[latexpage]
Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.
Задача. При каких $a$ уравнение
$$x^4+(a-1)x^3+x^2+(a-1)x+1=0$$
имеет ровно 1 отрицательный корень?
Решение 1.
Пусть $1- a =b$, тогда
$$ x^4-bx^3+x^2-bx+1=0$$
$$x^3(x-b)+x(x—b)+1=0$$
$$(x-b)( x^3+x)=-1$$
Если $x=b$, то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при этом условии равна 0, а правая – нет.
При условии, что $x \neq b$ можно записать
$$ x^3+x=\frac{1}{b-x}$$
Пусть $f_1(x)=x^3+x$, $f_2(x)= \frac{1}{b-x}$. Первая функция возрастающая, и нечетна. Вторая – гипербола. Если уравнение имеет 1 корень – нужно, чтобы происходило касание. То есть функции имели бы общую точку. Поэтому определим производную к первой функции:
$$f_1’(x)=3x^2+1$$
Производная второй:
$$f_2’(x)= (-1)\cdot\frac{1}{(b-x)^2}$$
При касании производные равны:
$$3x_0^2+1=-\frac{1}{(b-x_0)^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Но при касании и сами функции имеют общую точку:
$$ x_0^3+x_0=\frac{1}{b-x_0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Из (2) следует, что
$$ x_0(x_0^2+1) =\frac{1}{b-x_0}$$
И
$$ x_0^2(x_0^2+1)^2 =\frac{1}{(b-x_0)^2}$$
Подставим это в (1):
$$3x_0^2+1= x_0^2(x_0^2+1)^2$$
Откуда
$$3x_0^2+1=x_0^2(x_0^4+2x_0^2+1)$$
$$ x_0^6+2 x_0^4-2 x_0^2-1=0$$
$$ x_0^6- x_0^4+3 x_0^4-3 x_0^2+ x_0^2-1=0$$
$$ x_0^4(x_0^2-1)+3 x_0^2( x_0^2-1)+ x_0^2-1=0$$
$$(x_0^2-1)( x_0^4+3 x_0^2+1)=0$$
Либо
$$ x_0^2=1$$
Тогда $x_0=\pm 1$, либо
$$x_0^4+3 x_0^2+1=0$$
Откуда
$$ x_0^2=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}$$
Это посторонний корень (оба отрицательны).
Таким образом, $x=-1$ и, следовательно,
$$ x^3+x=\frac{1}{b-x}$$
$$-2=\frac{1}{b+1}$$
$$b+1=-0,5$$
$$b=-1,5$$
Тогда
$$a=1-b=1-(-1,5)=2,5$$
Ответ: $a=2,5$.
Решение 2. Заметим, что $x=0$ не может быть корнем уравнения. Заметим также, что уравнение симметрично (инвариантно) относительно замены $x=\frac{1}{x}$:
$$x_0^4+(a-1)x_0^3+x_0^2+(a-1)x_0+1=0$$
Заменим:
$$\frac{1}{ x_0^4}+\frac{a-1}{ x_0^3}+\frac{1}{ x_0^2}+\frac{a-1}{x_0}+1=0$$
Приведем к общему:
$$\frac{1+(a-1)x_0+x_0^2+(a-1)x_0^3+ x_0^4}{ x_0^4}=0$$
Значит, если $x_0$ – корень уравнения, то и $\frac{1}{x_0}$ – тоже корень.
Единственное решение возможно, если $x_0=\frac{1}{x_0}$. То есть
$$x_0^2=1$$
$$x_0=-1$$
Так как положительный нам не подходит по условию. Теперь подставим и найдем $a$:
$$ (-1)^4+(a-1)(-1)^3+(-1)^2+(a-1)(-1)+1=0$$
$$ 1-(a-1)+1-(a-1)+1=0$$
$$-2a=-5$$
$$a=2,5$$
Ответ: $a=2,5$.
Решение 3. Инвариантность можно не увидеть, но возратность-то очевидна. Поэтому делим уравнение на $x^2$, вводим замену $x+\frac{1}{x}=t$ и сводим наше уравнение к уравнению $t^2+(a-1)t-1=0$, которое при любых значениях параметра имеет два корня разных знаков. Из свойств функции $t=x+\frac{1}{x}$ следует, что исходное уравнение будет иметь один отрицательный корень, если корнем квадратного уравнения будет $t=-2$.

К решению 3
Подставляем:
$$(-2)^2+(a-1)(-2)-1=0$$
$$4-2a+2-1=0$$
$$a=2,5$$
Ответ: $a=2,5$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...