Три решения одной задачи с параметром

Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.

Задача. При каких уравнение

имеет ровно 1 отрицательный корень?

Решение 1.

Пусть , тогда

Если , то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при этом условии равна 0, а правая – нет.

При условии, что можно записать

Пусть , . Первая функция возрастающая, и нечетна. Вторая – гипербола. Если уравнение имеет 1 корень – нужно, чтобы происходило касание. То есть функции имели бы общую точку. Поэтому определим производную к первой функции:

Производная второй:

При касании производные равны:

Но при касании и сами функции имеют общую точку:

Из (2) следует, что

И

Подставим это в (1):

Откуда

Либо

Тогда , либо

Откуда

Это посторонний корень (оба отрицательны).

Таким образом, и, следовательно,

Тогда

Ответ: .

Решение 2. Заметим, что не может быть корнем уравнения. Заметим также, что уравнение симметрично (инвариантно) относительно замены :

Заменим:

Приведем к общему:

Значит, если – корень уравнения, то и – тоже корень.

Единственное решение возможно, если . То есть

Так как положительный нам не подходит по условию. Теперь подставим и найдем :

Ответ: .

Решение 3. Инвариантность можно не увидеть, но возратность-то очевидна. Поэтому делим уравнение на , вводим замену и сводим наше уравнение к уравнению , которое при любых значениях параметра имеет два корня разных знаков. Из свойств функции следует, что исходное уравнение будет иметь один отрицательный корень, если корнем квадратного уравнения будет .

К решению 3

Подставляем:

Ответ: .