Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Три решения одной задачи с параметром

Предлагаю вам задачу с параметром, которую можно решить тремя способами. Каждый хорош по-своему, и каждый найдет своих приверженцев.

Задача. При каких уравнение

   

имеет ровно 1 отрицательный корень?

Решение 1.

Пусть , тогда

   

   

   

Если , то уравнение не имеет решений, так как левая часть будет при этом условии равна 0, а правая – нет.

При условии, что можно записать

   

Пусть , . Первая функция возрастающая, и нечетна. Вторая – гипербола. Если уравнение имеет 1 корень – нужно, чтобы происходило касание. То есть функции имели бы общую точку. Поэтому определим производную к первой функции:

   

Производная второй:

   

При касании производные равны:

   

Но при касании и сами функции имеют общую точку:

   

Из (2) следует, что

   

И

   

Подставим это в (1):

   

Откуда

   

   

   

   

   

Либо

   

Тогда , либо

   

Откуда

   

Это посторонний корень (оба отрицательны).

Таким образом, и, следовательно,

   

   

   

   

Тогда

   

Ответ: .

Решение 2. Заметим, что не может быть корнем уравнения. Заметим также, что уравнение симметрично (инвариантно) относительно замены :

   

Заменим:

   

Приведем к общему:

   

Значит, если – корень уравнения, то и – тоже корень.

Единственное решение возможно, если . То есть

   

   

Так как положительный нам не подходит по условию. Теперь подставим и найдем :

   

   

   

   

Ответ: .

Решение 3. Инвариантность можно не увидеть, но возратность-то очевидна. Поэтому делим уравнение на , вводим замену и сводим наше уравнение к уравнению , которое при любых значениях параметра имеет два корня разных знаков. Из свойств функции следует, что исходное уравнение будет иметь один отрицательный корень, если корнем квадратного уравнения будет .

К решению 3

Подставляем:

   

   

   

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *