Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тепловой баланс

Тепловой баланс – задачки ненулевого уровня.

Решаем сложные задачи на тепловой баланс. Сложность  примерно соответствует 30-й задаче ЕГЭ, или простой олимпиаде.

 

Задача 1.  После опускания в воду, имеющую температуру 10^{\circ} C, тела, нагретого до 100^{\circ} C, через некоторое время установилась общая температура 40^{\circ} C. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до 100^{\circ} C?

Решение. Составим уравнение теплового баланса для первого случая:

    \[cm\Delta t=c_vm_v\Delta t_v\]

Левая часть – отданное телом тепло, правая – принятое водой. Поэтому в правой части все помечено индексом v, что говорит о том, что все эти величины относятся к воде. Таким образом, изменение температуры тела \Delta t=60^{\circ} C, а воды \Delta t_v=30^{\circ}. Обозначим произведение cm=C – это будет теплоемкость погружаемого тела.

Теперь составим уравнение для случая погружения второго тела – второе тело отдает тепло, остывая до t_k, а принимают тепло вода и первое тело.

    \[cm\Delta t_1=c_vm_v\Delta t_{v1}+cm\Delta t_{v1}\]

Изменения температур можно записать так:

    \[\Delta t_1=100-t_k\]

    \[\Delta t_{v1}=t_k-40\]

Тогда второе уравнение баланса будет выглядеть так:

    \[C(100-t_k)= c_vm_v(t_k-40)+С(t_k-40)\]

Выразим теплоемкость C тела из первого уравнения:

    \[C=\frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t }\]

И подставим во второе:

    \[\frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t } \cdot(100-t_k)= c_vm_v(t_k-40)+ \frac{ c_vm_v\Delta t_v }{\Delta t } \cdot(t_k-40)\]

Сокращаем на c_vm_v:

    \[\frac{ \Delta t_v }{\Delta t } \cdot(100-t_k)= (t_k-40)+ \frac{ \Delta t_v }{\Delta t } \cdot(t_k-40)\]

Подставим числа:

    \[\frac{ 30 }{60 } \cdot(100-t_k)= t_k-40+ \frac{ 30 }{60} \cdot(t_k-40)\]

    \[100-t_k=2 t_k-80+t_k-40\]

    \[4t_k = 220\]

    \[t_k = 55\]

Ответ: установится температура 55^{\circ} C.

 

Задача 2. Смесь из свинцовых и алюминиевых опилок с общей массой 150 г и температурой 100^{\circ} С погружена в калориметр с водой, температура которой 15^{\circ} С, а масса 230 г. Окончательная температура установилась 20^{\circ} С. Теплоёмкость калориметра 42 Дж/град. Сколько свинца и алюминия было в смеси?

Решение:

Опилки отдают тепло, а приемниками будут вода и калориметр. Калориметр нагреется на 5^{\circ} C, поэтому принятое им количество теплоты равно

    \[Q_1=C\Delta t=42\cdot 5=210\]

Аналогично, вода примет количество теплоты:

    \[Q_2=cm\Delta t=4200\cdot 0,23 \cdot 5=4830\]

Отданное количество теплоты равно:

    \[Q_3=c_{Al}m_{Al}\Delta t_1+ c_{Pb}m_{Pb}\Delta t_1\]

Где \Delta t_1=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}

Составляем уравнение теплового баланса:

    \[c_{Al}m_{Al}\Delta t_1+ c_{Pb}m_{Pb}\Delta t_1=210+4830\]

    \[920\cdot m_{Al}\cdot 80+ 130 \cdot m_{Pb}\cdot 80=210+4830\]

Учтем, что

    \[m_{Al}+ m_{Pb}=0,15\]

Тогда

    \[92\cdot m_{Al}\cdot 80+ 13 \cdot (0,15-m_{Al})\cdot 80=21+483\]

    \[92m_{Al}+ 13 \cdot (0,15-m_{Al})=6,3\]

    \[92m_{Al}+ 1,95-13m_{Al}=6,3\]

    \[92m_{Al}+ 1,95-13m_{Al}=6,3\]

    \[79 m_{Al}=4,35\]

    \[m_{Al}=0,055\]

Тогда

    \[m_{Pb}=0,095\]

Ответ: алюминиевых опилок – 55 г, свинцовых – 95 г.

Задача 3. В два одинаковых сосуда, содержащих воду (в одном масса воды m_1=0,10 кг при температуре t_1= 45^{\circ} С, в другом масса воды m_2= 0,50 кг при температуре t_2 = 24^{\circ} , налили поровну ртуть. После установления теплового равновесия в обоих сосудах оказалось, что температура воды в них одна и та же и равна t_k = 17^{\circ} С. Найдите теплоёмкость C сосудов. Удельная теплоёмкость воды c=4,2 кДж/(кг\cdot град).

Решение: так как ртуть из одного источника, и имеет одинаковую начальную  температуру, то из обоих сосудов она приняла одно и то же количество теплоты. Поэтому

    \[c_vm_1\cdot (45-17)+C\cdot (45-17)=c_vm_2(24-17)+C(24-17)\]

C – теплоемкость калориметра. Первый охладился на 28^{\circ}, второй – на 7^{\circ}.

    \[4200\cdot 0,1\cdot 28+28C=4200 \cdot0,5\cdot 7+7C\]

    \[21C=14700-11760=2940\]

    \[C=140\]

Ответ: 140 Дж/град.

 

Задача 4. Имеются два теплоизолированных сосуда. В первом из них находится 5,0 л воды при температуре t_1 = 60^{\circ} С, во втором 1,0 л воды при температуре t_2= 20^{\circ} С. Сначала часть воды перелили из первого сосуда во второй. Затем, когда во втором сосуде установилось тепловое равновесие, из него в первый сосуд отлили столько воды, чтобы её объёмы в сосудах стали равны первоначальным. После этих операций температура воды в первом сосуде стала равной t_k= 59^{\circ} С. Сколько воды переливали из первого сосуда во второй и обратно?

Решение:

Пусть переливали массу воды m. Эта масса при первом переливании остыла на 60-t_k градусов. А вода во втором сосуде – нагрелась на t_k-20 градусов. Можно составить первое уравнение:

    \[cm(60-t_k)=c\cdot 1\cdot (t_k-20)\]

Можно сократить на удельную теплоемкость воды и выразить t_k.

    \[m(60-t_k)=t_k-20\]

    \[60m-mt_k=t_k-20\]

    \[t_k +mt_k= 60m +20\]

    \[t_k=\frac{60m +20}{1+m}\]

Теперь переливаем воду массой m при температуре t_k обратно. При этом вода в сосуде массой 5-m остывает на 1 градус:

    \[cm(59-t_k)=c\cdot (5-m)\cdot 1\]

    \[59m-mt_k=5-m\]

    \[60m-5 = m\cdot\frac{60m +20}{1+m}\]

    \[(60m-5)(1+m) = m\cdot(60m +20)\]

    \[(12m-1)(1+m) = m\cdot(12m +4)\]

    \[12m+12m^2-1-m-12m^2-4m=0\]

    \[7m=1\]

    \[m=\frac{1}{7}\]

Ответ: 0,14 кг

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *