Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Три решения одной задачи с параметром

Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.

Задача. При каких a уравнение

    \[x^4+(a-1)x^3+x^2+(a-1)x+1=0\]

имеет ровно 1 отрицательный корень?

Решение 1.

Пусть 1- a =b, тогда

    \[x^4-bx^3+x^2-bx+1=0\]

    \[x^3(x-b)+x(x—b)+1=0\]

    \[(x-b)( x^3+x)=-1\]

Если x=b, то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при этом условии равна 0, а правая – нет.

При условии, что x \neq b можно записать

    \[x^3+x=\frac{1}{b-x}\]

Пусть f_1(x)=x^3+x, f_2(x)= \frac{1}{b-x}. Первая функция возрастающая, и нечетна. Вторая – гипербола. Если уравнение имеет 1 корень – нужно, чтобы происходило касание. То есть функции имели бы общую точку. Поэтому определим производную к первой функции:

    \[f_1'(x)=3x^2+1\]

Производная второй:

    \[f_2'(x)= (-1)\cdot\frac{1}{(b-x)^2}\]

При касании производные равны:

    \[3x_0^2+1=-\frac{1}{(b-x_0)^2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Но при касании и сами функции имеют общую точку:

    \[x_0^3+x_0=\frac{1}{b-x_0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Из (2) следует, что

    \[x_0(x_0^2+1) =\frac{1}{b-x_0}\]

И

    \[x_0^2(x_0^2+1)^2 =\frac{1}{(b-x_0)^2}\]

Подставим это в (1):

    \[3x_0^2+1= x_0^2(x_0^2+1)^2\]

Откуда

    \[3x_0^2+1=x_0^2(x_0^4+2x_0^2+1)\]

    \[x_0^6+2 x_0^4-2 x_0^2-1=0\]

    \[x_0^6- x_0^4+3 x_0^4-3 x_0^2+ x_0^2-1=0\]

    \[x_0^4(x_0^2-1)+3 x_0^2( x_0^2-1)+ x_0^2-1=0\]

    \[(x_0^2-1)( x_0^4+3 x_0^2+1)=0\]

Либо

    \[x_0^2=1\]

Тогда x_0=\pm 1, либо

    \[x_0^4+3 x_0^2+1=0\]

Откуда

    \[x_0^2=\frac{-3\pm \sqrt{9-4}}{2}\]

Это посторонний корень (оба отрицательны).

Таким образом, x=-1 и, следовательно,

    \[x^3+x=\frac{1}{b-x}\]

    \[-2=\frac{1}{b+1}\]

    \[b+1=-0,5\]

    \[b=-1,5\]

Тогда

    \[a=1-b=1-(-1,5)=2,5\]

Ответ: a=2,5.

Решение 2. Заметим, что x=0 не может быть корнем уравнения. Заметим также, что уравнение симметрично (инвариантно) относительно замены x=\frac{1}{x}:

    \[x_0^4+(a-1)x_0^3+x_0^2+(a-1)x_0+1=0\]

Заменим:

    \[\frac{1}{ x_0^4}+\frac{a-1}{ x_0^3}+\frac{1}{ x_0^2}+\frac{a-1}{x_0}+1=0\]

Приведем к общему:

    \[\frac{1+(a-1)x_0+x_0^2+(a-1)x_0^3+ x_0^4}{ x_0^4}=0\]

Значит, если x_0 – корень уравнения, то и \frac{1}{x_0} – тоже корень.

Единственное решение возможно, если x_0=\frac{1}{x_0}. То есть

    \[x_0^2=1\]

    \[x_0=-1\]

Так как положительный нам не подходит по условию. Теперь подставим и найдем a:

    \[(-1)^4+(a-1)(-1)^3+(-1)^2+(a-1)(-1)+1=0\]

    \[1-(a-1)+1-(a-1)+1=0\]

    \[-2a=-5\]

    \[a=2,5\]

Ответ: a=2,5.

Решение 3. Инвариантность можно не увидеть, но возратность-то очевидна. Поэтому делим уравнение на x^2, вводим замену x+\frac{1}{x}=t и сводим наше уравнение к уравнению t^2+(a-1)t-1=0, которое при любых значениях параметра имеет два корня разных знаков. Из свойств функции t=x+\frac{1}{x} следует, что исходное уравнение будет иметь один отрицательный корень, если корнем квадратного уравнения будет t=-2.

К решению 3

Подставляем:

    \[(-2)^2+(a-1)(-2)-1=0\]

    \[4-2a+2-1=0\]

    \[a=2,5\]

Ответ: a=2,5.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *