Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Три системы с параметром

Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.

Задача 1. При каких значениях параметра система уравнений

   

имеет одно решение?

Заметим, что оба уравнения очень друг на друга похожи. Заменой на можно получить из первого второе. То есть в задаче присутствует симметрия. Иначе говоря, можем написать, что если имеется решение , то обязательно будет и решение . У такой симметричной системы количество решений будет четным (если, конечно, два указанных решения не совпадают – тогда решение одно). Если , то

   

   

Приравняем дискриминант к нулю, и тогда решение единственное:

   

   

   

   

На этом этапе решения успокаиваться рано, надо еще проверить, действительно ли система будет иметь одно решение при найденном , для этого подставим его в систему:

   

   

Получили два симметричных уравнения, которые очень удобно вычесть друг из друга:

   

   

Имеем, что или  , или

Подставляем первый случай в первое уравнение системы:

   

   

   

Теперь подставим в первое уравнение системы:

   

   

Это уравнение решений не имеет.

В таком случае значение нас устраивает.

Ответ: .

 

Задача 2. При каких значениях параметра система уравнений

   

имеет единственное решение?

Обращаем внимание на то, что у нас присутствует или под знаком модуля, или в квадрате, то есть при замене на ничего не изменится. А вот с такая замена не пройдет. Поэтому если есть решение , то обязательно будет и решение . Если ввести функцию, то она будет четной. Четная функция имеет симметрично расположенные корни. Их количество может быть нечетным и четным: в последнем случае она не проходит через точку .   Тогда, чтобы получить нечетное количество корней, приравняем к нулю, заставив таким образом функцию пройти через эту точку:

   

   

Тогда параметр найдем, подставив найденные в первое уравнение:

   

   

   

Теперь снова надо проверить, подойдут ли найденные значения параметра!

Подставляем в исходную систему первое полученное значение:

   

   

Во втором уравнении содержатся ограничения на значения и , а именно: обе переменных не превосходят 1 по модулю. Поэтому . Также , и тогда

.  То есть получили, что

   

А нам известно, что наибольшее значение – это 1. То есть , а .

Первое значение параметра, таким образом, нас полностью устраивает: при имеем единственное решение.

Проверим второе значение параметра:

   

   

Решение этой системы довольно сложное, поэтому попробуем подобрать корни. Если , то из второго , а если , то – это решение «всплывает» при попытке обнулить скобку , которая нам мешает. Итак, при втором значении параметра имеем три решения, что нас совсем не устраивает. Поэтому ответ: .

 

Задача 3. При каких значениях параметра система уравнений

   

имеет ровно три решения?

Имеем модуль . Попробуем раскрыть его и посмотреть, что получится. При получим:

   

   

   

   

Первое уравнение распадается:

   

Получили прямую , полуокружность с центром в начале координат и радиусом 2, и прямую, наклоненную к оси на угол .

При получим:

   

   

   

   

Второе уравнение распадается:

   

   

Получили прямую , полуокружность с центром в точке (0; -1) и радиусом 1, и прямую, наклоненную к оси на угол .

Необходимо построить соответствующие элементы и найти такое значение параметра, при котором последняя прямая, положение которой зависит от параметра , пересекала бы остальные элементы трижды.

Рисунок 1

На рисунке 1 видно, что нужные нам положения рыжей прямой начинаются при (определяется как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 2), и при снова будет два пересечения. Эти точки не войдут в решение.

Рисунок 2

После точки снова имеем три пересечения. Три пересечения будет вплоть до (точка войдет в решение, так как пересечения тут три, это надо увидеть), затем, выше – 4 пересечения. Еще раз три пересечения встретятся только единожды: при касании прямой и малой полуокружности.

Рисунок 3

Определим значение параметра в этом случае. Это положение соответствует значению параметра (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 1,  за вычетом 1).

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *