Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тепловой баланс

Тепловой баланс

[latexpage]

Задача 1. Сколько нужно килограммов льда, чтобы охладить воду в ванне от $17^{\circ}C$ до $7^{\circ}C$? Объем воды 100 л.  Температура льда $0^{\circ}C$.

Тепло от воды передается льду и он тает. Потом получившаяся при таянии льда вода нагревается до  $7^{\circ}C$. Поэтому $Q_1=Q_2+Q_3$. Запишем количество  теплоты, отдаваемой водой: $Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1$. Количество теплоты, требуемое для расплавления льда: $Q_2=m_l \lambda$. Количество теплоты, требуемое для подогрева воды из растаявшего льда равно $Q_3=m_l c_v {\Delta t}_2$ – масса воды, получившейся изо льда, равна массе льда, а вот объем – нет.

Чтобы определить изменение температуры, нужно всегда отнимать от большей меньшую. При этом будем помнить, что при нагревании, плавлении и парообразовании тело тепло получает, а при охлаждении, кристаллизации и конденсации  – отдает. При составлении уравнения теплового баланса всегда все выделяемое и отдаваемое  тепло ставим в одну часть уравнения, а все поглощаемое – в другую. Поэтому $Q_1=Q_2+Q_3$.

$$ m_v c_v {\Delta t}_1= m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_2$$

$$ m_v c_v {\Delta t}_1= m_l (\lambda + c_v {\Delta t}_2)$$

$$ m_l =\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{\lambda + c_v {\Delta t}_2}$$

Удельная теплоемкость воды – $c_v=4200$ Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – $c_l=2100$ Дж/(кг К). Вода объемом 100 л имеет массу 100 кг. Удельная теплота плавления льда – $\lambda=332\cdot10^3$ Дж/кг.

Вода изменяет температуру с $17^{\circ}C$ до $7^{\circ}C$: ${\Delta t}_1=17^{\circ}-7^{\circ}=10^{\circ}$.

Вода, полученная при таянии льда имеет температуру $0^{\circ}C$, и нагревается до $7^{\circ}C$ – ${\Delta t}_2=7^{\circ}-0^{\circ}=7^{\circ}$.

$$ m_l =\frac{ 100\cdot 4200\cdot10}{332\cdot10^3 + 4200\cdot7}=11,68$$

Ответ: 11,68 кг.

 

Задача 2. Ванну емкостью 100 л  необходимо заполнить водой, имеющей температуру $30^{\circ}C$. Для этого используют воду  температурой $80^{\circ}C$ и лед, взятый при температуре $-20^{\circ}C$. Определите массу льда, который необходимо положить в ванну.

Температура теплового равновесия – $30^{\circ}C$. Вода в ванне остынет до этой температуры, то есть ${\Delta t}_1=80^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ}$. При остывании вода отдаст количество теплоты: $Q_1= m_v c_v {\Delta t}_1$. Лед, прежде чем начнет таять, должен согреться до $0^{\circ}C$. ${\Delta t}_2=0^{\circ}-(-20^{\circ})=20^{\circ}$. На это пойдет количество тепла, равное  $Q_2=m_l c_l {\Delta t}_2$. Потом лед будет таять: $Q_3= m_l \lambda$. Затем полученная изо льда вода нагреется от $0^{\circ}C$ до $30^{\circ}C$. ${\Delta t}_3=30^{\circ}-0^{\circ}=30^{\circ}$. На это нужно $Q_4=m_l c_v {\Delta t}_3$ Дж – здесь указана масса льда, так как масса воды будет равна массе льда.

$$Q_1=Q_2+Q_3+Q_4$$

$$ m_v c_v {\Delta t}_1= m_l c_l {\Delta t}_2+ m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_3$$

$$ m_v c_v {\Delta t}_1= m_l (c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3)$$

$$m_l=\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3}$$

Удельная теплоемкость воды – $c_v=4200$ Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – $c_l=2100$ Дж/(кг К). Удельная теплота плавления льда – $\lambda=332\cdot10^3$ Дж/кг.

$$\frac{m_l}{ m_v }=\frac{ c_v {\Delta t}_1}{c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3}$$

$$\frac{m_l}{ m_v }=\frac{ 4200\cdot50}{2100\cdot20+332\cdot10^3 +  4200\cdot30}=0,421$$

$$m_v=2,37m_l$$

Потребуется второе уравнение: $m_v+m_l=100$.

$$m_l=100-m_v$$

$$m_l=100-2,37m_l$$

$$3,37m_l=100$$

$$m_l=30$$

Ответ: масса льда – 30 кг.

Задача 3. В теплоизолированный откачанный сосуд объемом 11 л положили рядом кусок льда массой 1 кг и кусок меди массой 3 кг. Температура льда $0^{\circ}C$. Определите начальную температуру меди, если в конце процесса в сосуде установилось тепловое равновесие при температуре $100^{\circ}C$.

Медь отдает тепло $Q_1$, которое идет на: а) плавление льда – $Q_2$; б) нагрев воды – $Q_3$; в) испарение воды – $Q_4$.

$$Q_1=Q_2+Q_3+Q_4$$

Удельная теплоемкость воды – $c_v=4200$ Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – $c_l=2100$ Дж/(кг К), удельная теплоемкость меди – $c_m=380$ Дж/(кг К). Удельная теплота плавления льда – $\lambda=332\cdot10^3$ Дж/кг. Удельная теплота парообразования – $c_p=2300\cdot10^3$ Дж/кг.

$$Q_1=m_m c_m {\Delta t}_1$$

Здесь ${\Delta t}_1=t_m-100$ – так как начальную температуру мы не знаем, а конечная – 100. И начальная явно больше, а мы договорились, что будем вычитать из большей – меньшую.

$$Q_2= m_l \lambda$$

$$Q_3=m_l c_v {\Delta t}_2$$

Здесь ${\Delta t}_2=100-0=100$ – так как вода нагрелась от $0^{\circ}$ до $100^{\circ}$.

$$Q_4= m_p c_p$$

В последнем равенстве  мы не знаем массу пара, но можем ее определить. Пар, очевидно, насыщенный – вода кипит в закрытом сосуде. Плотность такого пара определим по таблице, она составляет $\rho_p=588,5$ г/м$^3$. Объем пара – объем сосуда, не занятый медью и водой. Определим объем меди данной массы, если ее плотность равна $\rho_m=8900$ кг/м$^3$:

$$V=\frac{m}{V}=\frac{3}{8900}=3,37\cdot10^{-4}$$

Мы получили объем в м$^3$, в литрах это 0,34. Объем воды массой 1 кг – 1 л. Таким образом, в сосуде будет свободного для пара пространства – $11-1,34=9,66$ л. Масса пара такого объема очень мала: $m=\rho_p\cdot V=5,7$ г – определить плотность пара можно по таблице давлений насыщенного пара.

$$Q_1=Q_2+Q_3+Q_4$$

$$ m_m c_m {\Delta t}_1= m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_2+ m_p c_p $$

$$ 3\cdot 380(t_m-100)= 332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3$$

$$ t_m-100=\frac{332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3}{3\cdot 380}$$

$$ t_m=\frac{332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3}{3\cdot 380}+100=771^{\circ}$$

Ответ: $771^{\circ}$

 

Задача 4. В калориметр налито 2 кг воды при температуре $5^{\circ}C$ и положен кусок льда массой 5 кг, имеющий температуру $-40^{\circ}C$. Определите температуру и объем содержимого калориметра после установления теплового равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Очевидно из условия, что вода будет охлаждаться, а лед – наоборот, получать энергию от воды. Возможно, что вода начнет замерзать – это значит, тепло выделяется. Потом проверим, так ли это. Уравнение теплового баланса:

$$Q_1+Q_3=Q_2$$

$Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1$ – вода охлаждается. Допустим, до нулевой температуры, тогда ${\Delta t}_1=5^{\circ}$.

$Q_2=m_l c_l{\Delta t}_2$  – лед согревается. Пусть до нулевой температуры, тогда ${\Delta t}_2=40^{\circ}$.

Если вода замерзает, то $Q_3= m_v \lambda$. Определим последнее количество теплоты – ведь мы только предположили, что вода начнет замерзать, но пока в этом не уверены.

$$Q_3= Q_2-Q_1= m_l c_l{\Delta t}_2-m_v c_v {\Delta t}_1$$

$$Q_3= 5\cdot2100\cdot40-2\cdot4200\cdot5=420000-42000=378 000$$

Проверим, получится ли такое число джоулей при умножении массы воды на удельную теплоту плавления льда: $Q_3= m_v \lambda=2\cdot 332\cdot10^3$ – очевидно, что равенство не соблюдается. Поэтому делаем вывод: вода начала замерзать, но замерзла не вся, а только часть ее. В процессе кристаллизации температура остается постоянной, поэтому ответ на первый вопрос задачи найден: температура смеси $0^{\circ}C$. Определим, какая часть воды замерзла:

$$m_v=\frac{Q_3}{\lambda}=\frac{378 000}{332 000}=1,14$$

Получается, что замерзнет 1,14 кг воды.

Также, раз температура нулевая, то лед не растаял. Тогда в сосуде находится $2-1,14=0,86$ кг воды, а это 0,86 л, и $5+1,14=6,14$ кг льда. Если 1 кг воды – это 1 л, то лед обладает меньшей плотностью, поэтому его объем равен:

$V=\frac{m}{\rho}=\frac{6,14}{900}=6,82\cdot10^{-3}$ м$^3$, или 6,82 л. Тогда общий объем смеси равен $V_{sm}=0,86+6,82=7,68$ л.

Ответ: температура смеси $0^{\circ}C$, объем 7,68 л.

 

Задача 5. В куске льда, температура которого $0^{\circ}C$, сделано углубление объемом 160 см$^3$. В это углубление налили 60 г воды температурой $75^{\circ}C$. Какой объем будет иметь свободное от воды углубление, когда вода остынет?

Не сказано, что вода замерзла, поэтому место в лунке займет налитая остывшая вода – а это 60 мл, или 60 см$^3$. Теплая вода растопит немного льда в лунке. Так как тепло воды подтопит часть льда и он превратится в воду, объем которой меньше, чем льда, то надо посчитать, какой объем льда растаял и какую часть освободившегося пространства заняла вода, которой стал этот подтаявший лед.

$Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1$ – вода охлаждается. До нулевой температуры, поэтому  ${\Delta t}_1=75^{\circ}-0^{\circ}=75^{\circ}$.

$Q_2= m_l \lambda$ – лед тает.

Уравнение теплового баланса:

$$Q_1=Q_2$$

$$ m_v c_v {\Delta t}_1= m_l \lambda$$

$$m_l=\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{\lambda}$$

$$m_l=\frac{ 60\cdot10^{-3}\cdot4200\cdot75}{332\cdot10^3}$$

$$m_l=57\cdot10^{-3}$$

Льда растает 57 г. То есть талой воды из него образуется 57 мл, или 57 см$^3$. Вычислим, какой объем этот лед занимал, когда был льдом:

$V=\frac{m}{\rho}=\frac{57\cdot10^{-3}}{900}=0,0632\cdot10^{-3}$ м$^3$, или 0,0632 л, или 63,2 см$^3$. Тогда: 60 см$^3$ – займет налитая в лунку вода, 63,2 см$^3$ – освободит пространства растаявший лед, 57 см$^3$ – займет получившаяся из льда вода:

$$160-60+63,2-57=106,2$$

Ответ: 106,2 см$^3$.

 

Задача 6. В калориметр, содержащий 100 г льда при температуре $0^{\circ}C$, впущено 100 г пара при температуре $100^{\circ}C$. Какая температура установится в калориметре? Какова масса полученной воды?

На растапливание льда пойдет $Q_1= m_l \lambda$ Дж тепла. Потом вода, полученная при таянии льда, будет нагреваться. На это понадобится

$Q_2= m_l c_v {\Delta t}_1$ Дж. Пар будет конденсироваться – именно он отдаст тепло, которое пойдет на растапливание льда и нагрев воды. Он может отдать количество тепла $Q_3=m_p c_p$ – если весь превратится в воду. Но это не обязательно так, может быть так, что только часть пара сконденсируется, а часть – нет.  Определим количества теплоты $Q_1$ и $Q_2$:

$$Q_1= m_l \lambda=0,1\cdot332\cdot10^3=3,32\cdot10^4$$

$$Q_2= m_l c_v {\Delta t}_1=0,1\cdot4200\cdot {\Delta t}_1=420{\Delta t}_1$$

$$Q_3= m_p c_p=0,1\cdot2300\cdot10^3=2,3\cdot10^5$$

Сопоставив сумму первых двух с третьим, понимаем, что даже если вода нагреется от $0^{\circ}C$ до $100^{\circ}C$, $Q_1+Q_2 \neq Q_3$. То есть лед растает, полученная вода закипит и все равно останется «лишнее» тепло. А это значит, что не весь пар будет конденсироваться, а только часть. Определим, какая это будет часть:

$$Q_2=42000$$

$$Q_1+Q_2=752 00$$

$$m_p=\frac{ Q_1+Q_2}{c_p}=\frac{75200}{2300\cdot10^3}=0,033$$

Получаем, что достаточно конденсации только 33 г пара, чтобы и растопить лед, и нагреть воду до $100^{\circ}C$. Поскольку во время конденсации температура не меняется, то в калориметре будет температура $100^{\circ}C$. А воды получится: 100 г – изо льда и 33 г – из пара, всего 133 г.

Ответ: $100^{\circ}C$, 133 г.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *