Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика, Олимпиадная физика

Тонкие линзы: решение задач с помощью графика

Тема этой и следующей статей – использование графиков при решении задач на оптику, а именно – задач с линзами. Конспект занятий Пенкина М.А.

Сначала давайте построим график, использование которого сильно облегчит решение задач.

Собирающая линза. Для нее известно, что если расстояние от предмета до линзы меньше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d<F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F-d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}\]

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d>F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{ d - F }\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{ d - F }\]

Тогда график зависимости \Gamma(d) имеет вид

Как видно, увеличение \Gamma=1 в точках d=0 и d=2F. Обе ветви симметричны относительно асимптоты d=F. И одно и то же увеличение может быть получено при двух расстояниях предмета от линзы – d_1 и d_2.

Рассеивающая линза.

Для нее формула линзы

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F+d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F+d}\]

График зависимости \Gamma(d) будет выглядеть так

Пользуясь этими графиками, давайте решим несколько задач.

Задача 1. Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением \Gamma. Предмет перемещают (не трогая линзу) вдоль главной оптической оси на расстояние 0,4F (F – фокусное расстояние линзы) и получают изображение с тем же увеличением. При этом предмет остаётся по одну сторону линзы.

  1. Найти увеличение \Gamma.
  2. На какое расстояние переместилось изображение?

Согласно графику одно и то же увеличение достигается при двух положениях предмета. Для правой и левой ветвей я подписала функциональную зависимость. При d<F имеем мнимое изображение (левая ветвь), при d>F – действительное (правая ветвь).

К задаче 1

По условию линза дает ПРЯМОЕ изображение – а значит, оно мнимое и изначально предмет находится на расстоянии ближе фокусного к линзе. Пусть мы (предмет) находится на расстоянии d_1. Поскольку увеличение не изменилось, то предмет переместили за фокус – на расстояние d_2 от линзы.

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d_1}\]

    \[d_1=F-\frac{F}{\Gamma}\]

И

    \[\Gamma=\frac{F}{ d_2 - F }\]

    \[d_2=F+\frac{F}{\Gamma}\]

Пусть сдвиг предмета

    \[\Delta=d_2-d_1=\frac{2F}{\Gamma}\]

    \[F-d_1=d_2-F=\frac{\Delta}{2}\]

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d_1}=\frac{F}{\frac{\Delta}{2}}=\frac{2F}{\Delta}=\frac{2F}{0,4F}=5\]

Расстояние, на которое переместилось изображение будет суммой f_1 и f_2, так как изображение было мнимым, а стало действительным, то есть сначала оно располагалось с той же стороны, что и предмет, а затем – с  противоположной.

Теперь запишем расстояние от линзы до изображения

    \[f_1=\Gamma d_1=\Gamma F-F\]

    \[f_2=\Gamma d_2=\Gamma F+F\]

    \[f_1+f_2=2\Gamma F\]

    \[\delta=f_1+f_2=2\cdot 5\cdot F=10F\]

Ответ: 1) \Gamma=5;  2) \delta=10F.

Задача 2. Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Если расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, то получается перевёрнутое изображение предмета с увеличением, вчетверо большим первоначального увеличения. С каким увеличением изображался предмет вначале?

К задаче 2

По условию, изображение стало действительным, значит, d стало больше F. Это означает, что мы оказались на правой ветви графика. Это же обстоятельство говорит о том, что линза собирающая. Также по условию увеличение выросло вчетверо, значит, было в 4 раза меньше, то есть мы находились на левой ветви графика в точке 1, которая ниже точки 2 (так как расстояние выросло вдвое также по условию).

Для точки 1

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d}\]

    \[d=F-\frac{F}{\Gamma}\]

Для точки 2

    \[4\Gamma=\frac{F}{2 d - F }\]

    \[2d=F+\frac{F}{4\Gamma}\]

Тогда

    \[2F-\frac{2F}{\Gamma}= F+\frac{F}{4\Gamma}\]

    \[F=\frac{9F}{4\Gamma}\]

    \[\Gamma=\frac{9}{4}\]

Ответ: \Gamma=\frac{9}{4}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *