Тепловой баланс. Подготовка к олимпиадам.

[latexpage]

Эти задачи я использовала при подготовке к олимпиаде семи- и восьмиклассников. Также можно решать их для подготовки к ЕГЭ, для более глубокого проникновения в тему.

Задача 1. На дне глубокой шахты лежало 700 кг льда при температуре $0^{\circ}$ С. В шахту сбросили 678 л горячей воды. В момент падения на лед ее температура равнялась $80^{\circ}$ С, весь лед при этом растаял. На какой наименьшей глубине находился в шахте лед, если удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кг$\cdot$С), а удельная теплота плавления льда равна $\lambda= 330$  кДж/кг? Трением о воздух в процессе падения пренебречь.

Определим, сколько нужно джоулей, чтобы растопить весь лед:

$$Q_1=\lambda\cdot m_l=330000\cdot700=231\cdot10^6$$

Теперь посмотрим, сколько джоулей отдаст вода, если остынет на $80^{\circ}$ С, то есть до нулевой температуры:

$$Q_2=c_v \cdot m_v\cdot \Delta t=4200\cdot678\cdot80=227,808\cdot10^6$$

Здесь подставлена масса воды, думаю, всем понятно, что 678 л воды имеют массу 678 кг?

То есть тепла, связанного с остыванием воды, нам не хватит, чтобы растопить весь лед. Поэтому надо подумать, откуда взялась разница между $Q_1$ и $Q_2$. Вода, падая, набрала скорость, то есть обладала кинетической энергией. Эта энергия и преобразовалась в тепло. А превратилась эта энергия в кинетическую из потенциальной, которой вода обладала вверху.  Тогда

$$m_vgh=Q_1-Q_2$$

$$h=\frac{ Q_1-Q_2}{m_vg}=\frac{3,192\cdot10^6}{6780}=470,8$$

Ответ: $h=470,8$ м – минимальная высота падения.

Задача 2. Сосуд наполнен до краев водой массой $M=20$ кг с температурой $t_1=10^{\circ}$ С.  В него аккуратно опускают кусок льда массой $m=2,1$ кг, имеющий температуру $t_0=0^{\circ}$ С.  Какая температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж/(кг$\cdot$C), удельная теплота плавления льда $\lambda= 330$ кДж/кг. Тепловыми потерями пренебречь.

Так как сосуд наполнен до самых краев, то часть воды выльется. Определим, какая это будет часть. Масса вылившейся  воды совпадает с массой льда. В этом можно убедиться через давление на дно: если лед уже плавает в сосуде, то, растаяв, он тем самым давление на дно не изменит, а значит, объем вылившейся воды совпадает с объемом погруженной части льда или, попросту, равны массы льда и вылившейся воды.

Таким образом, вылилось 2,1 л воды. Зная плотность воды, находим, что масса этого объема воды 2,1 кг. Тогда воды в сосуде осталось

$$ m_v =M-\Delta m =20-2,1=17,9$$

Составим уравнение теплового баланса: потребителями тепла будут лед (на таяние) и получившаяся изо льда вода (на согрев). Отдаст это тепло та вода, что была в сосуде ($m_v$).

$$\lambda\cdot m_l+c_v m_l t_k=c_v m_v (10-t_k)$$

$$c_v m_l t_k+c_v m_v t_k=10 c_v m_v-\lambda\cdot m_l$$

$$ t_k=\frac{10 c_v m_v-\lambda\cdot m_l }{ c_v m_l +c_v m_v }=\frac{42000\cdot17,9-330000\cdot2,1}{4200\cdot(2,1+17,9)}=0,7$$

Ответ: $ t_k=0,7^{\circ}$.

Задача 3. В бассейн по трубе, в которой установлен нагреватель мощностью $P = 1$ МВт, подается вода из резервуара. Температура воды в резервуаре $t_p=10^{\circ}$ С.  В первый раз пустой бассейн заполняется за время $\tau = 21$ мин, при этом температура воды после заполнения $t_1=20^{\circ}$ С.   Во второй раз в бассейне было изначально некоторое количество воды при температуре $t_0=15^{\circ}$ С.  Оставшуюся часть заполняли также время $\tau = 21$ мин. Температура воды после заполнения оказалась $t_2=25^{\circ}$ C. Сколько воды первоначально было в бассейне во втором случае? Остыванием воды в бассейне пренебречь. Теплоемкость воды $C = 4200$ Дж/кг$\cdot$С.

Мощность нагревателя постоянна, следовательно, он от дал в обоих случаях одно и то же количество теплоты, так как работал одно и то же время. В первом случае тепло пошло на нагрев полного бассейна (вода нагрелась с 5 до 20 градусов, то есть на 15):

$$Q=Pt=c_v m \Delta t$$

Откуда можно узнать, сколько всего воды по массе помещается в бассейне.

$$m=\frac{ Pt }{ c_v  \Delta t }=\frac{10^6\cdot21\cdot60}{4200\cdot15}=20000$$

Итак, в бассейне 20 тонн воды. Пусть часть воды, которая была в бассейне во второй раз, равна $m_1$, а часть, которую мы грели, $m_2$. Следовательно,

$$m_1+m_2=20000$$

Теперь составляем уравнение баланса. Воду массой $m_1$ мы нагрели на 10 градусов, а часть $m_2$ – на 20.

$$Pt=c_v m_1\cdot 10+c_v m_2\cdot20$$

Так как

$$m_2=20000-m_1$$

То

$$Pt=c_v m_1\cdot 10+c_v (20000-m_1)\cdot20$$

$$Pt-400000 c_v =c_v m_1\cdot 10-20c_v m_1$$

$$m_1=\frac{ -Pt+400000 c_v }{10c_v}=\frac{400000\cdot4200-10^6\cdot21\cdot60}{42000}=10000$$

Ответ: 10000 кг, или 10 т

Задача 4. На плите стоит кастрюля с водой. При нагревании температура воды увеличилась от $90^{\circ}$ C до $95^{\circ}$ C за одну минуту. Какая доля теплоты, получаемой водой при нагревании, рассеивается в окружающем пространстве, если время остывания той же воды от $95^{\circ}$ C  до $90^{\circ}$ C  равно 9,0 минутам?

Так как вода нагрелась в первом случае на 5 градусов, и потом остыла на те же пять градусов, то приобретенное и потерянное количество теплоты – одно и то же. Сначала вода получала тепло от плиты, но и теряла его тоже:

$$Q=(P-\Delta P)t_1$$

Потом – только теряла тепло:

$$Q=\Delta P t_2$$

Тогда

$$ (P-\Delta P)t_1=\Delta P t_2$$

$$\Delta P (t_2+t_1)=Pt_1$$

$$\frac{\Delta P}{P}=\frac{ t_1}{ t_2+t_1}=\frac{1}{9+1}=0,1$$

Ответ: 0,1

Задача 5.  В теплоизолированном сосуде находится смесь льда массой $m = 2,1$ кг и воды. После начала нагревания температура смеси оставалась постоянной в течение времени $t_1=11$ мин, а затем за время $t_2=4$ мин повысилась на $\Delta t = 20^{\circ}$ С. Определите массу смеси, если считать, что количество теплоты, получаемое системой в единицу времени, постоянно. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330$ кДж/кг, а удельная теплоемкость воды $c= 4,2$ кДж/(кг$\cdot$К). Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Сначала шло таяние льда, так как температура не менялась. Тогда можно записать, что на плавление льда пошло тепло, равное:

$$Q_1=Pt_1=\lambda m_l$$

Потом нагревалась вода, которая была в сосуде и вода, получившаяся изо льда:

$$Q_2=Pt_2=c_v \Delta t\cdot(m_l+m_v)$$

Так как $P$ – постоянно, то

$$\frac{\lambda m_l }{t_1}=\frac{ c_v \Delta t\cdot(m_l+m_v)}{t_2}$$

$$M=m_l+m_v=\frac{\lambda m_l t_2}{ c_v \Delta t t_1}=\frac{330000\cdot2,1\cdot4}{ 4200\cdot20\cdot11}=3$$

Ответ: 3 кг

Задача 6. Кусок льда с вмерзшими в него свинцовыми дробинками общей массой 200 г осторожно опускают в стакан калориметра, доверху наполненный водой. Часть воды при этом выливается и в дальнейшем теплообмене не участвует. Когда система пришла в состояние теплового равновесия, оказалось, что температура воды в калориметре $t_k=20^{\circ}$ С . Начальные температуры воды  $t_v=40^{\circ}$ С, льда  $t_l=-20^{\circ}$ С. Масса воды в калориметре была 1,2 кг. Определите объемное содержание свинца в куске льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь.

Предположим, что лед со свинцом будет плавать, а не тонуть. Тогда по закону Архимеда он вытеснит такой объем воды, что вес этого объема 200 г. То есть воды останется литр. Запишем уравнение теплового баланса для этой системы.

$$m_l c_l\cdot(0-t_l)+m_{Pb}c_{Pb}\cdot (t_k-t_l)+m_l \lambda+m_l c_v\cdot(t_k-0)=m_v c_v\cdot (40-t_k)$$

$$m_l(-c_l t_l+\lambda+ c_v\cdot t_k)+m_{Pb} c_{Pb}\cdot (t_k-t_l) =m_v c_v\cdot (t_v-t_k)$$

Зная, что

$$ m_{Pb}+m_l=0,2$$

Выразим массу льда (или свинца)

$$ m_{Pb}=0,2-m_l$$

И подставим в уравнение теплового баланса:

$$m_l(-c_l t_l+\lambda+ c_v\cdot t_k)+ (0,2-m_l) c_{Pb}\cdot (t_k-t_l) =m_v c_v\cdot (t_v-t_k)$$

Упрощая это выражение и подставляя все константы, получим

$$m_l=0,183$$

Тогда

$$m_{Pb}=0,017$$

Объемное содержание свинца равно

$$\frac{V_{Pb}}{V}=\frac{m_{Pb}}{\rho_{Pb}}\cdot\frac{1}{\frac{m_l}{\rho_l}+\frac{m_{Pb}}{\rho_{Pb}}}=0,0073$$

Ответ: $\frac{V_{Pb}}{V}=0,7\%$.

Задача 7. Волшебник готовит в аптекарском стакане емкостью 0,3 л целебную смесь. Он налил в стакан доверху живую воду температурой $t_g=30^{\circ}$ С.  К сожалению, стакан с водой остывает на $1^{\circ}$ С за пять минут. Для того, чтобы смесь не остывала, волшебник капает в стакан обыкновенную теплую воду с температурой $t_v=50^{\circ}$ С.  Масса одной капли   0,2 г. Сколько капель в минуту нужно капать в стакан, чтобы температура в нем поддерживалась равной $t_g=30^{\circ}$ С? На сколько нагреется за одну минуту вода в стакане, если капать в три раза чаще? Теплоемкости живой и обычной воды совпадают. Лишняя вода выливается из носика.

Будем считать, что как только капля обычной воды попадает в стакан, из его носика сразу же падает капля живой, и более в теплообмене не участвует.

Давайте определим, какое количество теплоты теряет стакан за пять минут. Масса воды в нем нам известна, следовательно,

$$Q=c_v m \cdot 1=4200\cdot 0,3\cdot 1=1260$$

Следовательно, простая вода должна «принести» 1260 Дж, чтобы стакан не остывал. При этом простая вода охлаждается на $20^{\circ}$ градусов. Тогда

$$Q=c_v m_1\cdot 20=84000m_1$$

Приравнивая количества теплоты, имеем:

$$84000m_1=1260$$

$$m_1=0,015$$

Разделим эту массу на массу капли, чтобы узнать их количество:

$$n =\frac{m_1}{m_k}=\frac{0,015}{0,2\cdot10^{-3}}=75$$

Так как капать надо в течение 5 минут, то получается, по 15 капель в минуту.

Если капать в три раза чаще, то число капель в минуту будет равняться 45, причем первые 15 капель в минуту будут приносить энергию, достаточную, чтобы поддерживать уровень температуры, а еще 30 капель уже будут нагревать воду в стакане. Следовательно, на нагрев пойдет $1260\cdot2=2520$ Дж. Это количество тепла нагреет стакан массой 0,3 кг на

$$\Delta t=\frac{Q_{dob}}{c_v m}=\frac{2520}{4200\cdot0,3}=2$$

На 2 градуса за 5 минут, следовательно, на 0,4 градуса за минуту.

Ответ: а) 15 капель в минуту; б) на 0,4 градуса.

Задача 8. Теплоизолированный сосуд был до краев наполнен водой при температуре $t_0 = 19^{\circ}$ С. В середину этого сосуда быстро, но аккуратно опустили деталь, изготовленную из металла плотностью $\rho_1 = 2700$ кг/м$^3$, нагретую до температуры $t_d = 99^{\circ}$ С, и закрыли крышкой. После установления теплового равновесия температура воды в сосуде стала равна $t_x = 32,2^{\circ}$ С. Затем в этот же сосуд, наполненный до краев водой при температуре $t_0 = 19^{\circ}$ С, вновь быстро, но аккуратно опустили две такие же детали, нагретые до той же температуры $t_d = 99^{\circ}$ С, и закрыли крышкой. В этом случае после установления в сосуде теплового равновесия температура воды равна $t_y = 48,8^{\circ}$ С. Чему равна удельная теплоемкость $c_1$ металла, из которого изготовлены детали? Плотность воды  1000 кг/м$^3$. Удельная теплоемкость воды $с_0 = 4200$ Дж/(кг *К).

Запишем уравнение теплового баланса для обоих случаев. В первом случае из сосуда выльется объем воды, равный $V_d$.

$$m_d c_1(t_d-t_x)=m_{v1} c_0(t_x-t_0)$$

$$c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)=c_0\cdot (V_0-V_d)\rho_0(t_x-t_0)$$

Во втором случае из сосуда выльется вода в количестве $2V_d$:

$$2m_d c_1(t_d-t_y)=m_{v2} c_0(t_y-t_0)$$

$$2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)=c_0\cdot (V_0-2V_d)\rho_0(t_y-t_0)$$

Выразим в обоих случаях $V_0$ и приравняем, таким образом мы исключим эту величину. Из первого уравнения:

$$c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)=c_0V_0\rho_0(t_x-t_0)- c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)$$

$$ c_0V_0\rho_0(t_x-t_0)= c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)$$

$$ c_0V_0\rho_0=\frac{ c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}$$

Из второго уравнения:

$$2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)=c_0V_0\rho_0(t_y-t_0)- 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)$$

$$c_0V_0\rho_0(t_y-t_0)= 2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)$$

$$c_0V_0\rho_0=\frac{2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}$$

Тогда

$$\frac{ c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}=\frac{2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}$$

Объем детали сократится.

$$\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0  \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}=\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0  \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}$$

$$\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)}{ t_x-t_0}+c_0  \rho_0=\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}+ 2c_0  \rho_0$$

$$\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)}{ t_x-t_0}-\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}=c_0  \rho_0$$

$$c_1\rho_d\left(\frac{ t_d-t_x}{ t_x-t_0}-\frac{2(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}\right)=c_0  \rho_0$$

$$c_1=\frac{c_0  \rho_0}{\rho_d\left(\frac{ t_d-t_x}{ t_x-t_0}-\frac{2(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}\right)}$$

Подставим числа:

$$c_1=\frac{4200\cdot1000}{2700\left(\frac{ 99-32,2}{ 32,2-19}-\frac{2(99-48,8)}{ 48,8-19}\right)}$$

Подсчеты дают $c_1=920$ Дж/(кг*К)

Ответ: $c_1=920$ Дж/(кг*К).