Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Три окружности

Задача сложная. Требует много дополнительных построений, видения подобных треугольников, применения различных теорем.

Задача. Три окружности \alpha, \Upsilon и \Omega попарно касаются внешним образом. Пусть W– точка касания \alpha и \Omega, Q – точка касания \Upsilon и \Omega. Прямая WQ пересекает общую внешнюю касательную к окружностям \alpha и \Upsilon в точке S. Через точку S проведена касательная к окружности \Omega, P – точка касания. Чему равна длина SP, если радиус \Upsilon равен 11, а радиус \alpha равен 5?

Рассмотрим рисунок. Надо сказать, что правильно выполненный рисунок – это ключ к решению. Пусть \alpha – самая маленькая окружность, \Upsilon – средняя и \Omega – самая большая.

Рисунок 1

Хочу обратить внимание, что, если точка K касания окружностей лежит на прямой FG, и это доказывать не надо, то принадлежность точки пересечения прямых IJ и WQ этой же прямой неочевидна. Поэтому необходимо доказать, что  точка пересечения этих прямых действительно окажется на прямой FG.

Для доказательства этого факта рассмотрим треугольники FLG и S'IF, где S' – предполагаемая точка пересечения IJ и WQ.

Рисунок 2

Треугольники FLG и S'IF подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол). Коэффициент подобия

    \[k=\frac{LG}{IF}=\frac{R-r}{r}\]

Тогда отрезок S'F равен:

    \[S'F=\frac{ FG}{k}=\frac{ r }{ R-r }\cdot(R+r)\]

Пусть теперь прямая WQ пересекает прямую FG в точке S''.

Точка W лежит на прямой HF. Треугольники NFW и WHQ подобны (оба равнобедренные, и углы HWQ  и NWF  при основаниях равны, как вертикальные). Тогда, поскольку равны углы при вершинах, которые можно рассматривать как накрестлежащие при пересечении секущей HF прямых NF и HG, то эти прямые параллельны. Проведем FO \parallel WQ.

Тогда треугольник S''NF подобен треугольнику FGO. Определим коэффициент подобия.

    \[k_1=\frac{OG}{NF}=\frac{R-r}{r}\]

Тогда отрезок S''F равен:

    \[S''F=\frac{ FG}{k}=\frac{ r }{ R-r }\cdot(R+r)\]

Тогда S'F= S''F! А следовательно, точки совпадают, и прямые IJ и WQ пересекаются на прямой FG.

Отрезки WF=FK, KG=GQ, QH=HW. Если рассматривать треугольник WKQ, то эти отрезки могут быть отрезками касательных к описанной около треугольника окружности:

Рисунок 3

А теперь воспользуемся свойствами секущих и касательных. Сначала запишем это свойство для большой окружности:

    \[SP^2=SW\cdot SQ\]

Теперь для рыжей окружности, ведь SK – касательная к ней:

    \[SK^2= SW\cdot SQ\]

Тогда SK=SQ. А SK, в свою очередь, равен

    \[SP=SK=SF+FK=\frac{ r }{ R-r }\cdot(R+r)+r=\frac{2Rr}{R-r}\]

    \[SP=\frac{2\cdot11\cdot5}{11-5}=\frac{110}{6}=\frac{55}{3}\]

Ответ: SP=\frac{55}{3}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *