2)\leqslant \frac{5}{3}.  То есть получили, что

    \[y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} -x^2) \geqslant1\]

А нам известно, что наибольшее значение y – это 1. То есть y=1, а x=0.

Первое значение параметра, таким образом, нас полностью устраивает: при a=\frac{4}{3} имеем единственное решение.

Проверим второе значение параметра:

    \[\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+10}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} -x^2)-2}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}\]

Решение этой системы довольно сложное, поэтому попробуем подобрать корни. Если x=0, то из второго y=\pm 1, а если x=\pm 1, то y=0 – это решение «всплывает» при попытке обнулить скобку \mid x\mid -x^2, которая нам мешает. Итак, при втором значении параметра имеем три решения, что нас совсем не устраивает. Поэтому ответ: a=\frac{4}{3}.

 

Задача 3. При каких значениях параметра a система уравнений

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= \mid x\mid (y+2)}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

имеет ровно три решения?

Имеем модуль x. Попробуем раскрыть его и посмотреть, что получится. При x\geqslant 0 получим:

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= x(y+2) }\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)- x(y+2)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2-y-2)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2-4)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

Первое уравнение распадается:

    \[\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+y^2= 4}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

Получили прямую x=0, полуокружность x^2+y^2=2^2 с центром в начале координат и радиусом 2, и прямую, наклоненную к оси x на угол 45^{\circ}.

При x< 0 получим:

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= -x(y+2) }\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)+x(y+2)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2+y+2)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+2y)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}\]

Второе уравнение распадается:

    \[\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+(y^2+2y+1)= 1}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+(y+1)^2= 1}\\{y=x+a}\end{matrix}\]

Получили прямую x=0, полуокружность x^2+(y+1)^2=1 с центром в точке (0; -1) и радиусом 1, и прямую, наклоненную к оси x на угол 45^{\circ}.

Необходимо построить соответствующие элементы и найти такое значение параметра, при котором последняя прямая, положение которой зависит от параметра a, пересекала бы остальные элементы трижды.

Рисунок 1

На рисунке 1 видно, что нужные нам положения рыжей прямой начинаются при a=-2\sqrt{2} (определяется как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с катетом 2), и при a=-2 снова будет два пересечения. Эти точки не войдут в решение.

Рисунок 2

После точки -2 снова имеем три пересечения. Три пересечения будет вплоть до a=0 (точка войдет в решение, так как пересечения тут три, это надо увидеть), затем, выше – 4 пересечения. Еще раз три пересечения встретятся только единожды: при касании прямой и малой полуокружности.

Рисунок 3

Определим значение параметра в этом случае. Это положение соответствует значению параметра a=\sqrt{2}-1 (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника FED с катетом 1,  за вычетом 1).

Ответ: a \in (-2\sqrt{2}; -2) \cup (-2;0] \cup \{\sqrt{2}-1\}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *