Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тепловой баланс

Тепловой баланс


Задача 1. Сколько нужно килограммов льда, чтобы охладить воду в ванне от 17^{\circ}C до 7^{\circ}C? Объем воды 100 л.  Температура льда 0^{\circ}C.

Тепло от воды передается льду и он тает. Потом получившаяся при таянии льда вода нагревается до  7^{\circ}C. Поэтому Q_1=Q_2+Q_3. Запишем количество  теплоты, отдаваемой водой: Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1. Количество теплоты, требуемое для расплавления льда: Q_2=m_l \lambda. Количество теплоты, требуемое для подогрева воды из растаявшего льда равно Q_3=m_l c_v {\Delta t}_2 – масса воды, получившейся изо льда, равна массе льда, а вот объем – нет.

Чтобы определить изменение температуры, нужно всегда отнимать от большей меньшую. При этом будем помнить, что при нагревании, плавлении и парообразовании тело тепло получает, а при охлаждении, кристаллизации и конденсации  – отдает. При составлении уравнения теплового баланса всегда все выделяемое и отдаваемое  тепло ставим в одну часть уравнения, а все поглощаемое – в другую. Поэтому Q_1=Q_2+Q_3.

    \[m_v c_v {\Delta t}_1= m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_2\]

    \[m_v c_v {\Delta t}_1= m_l (\lambda + c_v {\Delta t}_2)\]

    \[m_l =\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{\lambda + c_v {\Delta t}_2}\]

Удельная теплоемкость воды – c_v=4200 Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – c_l=2100 Дж/(кг К). Вода объемом 100 л имеет массу 100 кг. Удельная теплота плавления льда – \lambda=332\cdot10^3 Дж/кг.

Вода изменяет температуру с 17^{\circ}C до 7^{\circ}C: {\Delta t}_1=17^{\circ}-7^{\circ}=10^{\circ}.

Вода, полученная при таянии льда имеет температуру 0^{\circ}C, и нагревается до 7^{\circ}C{\Delta t}_2=7^{\circ}-0^{\circ}=7^{\circ}.

    \[m_l =\frac{ 100\cdot 4200\cdot10}{332\cdot10^3 + 4200\cdot7}=11,68\]

Ответ: 11,68 кг.

 

Задача 2. Ванну емкостью 100 л  необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30^{\circ}C. Для этого используют воду  температурой 80^{\circ}C и лед, взятый при температуре -20^{\circ}C. Определите массу льда, который необходимо положить в ванну.

Температура теплового равновесия – 30^{\circ}C. Вода в ванне остынет до этой температуры, то есть {\Delta t}_1=80^{\circ}-30^{\circ}=50^{\circ}. При остывании вода отдаст количество теплоты: Q_1= m_v c_v {\Delta t}_1. Лед, прежде чем начнет таять, должен согреться до 0^{\circ}C. {\Delta t}_2=0^{\circ}-(-20^{\circ})=20^{\circ}. На это пойдет количество тепла, равное  Q_2=m_l c_l {\Delta t}_2. Потом лед будет таять: Q_3= m_l \lambda. Затем полученная изо льда вода нагреется от 0^{\circ}C до 30^{\circ}C. {\Delta t}_3=30^{\circ}-0^{\circ}=30^{\circ}. На это нужно Q_4=m_l c_v {\Delta t}_3 Дж – здесь указана масса льда, так как масса воды будет равна массе льда.

    \[Q_1=Q_2+Q_3+Q_4\]

    \[m_v c_v {\Delta t}_1= m_l c_l {\Delta t}_2+ m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_3\]

    \[m_v c_v {\Delta t}_1= m_l (c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3)\]

    \[m_l=\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3}\]

Удельная теплоемкость воды – c_v=4200 Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – c_l=2100 Дж/(кг К). Удельная теплота плавления льда – \lambda=332\cdot10^3 Дж/кг.

    \[\frac{m_l}{ m_v }=\frac{ c_v {\Delta t}_1}{c_l {\Delta t}_2+  \lambda +  c_v {\Delta t}_3}\]

    \[\frac{m_l}{ m_v }=\frac{ 4200\cdot50}{2100\cdot20+332\cdot10^3 +  4200\cdot30}=0,421\]

    \[m_v=2,37m_l\]

Потребуется второе уравнение: m_v+m_l=100.

    \[m_l=100-m_v\]

    \[m_l=100-2,37m_l\]

    \[3,37m_l=100\]

    \[m_l=30\]

Ответ: масса льда – 30 кг.

Задача 3. В теплоизолированный откачанный сосуд объемом 11 л положили рядом кусок льда массой 1 кг и кусок меди массой 3 кг. Температура льда 0^{\circ}C. Определите начальную температуру меди, если в конце процесса в сосуде установилось тепловое равновесие при температуре 100^{\circ}C.

Медь отдает тепло Q_1, которое идет на: а) плавление льда – Q_2; б) нагрев воды – Q_3; в) испарение воды – Q_4.

    \[Q_1=Q_2+Q_3+Q_4\]

Удельная теплоемкость воды – c_v=4200 Дж/(кг К), удельная теплоемкость льда – c_l=2100 Дж/(кг К), удельная теплоемкость меди – c_m=380 Дж/(кг К). Удельная теплота плавления льда – \lambda=332\cdot10^3 Дж/кг. Удельная теплота парообразования – c_p=2300\cdot10^3 Дж/кг.

    \[Q_1=m_m c_m {\Delta t}_1\]

Здесь {\Delta t}_1=t_m-100 – так как начальную температуру мы не знаем, а конечная – 100. И начальная явно больше, а мы договорились, что будем вычитать из большей – меньшую.

    \[Q_2= m_l \lambda\]

    \[Q_3=m_l c_v {\Delta t}_2\]

Здесь {\Delta t}_2=100-0=100 – так как вода нагрелась от 0^{\circ} до 100^{\circ}.

    \[Q_4= m_p c_p\]

В последнем равенстве  мы не знаем массу пара, но можем ее определить. Пар, очевидно, насыщенный – вода кипит в закрытом сосуде. Плотность такого пара определим по таблице, она составляет \rho_p=588,5 г/м^3. Объем пара – объем сосуда, не занятый медью и водой. Определим объем меди данной массы, если ее плотность равна \rho_m=8900 кг/м^3:

    \[V=\frac{m}{V}=\frac{3}{8900}=3,37\cdot10^{-4}\]

Мы получили объем в м^3, в литрах это 0,34. Объем воды массой 1 кг – 1 л. Таким образом, в сосуде будет свободного для пара пространства – 11-1,34=9,66 л. Масса пара такого объема очень мала: m=\rho_p\cdot V=5,7 г – определить плотность пара можно по таблице давлений насыщенного пара.

    \[Q_1=Q_2+Q_3+Q_4\]

    \[m_m c_m {\Delta t}_1= m_l \lambda + m_l c_v {\Delta t}_2+ m_p c_p\]

    \[3\cdot 380(t_m-100)= 332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3\]

    \[t_m-100=\frac{332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3}{3\cdot 380}\]

    \[t_m=\frac{332\cdot10^3 + 4200 \cdot100+ 5,7\cdot10^{-3}\cdot2300\cdot10^3}{3\cdot 380}+100=771^{\circ}\]

Ответ: 771^{\circ}

 

Задача 4. В калориметр налито 2 кг воды при температуре 5^{\circ}C и положен кусок льда массой 5 кг, имеющий температуру -40^{\circ}C. Определите температуру и объем содержимого калориметра после установления теплового равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Очевидно из условия, что вода будет охлаждаться, а лед – наоборот, получать энергию от воды. Возможно, что вода начнет замерзать – это значит, тепло выделяется. Потом проверим, так ли это. Уравнение теплового баланса:

    \[Q_1+Q_3=Q_2\]

Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1 – вода охлаждается. Допустим, до нулевой температуры, тогда {\Delta t}_1=5^{\circ}.

Q_2=m_l c_l{\Delta t}_2  – лед согревается. Пусть до нулевой температуры, тогда {\Delta t}_2=40^{\circ}.

Если вода замерзает, то Q_3= m_v \lambda. Определим последнее количество теплоты – ведь мы только предположили, что вода начнет замерзать, но пока в этом не уверены.

    \[Q_3= Q_2-Q_1= m_l c_l{\Delta t}_2-m_v c_v {\Delta t}_1\]

    \[Q_3= 5\cdot2100\cdot40-2\cdot4200\cdot5=420000-42000=378 000\]

Проверим, получится ли такое число джоулей при умножении массы воды на удельную теплоту плавления льда: Q_3= m_v \lambda=2\cdot 332\cdot10^3 – очевидно, что равенство не соблюдается. Поэтому делаем вывод: вода начала замерзать, но замерзла не вся, а только часть ее. В процессе кристаллизации температура остается постоянной, поэтому ответ на первый вопрос задачи найден: температура смеси 0^{\circ}C. Определим, какая часть воды замерзла:

    \[m_v=\frac{Q_3}{\lambda}=\frac{378 000}{332 000}=1,14\]

Получается, что замерзнет 1,14 кг воды.

Также, раз температура нулевая, то лед не растаял. Тогда в сосуде находится 2-1,14=0,86 кг воды, а это 0,86 л, и 5+1,14=6,14 кг льда. Если 1 кг воды – это 1 л, то лед обладает меньшей плотностью, поэтому его объем равен:

V=\frac{m}{\rho}=\frac{6,14}{900}=6,82\cdot10^{-3} м^3, или 6,82 л. Тогда общий объем смеси равен V_{sm}=0,86+6,82=7,68 л.

Ответ: температура смеси 0^{\circ}C, объем 7,68 л.

 

Задача 5. В куске льда, температура которого 0^{\circ}C, сделано углубление объемом 160 см^3. В это углубление налили 60 г воды температурой 75^{\circ}C. Какой объем будет иметь свободное от воды углубление, когда вода остынет?

Не сказано, что вода замерзла, поэтому место в лунке займет налитая остывшая вода – а это 60 мл, или 60 см^3. Теплая вода растопит немного льда в лунке. Так как тепло воды подтопит часть льда и он превратится в воду, объем которой меньше, чем льда, то надо посчитать, какой объем льда растаял и какую часть освободившегося пространства заняла вода, которой стал этот подтаявший лед.

Q_1=m_v c_v {\Delta t}_1 – вода охлаждается. До нулевой температуры, поэтому  {\Delta t}_1=75^{\circ}-0^{\circ}=75^{\circ}.

Q_2= m_l \lambda – лед тает.

Уравнение теплового баланса:

    \[Q_1=Q_2\]

    \[m_v c_v {\Delta t}_1= m_l \lambda\]

    \[m_l=\frac{ m_v c_v {\Delta t}_1}{\lambda}\]

    \[m_l=\frac{ 60\cdot10^{-3}\cdot4200\cdot75}{332\cdot10^3}\]

    \[m_l=57\cdot10^{-3}\]

Льда растает 57 г. То есть талой воды из него образуется 57 мл, или 57 см^3. Вычислим, какой объем этот лед занимал, когда был льдом:

V=\frac{m}{\rho}=\frac{57\cdot10^{-3}}{900}=0,0632\cdot10^{-3} м^3, или 0,0632 л, или 63,2 см^3. Тогда: 60 см^3 – займет налитая в лунку вода, 63,2 см^3 – освободит пространства растаявший лед, 57 см^3 – займет получившаяся из льда вода:

    \[160-60+63,2-57=106,2\]

Ответ: 106,2 см^3.

 

Задача 6. В калориметр, содержащий 100 г льда при температуре 0^{\circ}C, впущено 100 г пара при температуре 100^{\circ}C. Какая температура установится в калориметре? Какова масса полученной воды?

На растапливание льда пойдет Q_1= m_l \lambda Дж тепла. Потом вода, полученная при таянии льда, будет нагреваться. На это понадобится

Q_2= m_l c_v {\Delta t}_1 Дж. Пар будет конденсироваться – именно он отдаст тепло, которое пойдет на растапливание льда и нагрев воды. Он может отдать количество тепла Q_3=m_p c_p – если весь превратится в воду. Но это не обязательно так, может быть так, что только часть пара сконденсируется, а часть – нет.  Определим количества теплоты Q_1 и Q_2:

    \[Q_1= m_l \lambda=0,1\cdot332\cdot10^3=3,32\cdot10^4\]

    \[Q_2= m_l c_v {\Delta t}_1=0,1\cdot4200\cdot {\Delta t}_1=420{\Delta t}_1\]

    \[Q_3= m_p c_p=0,1\cdot2300\cdot10^3=2,3\cdot10^5\]

Сопоставив сумму первых двух с третьим, понимаем, что даже если вода нагреется от 0^{\circ}C до 100^{\circ}C, Q_1+Q_2 \neq Q_3. То есть лед растает, полученная вода закипит и все равно останется «лишнее» тепло. А это значит, что не весь пар будет конденсироваться, а только часть. Определим, какая это будет часть:

    \[Q_2=42000\]

    \[Q_1+Q_2=752 00\]

    \[m_p=\frac{ Q_1+Q_2}{c_p}=\frac{75200}{2300\cdot10^3}=0,033\]

Получаем, что достаточно конденсации только 33 г пара, чтобы и растопить лед, и нагреть воду до 100^{\circ}C. Поскольку во время конденсации температура не меняется, то в калориметре будет температура 100^{\circ}C. А воды получится: 100 г – изо льда и 33 г – из пара, всего 133 г.

Ответ: 100^{\circ}C, 133 г.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *