Три окружности

Задача сложная. Требует много дополнительных построений, видения подобных треугольников, применения различных теорем.

Задача. Три окружности $\Alpha$ , $\Upsilon$ и $\Omega$ попарно касаются внешним образом. Пусть $W$ – точка касания $\Alpha$ и $\Omega$ , $Q$ – точка касания $\Upsilon$ и $\Omega$ . Прямая $WQ$ пересекает общую внешнюю касательную к окружностям $\Alpha$ и $\Upsilon$ в точке $S$ . Через точку $S$ проведена касательная к окружности $\Omega$ , $P$ – точка касания. Чему равна длина $SP$ , если радиус $\Upsilon$ равен 11, а радиус $\Alpha$ равен 5?

Рассмотрим рисунок. Надо сказать, что правильно выполненный рисунок – это ключ к решению. Пусть $\Alpha$ – самая маленькая окружность, $\Upsilon$ – средняя и $\Omega$ – самая большая.

Рисунок 1

Хочу обратить внимание, что, если точка $K$ касания окружностей лежит на прямой $FG$ , и это доказывать не надо, то принадлежность точки пересечения прямых $IJ$ и $WQ$ этой же прямой неочевидна. Поэтому необходимо доказать, что точка пересечения этих прямых действительно окажется на прямой $FG$ .

Для доказательства этого факта рассмотрим треугольники $FLG$ и $S'IF$ , где $S'$ – предполагаемая точка пересечения $IJ$ и $WQ$ .

Рисунок 2

Треугольники $FLG$ и $S'IF$ подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол). Коэффициент подобия

$k=\frac{LG}{IF}=\frac{R-r}{r}$

Тогда отрезок $S'F$ равен:

$S'F=\frac{ FG}{k}=\frac{ r }{ R-r }\cdot(R+r)$

Пусть теперь прямая $WQ$ пересекает прямую $FG$ в точке $S''$ .

Точка $W$ лежит на прямой $HF$ . Треугольники $NFW$ и $WHQ$ подобны (оба равнобедренные, и углы $HWQ$ и $NWF$ при основаниях равны, как вертикальные). Тогда, поскольку равны углы при вершинах, которые можно рассматривать как накрестлежащие при пересечении секущей $HF$ прямых $NF$ и $HG$ , то эти прямые параллельны. Проведем $FO \parallel WQ$ .

Тогда треугольник $S''NF$ подобен треугольнику $FGO$ . Определим коэффициент подобия.

$k_1=\frac{OG}{NF}=\frac{R-r}{r}$

Тогда отрезок $S''F$ равен:

$S''F=\frac{ FG}{k}=\frac{ r }{ R-r }\cdot(R+r)$

Тогда $S'F= S''F$ ! А следовательно, точки совпадают, и прямые $IJ$ и $WQ$ пересекаются на прямой $FG$ .

Отрезки $WF=FK$ , $KG=GQ$ , $QH=HW$ . Если рассматривать треугольник $WKQ$ , то эти отрезки могут быть отрезками касательных к описанной около треугольника окружности: