Три окружности

Задача сложная. Требует много дополнительных построений, видения подобных треугольников, применения различных теорем.

Задача. Три окружности , и попарно касаются внешним образом. Пусть – точка касания и , – точка касания и . Прямая пересекает общую внешнюю касательную к окружностям и в точке . Через точку проведена касательная к окружности , – точка касания. Чему равна длина , если радиус равен 11, а радиус равен 5?

Рассмотрим рисунок. Надо сказать, что правильно выполненный рисунок – это ключ к решению. Пусть  – самая маленькая окружность,  – средняя и  – самая большая.

Рисунок 1

Хочу обратить внимание, что, если точка касания окружностей лежит на прямой , и это доказывать не надо, то принадлежность точки пересечения прямых и этой же прямой неочевидна. Поэтому необходимо доказать, что  точка пересечения этих прямых действительно окажется на прямой .

Для доказательства этого факта рассмотрим треугольники и , где – предполагаемая точка пересечения и .

Рисунок 2

Треугольники и подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол). Коэффициент подобия

Тогда отрезок равен:

Пусть теперь прямая пересекает прямую в точке .

Точка лежит на прямой . Треугольники и подобны (оба равнобедренные, и углы  и  при основаниях равны, как вертикальные). Тогда, поскольку равны углы при вершинах, которые можно рассматривать как накрестлежащие при пересечении секущей прямых и , то эти прямые параллельны. Проведем .

Тогда треугольник подобен треугольнику . Определим коэффициент подобия.

Тогда отрезок равен:

Тогда ! А следовательно, точки совпадают, и прямые и пересекаются на прямой .

Отрезки , , . Если рассматривать треугольник , то эти отрезки могут быть отрезками касательных к описанной около треугольника окружности:

Рисунок 3

А теперь воспользуемся свойствами секущих и касательных. Сначала запишем это свойство для большой окружности:

Теперь для рыжей окружности, ведь – касательная к ней:

Тогда . А , в свою очередь, равен

Ответ: