Тепловой баланс. Подготовка к олимпиадам.

Эти задачи я использовала при подготовке к олимпиаде семи- и восьмиклассников. Также можно решать их для подготовки к ЕГЭ, для более глубокого проникновения в тему.

Задача 1. На дне глубокой шахты лежало 700 кг льда при температуре С. В шахту сбросили 678 л горячей воды. В момент падения на лед ее температура равнялась С, весь лед при этом растаял. На какой наименьшей глубине находился в шахте лед, если удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кгС), а удельная теплота плавления льда равна   кДж/кг? Трением о воздух в процессе падения пренебречь.

Определим, сколько нужно джоулей, чтобы растопить весь лед:

   

Теперь посмотрим, сколько джоулей отдаст вода, если остынет на С, то есть до нулевой температуры:

   

То есть тепла, связанного с остыванием воды, нам не хватит, чтобы растопить весь лед. Поэтому надо подумать, откуда взялась разница между и . Вода, падая, набрала скорость, то есть обладала кинетической энергией. Эта энергия и преобразовалась в тепло. А превратилась эта энергия в кинетическую из потенциальной, которой вода обладала вверху.  Тогда

   

   

Ответ: м – минимальная высота падения.

Задача 2. Сосуд наполнен до краев водой массой кг с температурой С.  В него аккуратно опускают кусок льда массой кг, имеющий температуру С.  Какая температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж/(кгC), удельная теплота плавления льда кДж/кг. Тепловыми потерями пренебречь.

Так как сосуд наполнен до самых краев, то часть воды выльется. Определим, какая это будет часть, ведь  объем этой части воды совпадает с объемом льда.

   

Таким образом, вылилось 2,3 л воды. Зная плотность воды, находим, что масса этого объема воды 2,3 кг. Тогда воды в сосуде осталось

   

Составим уравнение теплового баланса: потребителями тепла будут лед (на таяние) и получившаяся изо льда вода (на согрев). Отдаст это тепло та вода, что была в сосуде ().

   

   

   

Ответ: .

Задача 3. В бассейн по трубе, в которой установлен нагреватель мощностью  МВт, подается вода из резервуара. Температура воды в резервуаре  С.  В первый раз пустой бассейн заполняется за время  мин, при этом температура воды после заполнения  С.   Во второй раз в бассейне было изначально некоторое количество воды при температуре  С.  Оставшуюся часть заполняли также время  мин. Температура воды после заполнения оказалась  C. Сколько воды первоначально было в бассейне во втором случае? Остыванием воды в бассейне пренебречь. Теплоемкость воды  Дж/кгС.

Мощность нагревателя постоянна, следовательно, он от дал в обоих случаях одно и то же количество теплоты, так как работал одно и то же время. В первом случае тепло пошло на нагрев полного бассейна (вода нагрелась с 5 до 20 градусов, то есть на 15):

   

Откуда можно узнать, сколько всего воды по массе помещается в бассейне.

   

Итак, в бассейне 20 тонн воды. Пусть часть воды, которая была в бассейне во второй раз, равна , а часть, которую мы грели, . Следовательно,

   

Теперь составляем уравнение баланса. Воду массой мы нагрели на 10 градусов, а часть – на 20.

   

Так как

   

То

   

   

   

Ответ: 10000 кг, или 10 т

Задача 4. На плите стоит кастрюля с водой. При нагревании температура воды увеличилась от  C до  C за одну минуту. Какая доля теплоты, получаемой водой при нагревании, рассеивается в окружающем пространстве, если время остывания той же воды от  C  до  C  равно 9,0 минутам?

Так как вода нагрелась в первом случае на 5 градусов, и потом остыла на те же пять градусов, то приобретенное и потерянное количество теплоты – одно и то же. Сначала вода получала тепло от плиты, но и теряла его тоже:

   

Потом – только теряла тепло:

   

Тогда

   

   

   

Ответ: 0,1

Задача 5.  В теплоизолированном сосуде находится смесь льда массой  кг и воды. После начала нагревания температура смеси оставалась постоянной в течение времени  мин, а затем за время  мин повысилась на  С. Определите массу смеси, если считать, что количество теплоты, получаемое системой в единицу времени, постоянно. Удельная теплота плавления льда  кДж/кг, а удельная теплоемкость воды  кДж/(кгК). Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Сначала шло таяние льда, так как температура не менялась. Тогда можно записать, что на плавление льда пошло тепло, равное:

   

Потом нагревалась вода, которая была в сосуде и вода, получившаяся изо льда:

   

Так как – постоянно, то

   

   

Ответ: 3 кг

Задача 6. Кусок льда с вмерзшими в него свинцовыми дробинками общей массой 200 г осторожно опускают в стакан калориметра, доверху наполненный водой. Часть воды при этом выливается и в дальнейшем теплообмене не участвует. Когда система пришла в состояние теплового равновесия, оказалось, что температура воды в калориметре  С . Начальные температуры воды   С, льда  С. Масса воды в калориметре была 1,2 кг. Определите объемное содержание свинца в куске льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь.

Предположим, что лед со свинцом будет плавать, а не тонуть. Тогда по закону Архимеда он вытеснит такой объем воды, что вес этого объема 200 г. То есть воды останется литр. Запишем уравнение теплового баланса для этой системы.

   

   

Зная, что

   

Выразим массу льда (или свинца)

   

И подставим в уравнение теплового баланса:

   

Упрощая это выражение и подставляя все константы, получим

   

Тогда

   

Объемное содержание свинца равно

   

Ответ: .

Задача 7. Волшебник готовит в аптекарском стакане емкостью 0,3 л целебную смесь. Он налил в стакан доверху живую воду температурой С.  К сожалению, стакан с водой остывает на С за пять минут. Для того, чтобы смесь не остывала, волшебник капает в стакан обыкновенную теплую воду с температурой С.  Масса одной капли   0,2 г. Сколько капель в минуту нужно капать в стакан, чтобы температура в нем поддерживалась равной С? На сколько нагреется за одну минуту вода в стакане, если капать в три раза чаще? Теплоемкости живой и обычной воды совпадают. Лишняя вода выливается из носика.

Будем считать, что как только капля обычной воды попадает в стакан, из его носика сразу же падает капля живой, и более в теплообмене не участвует.

Давайте определим, какое количество теплоты теряет стакан за пять минут. Масса воды в нем нам известна, следовательно,

   

Следовательно, простая вода должна «принести» 1260 Дж, чтобы стакан не остывал. При этом простая вода охлаждается на градусов. Тогда

   

Приравнивая количества теплоты, имеем:

   

   

Разделим эту массу на массу капли, чтобы узнать их количество:

   

Так как капать надо в течение 5 минут, то получается, по 15 капель в минуту.

Если капать в три раза чаще, то число капель в минуту будет равняться 45, причем первые 15 капель в минуту будут приносить энергию, достаточную, чтобы поддерживать уровень температуры, а еще 30 капель уже будут нагревать воду в стакане. Следовательно, на нагрев пойдет Дж. Это количество тепла нагреет стакан массой 0,3 кг на

   

Ответ: а) 15 капель в минуту; б) на 2 градуса.

Задача 8. Теплоизолированный сосуд был до краев наполнен водой при температуре С. В середину этого сосуда быстро, но аккуратно опустили деталь, изготовленную из металла плотностью кг/м, нагретую до температуры С, и закрыли крышкой. После установления теплового равновесия температура воды в сосуде стала равна С. Затем в этот же сосуд, наполненный до краев водой при температуре С, вновь быстро, но аккуратно опустили две такие же детали, нагретые до той же температуры С, и закрыли крышкой. В этом случае после установления в сосуде теплового равновесия температура воды равна С. Чему равна удельная теплоемкость металла, из которого изготовлены детали? Плотность воды  1000 кг/м. Удельная теплоемкость воды Дж/(кг *К).

Запишем уравнение теплового баланса для обоих случаев. В первом случае из сосуда выльется объем воды, равный .

   

   

Во втором случае из сосуда выльется вода в количестве :

   

   

Выразим в обоих случаях и приравняем, таким образом мы исключим эту величину. Из первого уравнения:

   

   

   

Из второго уравнения:

   

   

   

Тогда

   

Объем детали сократится.

   

   

   

   

   

Подставим числа:

   

Подсчеты дают Дж/(кг*К)

Ответ: Дж/(кг*К).