Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тепловой баланс

Тепловой баланс – задачки ненулевого уровня.

[latexpage]

Решаем сложные задачи на тепловой баланс. Сложность  примерно соответствует 30-й задаче ЕГЭ, или простой олимпиаде.

 

Задача 1.  После опускания в воду, имеющую температуру $10^{\circ}$ C, тела, нагретого до $100^{\circ}$ C, через некоторое время установилась общая температура $40^{\circ}$ C. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до $100^{\circ}$ C?

Решение. Составим уравнение теплового баланса для первого случая:

$$cm\Delta t=c_vm_v\Delta t_v$$

Левая часть – отданное телом тепло, правая – принятое водой. Поэтому в правой части все помечено индексом $v$, что говорит о том, что все эти величины относятся к воде. Таким образом, изменение температуры тела $\Delta t=60^{\circ}$ C, а воды $\Delta t_v=30^{\circ}$. Обозначим произведение $cm=C$ – это будет теплоемкость погружаемого тела.

Теперь составим уравнение для случая погружения второго тела – второе тело отдает тепло, остывая до $t_k$, а принимают тепло вода и первое тело.

$$cm\Delta t_1=c_vm_v\Delta t_{v1}+cm\Delta t_{v1}$$

Изменения температур можно записать так:

$$\Delta t_1=100-t_k$$

$$\Delta t_{v1}=t_k-40$$

Тогда второе уравнение баланса будет выглядеть так:

$$C(100-t_k)= c_vm_v(t_k-40)+С(t_k-40)$$

Выразим теплоемкость $C$ тела из первого уравнения:

$$C=\frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t }$$

И подставим во второе:

$$\frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t } \cdot(100-t_k)= c_vm_v(t_k-40)+ \frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t } \cdot(t_k-40)$$

Сокращаем на $ c_vm_v$:

$$\frac{ \Delta t_v }{\Delta t } \cdot(100-t_k)= (t_k-40)+ \frac{ \Delta t_v }{\Delta t } \cdot(t_k-40)$$

Подставим числа:

$$\frac{ 30 }{60 } \cdot(100-t_k)= t_k-40+ \frac{ 30 }{60} \cdot(t_k-40)$$

$$100-t_k=2 t_k-80+t_k-40$$

$$4t_k = 220$$

$$t_k = 55$$

Ответ: установится температура $55^{\circ}$ C.

 

Задача 2. Смесь из свинцовых и алюминиевых опилок с общей массой 150 г и температурой $100^{\circ}$ С погружена в калориметр с водой, температура которой $15^{\circ}$ С, а масса 230 г. Окончательная температура установилась $20^{\circ}$ С. Теплоёмкость калориметра 42 Дж/град. Сколько свинца и алюминия было в смеси?

Решение:

Опилки отдают тепло, а приемниками будут вода и калориметр. Калориметр нагреется на $5^{\circ}$ C, поэтому принятое им количество теплоты равно

$$Q_1=C\Delta t=42\cdot 5=210$$

Аналогично, вода примет количество теплоты:

$$Q_2=cm\Delta t=4200\cdot 0,23 \cdot 5=4830$$

Отданное количество теплоты равно:

$$Q_3=c_{Al}m_{Al}\Delta t_1+ c_{Pb}m_{Pb}\Delta t_1$$

Где $\Delta t_1=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$

Составляем уравнение теплового баланса:

$$ c_{Al}m_{Al}\Delta t_1+ c_{Pb}m_{Pb}\Delta t_1=210+4830$$

$$ 920\cdot m_{Al}\cdot 80+ 130 \cdot m_{Pb}\cdot 80=210+4830$$

Учтем, что

$$ m_{Al}+ m_{Pb}=0,15$$

Тогда

$$ 92\cdot m_{Al}\cdot 80+ 13 \cdot (0,15-m_{Al})\cdot 80=21+483$$

$$ 92m_{Al}+ 13 \cdot (0,15-m_{Al})=6,3$$

$$ 92m_{Al}+ 1,95-13m_{Al}=6,3$$

$$ 92m_{Al}+ 1,95-13m_{Al}=6,3$$

$$79 m_{Al}=4,35$$

$$ m_{Al}=0,055$$

Тогда

$$ m_{Pb}=0,095$$

Ответ: алюминиевых опилок – 55 г, свинцовых – 95 г.

Задача 3. В два одинаковых сосуда, содержащих воду (в одном масса воды $m_1=0,10$ кг при температуре $t_1= 45^{\circ}$ С, в другом масса воды $m_2= 0,50$ кг при температуре $t_2 = 24^{\circ}$ , налили поровну ртуть. После установления теплового равновесия в обоих сосудах оказалось, что температура воды в них одна и та же и равна $t_k = 17^{\circ}$ С. Найдите теплоёмкость $C$ сосудов. Удельная теплоёмкость воды $c=4,2$ кДж/(кг$\cdot$ град).

Решение: так как ртуть из одного источника, и имеет одинаковую начальную  температуру, то из обоих сосудов она приняла одно и то же количество теплоты. Поэтому

$$c_vm_1\cdot (45-17)+C\cdot (45-17)=c_vm_2(24-17)+C(24-17)$$

$C$ – теплоемкость калориметра. Первый охладился на $28^{\circ}$, второй – на $7^{\circ}$.

$$4200\cdot 0,1\cdot 28+28C=4200 \cdot0,5\cdot 7+7C$$

$$21C=14700-11760=2940$$

$$C=140$$

Ответ: 140 Дж/град.

 

Задача 4. Имеются два теплоизолированных сосуда. В первом из них находится 5,0 л воды при температуре $t_1 = 60^{\circ}$ С, во втором 1,0 л воды при температуре $t_2= 20^{\circ}$ С. Сначала часть воды перелили из первого сосуда во второй. Затем, когда во втором сосуде установилось тепловое равновесие, из него в первый сосуд отлили столько воды, чтобы её объёмы в сосудах стали равны первоначальным. После этих операций температура воды в первом сосуде стала равной $t_k= 59^{\circ}$ С. Сколько воды переливали из первого сосуда во второй и обратно?

Решение:

Пусть переливали массу воды $m$. Эта масса при первом переливании остыла на $60-t_k$ градусов. А вода во втором сосуде – нагрелась на $t_k-20$ градусов. Можно составить первое уравнение:

$$cm(60-t_k)=c\cdot 1\cdot (t_k-20)$$

Можно сократить на удельную теплоемкость воды и выразить $t_k$.

$$m(60-t_k)=t_k-20$$

$$60m-mt_k=t_k-20$$

$$ t_k +mt_k= 60m +20$$

$$ t_k=\frac{60m +20}{1+m}$$

Теперь переливаем воду массой $m$ при температуре $t_k$ обратно. При этом вода в сосуде массой $5-m$ остывает на 1 градус:

$$cm(59-t_k)=c\cdot (5-m)\cdot 1$$

$$59m-mt_k=5-m$$

$$60m-5 = m\cdot\frac{60m +20}{1+m}$$

$$(60m-5)(1+m) = m\cdot(60m +20)$$

$$(12m-1)(1+m) = m\cdot(12m +4)$$

$$12m+12m^2-1-m-12m^2-4m=0$$

$$7m=1$$

$$m=\frac{1}{7}$$

Ответ: 0,14 кг

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *