Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика, Олимпиадная физика

Тонкие линзы: решение задач с помощью графика

Тема этой и следующей статей – использование графиков при решении задач на оптику, а именно – задач с линзами.

Сначала давайте построим график, использование которого сильно облегчит решение задач.

Собирающая линза. Для нее известно, что если расстояние от предмета до линзы меньше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d<F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F-d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}\]

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d>F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{ d - F }\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{ d - F }\]

Тогда график зависимости \Gamma(d) имеет вид

Как видно, увеличение \Gamma=1 в точках d=0 и d=2F. Обе ветви симметричны относительно асимптоты d=F. И одно и то же увеличение может быть получено при двух расстояниях предмета от линзы – d_1 и d_2.

Рассеивающая линза.

Для нее формула линзы

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F+d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F+d}\]

График зависимости \Gamma(d) будет выглядеть так

Пользуясь этими графиками, давайте решим несколько задач.

Задача 1. Тонкая линза создаёт прямое изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением \Gamma. Предмет перемещают (не трогая линзу) вдоль главной оптической оси на расстояние 0,4F (F – фокусное расстояние линзы) и получают изображение с тем же увеличением. При этом предмет остаётся по одну сторону линзы.

  1. Найти увеличение \Gamma.
  2. На какое расстояние переместилось изображение?

Согласно графику одно и то же увеличение достигается при двух положениях предмета. Для правой и левой ветвей я подписала функциональную зависимость. При d<F имеем мнимое изображение (левая ветвь), при d>F – действительное (правая ветвь).

К задаче 1

По условию линза дает ПРЯМОЕ изображение – а значит, оно мнимое и изначально предмет находится на расстоянии ближе фокусного к линзе. Пусть мы (предмет) находится на расстоянии d_1. Поскольку увеличение не изменилось, то предмет переместили за фокус – на расстояние d_2 от линзы.

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d_1}\]

    \[d_1=F-\frac{F}{\Gamma}\]

И

    \[\Gamma=\frac{F}{ d_2 - F }\]

    \[d_2=F+\frac{F}{\Gamma}\]

Пусть сдвиг предмета

    \[\Delta=d_2-d_1=\frac{2F}{\Gamma}\]

    \[F-d_1=d_2-F=\frac{\Delta}{2}\]

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d_1}=\frac{F}{\frac{\Delta}{2}}=\frac{2F}{\Delta}=\frac{2F}{0,4F}=5\]

Расстояние, на которое переместилось изображение будет суммой f_1 и f_2, так как изображение было мнимым, а стало действительным, то есть сначала оно располагалось с той же стороны, что и предмет, а затем – с  противоположной.

Теперь запишем расстояние от линзы до изображения

    \[f_1=\Gamma d_1=\Gamma F-F\]

    \[f_2=\Gamma d_2=\Gamma F+F\]

    \[f_1+f_2=2\Gamma F\]

    \[\delta=f_1+f_2=2\cdot 5\cdot F=10F\]

Ответ: 1) \Gamma=5;  2) \delta=10F.

Задача 2. Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Если расстояние от предмета до линзы увеличить вдвое, то получается перевёрнутое изображение предмета с увеличением, вчетверо большим первоначального увеличения. С каким увеличением изображался предмет вначале?

К задаче 2

По условию, изображение стало действительным, значит, d стало больше F. Это означает, что мы оказались на правой ветви графика. Это же обстоятельство говорит о том, что линза собирающая. Также по условию увеличение выросло вчетверо, значит, было в 4 раза меньше, то есть мы находились на левой ветви графика в точке 1, которая ниже точки 2 (так как расстояние выросло вдвое также по условию).

Для точки 1

    \[\Gamma=\frac{F}{F-d}\]

    \[d=F-\frac{F}{\Gamma}\]

Для точки 2

    \[4\Gamma=\frac{F}{2 d - F }\]

    \[2d=F+\frac{F}{4\Gamma}\]

Тогда

    \[2F-\frac{2F}{\Gamma}= F+\frac{F}{4\Gamma}\]

    \[F=\frac{9F}{4\Gamma}\]

    \[\Gamma=\frac{9}{4}\]

Ответ: \Gamma=\frac{9}{4}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *