Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Тепловой баланс

Тепловой баланс. Подготовка к олимпиадам.

Эти задачи я использовала при подготовке к олимпиаде семи- и восьмиклассников. Также можно решать их для подготовки к ЕГЭ, для более глубокого проникновения в тему.

Задача 1. На дне глубокой шахты лежало 700 кг льда при температуре 0^{\circ} С. В шахту сбросили 678 л горячей воды. В момент падения на лед ее температура равнялась 80^{\circ} С, весь лед при этом растаял. На какой наименьшей глубине находился в шахте лед, если удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кг\cdotС), а удельная теплота плавления льда равна \lambda= 330  кДж/кг? Трением о воздух в процессе падения пренебречь.

Определим, сколько нужно джоулей, чтобы растопить весь лед:

    \[Q_1=\lambda\cdot m_l=330000\cdot700=231\cdot10^6\]

Теперь посмотрим, сколько джоулей отдаст вода, если остынет на 80^{\circ} С, то есть до нулевой температуры:

    \[Q_2=c_v \cdot m_v\cdot \Delta t=4200\cdot678\cdot80=227,808\cdot10^6\]

Здесь подставлена масса воды, думаю, всем понятно, что 678 л воды имеют массу 678 кг?

То есть тепла, связанного с остыванием воды, нам не хватит, чтобы растопить весь лед. Поэтому надо подумать, откуда взялась разница между Q_1 и Q_2. Вода, падая, набрала скорость, то есть обладала кинетической энергией. Эта энергия и преобразовалась в тепло. А превратилась эта энергия в кинетическую из потенциальной, которой вода обладала вверху.  Тогда

    \[m_vgh=Q_1-Q_2\]

    \[h=\frac{ Q_1-Q_2}{m_vg}=\frac{3,192\cdot10^6}{6780}=470,8\]

Ответ: h=470,8 м – минимальная высота падения.

Задача 2. Сосуд наполнен до краев водой массой M=20 кг с температурой t_1=10^{\circ} С.  В него аккуратно опускают кусок льда массой m=2,1 кг, имеющий температуру t_0=0^{\circ} С.  Какая температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды c = 4200 Дж/(кг\cdotC), удельная теплота плавления льда \lambda= 330 кДж/кг. Тепловыми потерями пренебречь.

Так как сосуд наполнен до самых краев, то часть воды выльется. Определим, какая это будет часть. Масса вылившейся  воды совпадает с массой льда. В этом можно убедиться через давление на дно: если лед уже плавает в сосуде, то, растаяв, он тем самым давление на дно не изменит, а значит, объем вылившейся воды совпадает с объемом погруженной части льда или, попросту, равны массы льда и вылившейся воды.

Таким образом, вылилось 2,1 л воды. Зная плотность воды, находим, что масса этого объема воды 2,1 кг. Тогда воды в сосуде осталось

    \[m_v =M-\Delta m =20-2,1=17,9\]

Составим уравнение теплового баланса: потребителями тепла будут лед (на таяние) и получившаяся изо льда вода (на согрев). Отдаст это тепло та вода, что была в сосуде (m_v).

    \[\lambda\cdot m_l+c_v m_l t_k=c_v m_v (10-t_k)\]

    \[c_v m_l t_k+c_v m_v t_k=10 c_v m_v-\lambda\cdot m_l\]

    \[t_k=\frac{10 c_v m_v-\lambda\cdot m_l }{ c_v m_l +c_v m_v }=\frac{42000\cdot17,9-330000\cdot2,1}{4200\cdot(2,1+17,9)}=0,7\]

Ответ: t_k=0,7^{\circ}.

Задача 3. В бассейн по трубе, в которой установлен нагреватель мощностью P = 1 МВт, подается вода из резервуара. Температура воды в резервуаре t_p=10^{\circ} С.  В первый раз пустой бассейн заполняется за время \tau = 21 мин, при этом температура воды после заполнения t_1=20^{\circ} С.   Во второй раз в бассейне было изначально некоторое количество воды при температуре t_0=15^{\circ} С.  Оставшуюся часть заполняли также время \tau = 21 мин. Температура воды после заполнения оказалась t_2=25^{\circ} C. Сколько воды первоначально было в бассейне во втором случае? Остыванием воды в бассейне пренебречь. Теплоемкость воды C = 4200 Дж/кг\cdotС.

Мощность нагревателя постоянна, следовательно, он от дал в обоих случаях одно и то же количество теплоты, так как работал одно и то же время. В первом случае тепло пошло на нагрев полного бассейна (вода нагрелась с 5 до 20 градусов, то есть на 15):

    \[Q=Pt=c_v m \Delta t\]

Откуда можно узнать, сколько всего воды по массе помещается в бассейне.

    \[m=\frac{ Pt }{ c_v  \Delta t }=\frac{10^6\cdot21\cdot60}{4200\cdot15}=20000\]

Итак, в бассейне 20 тонн воды. Пусть часть воды, которая была в бассейне во второй раз, равна m_1, а часть, которую мы грели, m_2. Следовательно,

    \[m_1+m_2=20000\]

Теперь составляем уравнение баланса. Воду массой m_1 мы нагрели на 10 градусов, а часть m_2 – на 20.

    \[Pt=c_v m_1\cdot 10+c_v m_2\cdot20\]

Так как

    \[m_2=20000-m_1\]

То

    \[Pt=c_v m_1\cdot 10+c_v (20000-m_1)\cdot20\]

    \[Pt-400000 c_v =c_v m_1\cdot 10-20c_v m_1\]

    \[m_1=\frac{ -Pt+400000 c_v }{10c_v}=\frac{400000\cdot4200-10^6\cdot21\cdot60}{42000}=10000\]

Ответ: 10000 кг, или 10 т

Задача 4. На плите стоит кастрюля с водой. При нагревании температура воды увеличилась от 90^{\circ} C до 95^{\circ} C за одну минуту. Какая доля теплоты, получаемой водой при нагревании, рассеивается в окружающем пространстве, если время остывания той же воды от 95^{\circ} C  до 90^{\circ} C  равно 9,0 минутам?

Так как вода нагрелась в первом случае на 5 градусов, и потом остыла на те же пять градусов, то приобретенное и потерянное количество теплоты – одно и то же. Сначала вода получала тепло от плиты, но и теряла его тоже:

    \[Q=(P-\Delta P)t_1\]

Потом – только теряла тепло:

    \[Q=\Delta P t_2\]

Тогда

    \[(P-\Delta P)t_1=\Delta P t_2\]

    \[\Delta P (t_2+t_1)=Pt_1\]

    \[\frac{\Delta P}{P}=\frac{ t_1}{ t_2+t_1}=\frac{1}{9+1}=0,1\]

Ответ: 0,1

Задача 5.  В теплоизолированном сосуде находится смесь льда массой m = 2,1 кг и воды. После начала нагревания температура смеси оставалась постоянной в течение времени t_1=11 мин, а затем за время t_2=4 мин повысилась на \Delta t = 20^{\circ} С. Определите массу смеси, если считать, что количество теплоты, получаемое системой в единицу времени, постоянно. Удельная теплота плавления льда \lambda = 330 кДж/кг, а удельная теплоемкость воды c= 4,2 кДж/(кг\cdotК). Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Сначала шло таяние льда, так как температура не менялась. Тогда можно записать, что на плавление льда пошло тепло, равное:

    \[Q_1=Pt_1=\lambda m_l\]

Потом нагревалась вода, которая была в сосуде и вода, получившаяся изо льда:

    \[Q_2=Pt_2=c_v \Delta t\cdot(m_l+m_v)\]

Так как P – постоянно, то

    \[\frac{\lambda m_l }{t_1}=\frac{ c_v \Delta t\cdot(m_l+m_v)}{t_2}\]

    \[M=m_l+m_v=\frac{\lambda m_l t_2}{ c_v \Delta t t_1}=\frac{330000\cdot2,1\cdot4}{ 4200\cdot20\cdot11}=3\]

Ответ: 3 кг

Задача 6. Кусок льда с вмерзшими в него свинцовыми дробинками общей массой 200 г осторожно опускают в стакан калориметра, доверху наполненный водой. Часть воды при этом выливается и в дальнейшем теплообмене не участвует. Когда система пришла в состояние теплового равновесия, оказалось, что температура воды в калориметре t_k=20^{\circ} С . Начальные температуры воды  t_v=40^{\circ} С, льда  t_l=-20^{\circ} С. Масса воды в калориметре была 1,2 кг. Определите объемное содержание свинца в куске льда. Теплоемкостью калориметра пренебречь.

Предположим, что лед со свинцом будет плавать, а не тонуть. Тогда по закону Архимеда он вытеснит такой объем воды, что вес этого объема 200 г. То есть воды останется литр. Запишем уравнение теплового баланса для этой системы.

    \[m_l c_l\cdot(0-t_l)+m_{Pb}c_{Pb}\cdot (t_k-t_l)+m_l \lambda+m_l c_v\cdot(t_k-0)=m_v c_v\cdot (40-t_k)\]

    \[m_l(-c_l t_l+\lambda+ c_v\cdot t_k)+m_{Pb} c_{Pb}\cdot (t_k-t_l) =m_v c_v\cdot (t_v-t_k)\]

Зная, что

    \[m_{Pb}+m_l=0,2\]

Выразим массу льда (или свинца)

    \[m_{Pb}=0,2-m_l\]

И подставим в уравнение теплового баланса:

    \[m_l(-c_l t_l+\lambda+ c_v\cdot t_k)+ (0,2-m_l) c_{Pb}\cdot (t_k-t_l) =m_v c_v\cdot (t_v-t_k)\]

Упрощая это выражение и подставляя все константы, получим

    \[m_l=0,183\]

Тогда

    \[m_{Pb}=0,017\]

Объемное содержание свинца равно

    \[\frac{V_{Pb}}{V}=\frac{m_{Pb}}{\rho_{Pb}}\cdot\frac{1}{\frac{m_l}{\rho_l}+\frac{m_{Pb}}{\rho_{Pb}}}=0,0073\]

Ответ: \frac{V_{Pb}}{V}=0,7\%.

Задача 7. Волшебник готовит в аптекарском стакане емкостью 0,3 л целебную смесь. Он налил в стакан доверху живую воду температурой t_g=30^{\circ} С.  К сожалению, стакан с водой остывает на 1^{\circ} С за пять минут. Для того, чтобы смесь не остывала, волшебник капает в стакан обыкновенную теплую воду с температурой t_v=50^{\circ} С.  Масса одной капли   0,2 г. Сколько капель в минуту нужно капать в стакан, чтобы температура в нем поддерживалась равной t_g=30^{\circ} С? На сколько нагреется за одну минуту вода в стакане, если капать в три раза чаще? Теплоемкости живой и обычной воды совпадают. Лишняя вода выливается из носика.

Будем считать, что как только капля обычной воды попадает в стакан, из его носика сразу же падает капля живой, и более в теплообмене не участвует.

Давайте определим, какое количество теплоты теряет стакан за пять минут. Масса воды в нем нам известна, следовательно,

    \[Q=c_v m \cdot 1=4200\cdot 0,3\cdot 1=1260\]

Следовательно, простая вода должна «принести» 1260 Дж, чтобы стакан не остывал. При этом простая вода охлаждается на 20^{\circ} градусов. Тогда

    \[Q=c_v m_1\cdot 20=84000m_1\]

Приравнивая количества теплоты, имеем:

    \[84000m_1=1260\]

    \[m_1=0,015\]

Разделим эту массу на массу капли, чтобы узнать их количество:

    \[n =\frac{m_1}{m_k}=\frac{0,015}{0,2\cdot10^{-3}}=75\]

Так как капать надо в течение 5 минут, то получается, по 15 капель в минуту.

Если капать в три раза чаще, то число капель в минуту будет равняться 45, причем первые 15 капель в минуту будут приносить энергию, достаточную, чтобы поддерживать уровень температуры, а еще 30 капель уже будут нагревать воду в стакане. Следовательно, на нагрев пойдет 1260\cdot2=2520 Дж. Это количество тепла нагреет стакан массой 0,3 кг на

    \[\Delta t=\frac{Q_{dob}}{c_v m}=\frac{2520}{4200\cdot0,3}=2\]

Ответ: а) 15 капель в минуту; б) на 2 градуса.

Задача 8. Теплоизолированный сосуд был до краев наполнен водой при температуре t_0 = 19^{\circ} С. В середину этого сосуда быстро, но аккуратно опустили деталь, изготовленную из металла плотностью \rho_1 = 2700 кг/м^3, нагретую до температуры t_d = 99^{\circ} С, и закрыли крышкой. После установления теплового равновесия температура воды в сосуде стала равна t_x = 32,2^{\circ} С. Затем в этот же сосуд, наполненный до краев водой при температуре t_0 = 19^{\circ} С, вновь быстро, но аккуратно опустили две такие же детали, нагретые до той же температуры t_d = 99^{\circ} С, и закрыли крышкой. В этом случае после установления в сосуде теплового равновесия температура воды равна t_y = 48,8^{\circ} С. Чему равна удельная теплоемкость c_1 металла, из которого изготовлены детали? Плотность воды  1000 кг/м^3. Удельная теплоемкость воды с_0 = 4200 Дж/(кг *К).

Запишем уравнение теплового баланса для обоих случаев. В первом случае из сосуда выльется объем воды, равный V_d.

    \[m_d c_1(t_d-t_x)=m_{v1} c_0(t_x-t_0)\]

    \[c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)=c_0\cdot (V_0-V_d)\rho_0(t_x-t_0)\]

Во втором случае из сосуда выльется вода в количестве 2V_d:

    \[2m_d c_1(t_d-t_y)=m_{v2} c_0(t_y-t_0)\]

    \[2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)=c_0\cdot (V_0-2V_d)\rho_0(t_y-t_0)\]

Выразим в обоих случаях V_0 и приравняем, таким образом мы исключим эту величину. Из первого уравнения:

    \[c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)=c_0V_0\rho_0(t_x-t_0)- c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)\]

    \[c_0V_0\rho_0(t_x-t_0)= c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)\]

    \[c_0V_0\rho_0=\frac{ c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}\]

Из второго уравнения:

    \[2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)=c_0V_0\rho_0(t_y-t_0)- 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)\]

    \[c_0V_0\rho_0(t_y-t_0)= 2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)\]

    \[c_0V_0\rho_0=\frac{2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}\]

Тогда

    \[\frac{ c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0 V_d \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}=\frac{2c_1 V_d \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0 V_d \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}\]

Объем детали сократится.

    \[\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)+ c_0  \rho_0(t_x-t_0)}{ t_x-t_0}=\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)+ 2c_0  \rho_0(t_y-t_0)}{ t_y-t_0}\]

    \[\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)}{ t_x-t_0}+c_0  \rho_0=\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}+ 2c_0  \rho_0\]

    \[\frac{ c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_x)}{ t_x-t_0}-\frac{2c_1  \rho_d\cdot(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}=c_0  \rho_0\]

    \[c_1\rho_d\left(\frac{ t_d-t_x}{ t_x-t_0}-\frac{2(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}\right)=c_0  \rho_0\]

    \[c_1=\frac{c_0  \rho_0}{\rho_d\left(\frac{ t_d-t_x}{ t_x-t_0}-\frac{2(t_d-t_y)}{ t_y-t_0}\right)}\]

Подставим числа:

    \[c_1=\frac{4200\cdot1000}{2700\left(\frac{ 99-32,2}{ 32,2-19}-\frac{2(99-48,8)}{ 48,8-19}\right)}\]

Подсчеты дают c_1=920 Дж/(кг*К)

Ответ: c_1=920 Дж/(кг*К).

Комментариев - 6

  • Адам
    |

    В задаче №2 оставшейся воды было 20-2.3=17.7кг, а тогда в ответе вообще должно быть другое значение.

    Ответить
    • Анна
      |

      Вы ужасно внимательный! СПАСИБО!

      Ответить
  • Адам
    |

    Стараемся.

    Ответить
    • Анна
      |

      Я очень благодарна вам.

      Ответить
  • Сергей
    |

    Здравствуйте, у меня комментарий по второй задаче. Выльется объём воды, равный не всему объёму льда V_л, а только погруженной его части V_п. Дело в том, что объём воды V_в, полученной в результате таяния льда, в точности равен объёму именно погруженной части льда V_п. Это можно получить следующим образом.

    1) Лёд плавает, т.е.
    F_арх = F_тяж
    ρ_в g V_п = m_л g
    V_п = m_л / ρ_в = ρ_л · V_л / ρ_в

    2) Масса воды m_в, полученная при таянии льда, равна массе льда m_л (а объёмы не равны — плотность разная):

    m_в = m_л,
    ρ_в V_в = ρ_л V_л
    V_в = ρ_л · V_л / ρ_в

    3) Замечаем, что объём погруженной части льда V_п равен объёму воды V_в, полученной при таянии льда. Значит, если растает лёд, плавающий в до краёв наполненном сосуде, то из-за его таяния воды не выльется совсем — уровень жидкости не изменится.

    Поэтому при погружении льда в воду выльется столько воды:
    ρ_в · V_п = ρ_в · (ρ_л · V_л / ρ_в) = m_л.

    Ответить
    • Анна
      |

      Ну конечно! Я была невнимательна. Исправила. Мне больше нравится через давление на дно считать. Спасибо большое!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *