Тепловой баланс. 10 класс, подготовка к олимпиадам.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Здесь для вас собраны задачи на тепловой баланс. Очень многие содержат графики, а с графиками “дружат” не все. Давайте тренироваться, чтобы “дружить”.

Задача 1. На рисунке представлен график зависимости температуры $T$ от времени $t$ для куска льда массой $m=480$ г, помещённого при температуре $T_1=-20^\circ C$ в калориметр. В тот же калориметр помещён нагреватель. Найдите, какую мощность развивал нагреватель при плавлении льда, считая эту мощность в течение всего процесса постоянной. Удельная теплота плавления льда $\lambda=330$ кДж/кг. Теплоёмкостью калориметра и нагревателя можно пренебречь.

Решение.

Плавлению соответствует горизонтальный участок графика. Время плавления составляет $\Delta t=8$ мин $=480$ с. Уравнение теплового баланса принимает вид $P\cdot\Delta t=m\cdot\lambda.$ Из этого уравнения находим мощность $P=\frac{m\cdot\lambda}{\Delta t}=330.$

Ответ: 4.

 

Задача 2. В 2012 году зима в Подмосковье была очень холодной, и приходилось использовать системы отопления дачных домов на полную мощность. В одном из них установлено газовое отопительное оборудование с тепловой мощностью $N=17,5$ кВт и КПД $\eta=85\%$ работающее на природном газе — метане $CH_4.$ Сколько пришлось заплатить за газ хозяевам дома после месяца ($t=30$ дней) отопления в максимальном режиме? Цена газа составляла на этот период $a=3$ рубля 30 копеек за $V_0=1$ м$^3$ газа, удельная теплота сгорания метана $q_0=50,4$ МДж/кг. Можно считать, что объём потреблённого газа измеряется счётчиком при нормальных условиях. Ответ выразить в рублях, округлив до целого числа сотен рублей в большую сторону (нормальные условия: температура $T=273$ К, давление $p=10^5$ Па). Молярная масса $CH_4$ равна $\mu=16$ г/моль. Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К).

Решение.

Согласно уравнению Клапейрона – Менделеева, плотность метана $\rho$ при нормальных условиях (температура $T=273$ К, давление $p=10^5$ Па) равна

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}.$$

Теплота сгорания метана в пересчете на кубометр газа равна

$$q=q_0\cdot \rho=q_0\cdot\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}.$$

КПД газового отопительного оборудования равен $\eta,$ а тепловая мощность установки равна $N$ поэтому мощность, выделяющаяся при сгорании газа, выражается по формуле

$$N_{_{3ATP}}=\frac{N}{\eta}.$$

Таким образом, за $t=30$ дней $=30\cdot 86400$ с потребление энергии составит

$$Q=N_{_{3ATP}}\cdot t=\frac{N}{\eta}\cdot t.$$

Объем потреблённого за месяц газа будет равен

$$V=\frac{Q}{q}=\frac{N\cdot t\cdot R\cdot T}{\eta\cdot q_0\cdot p\cdot\mu},$$

а его цена равна

$$A=a\cdot V=\frac{N\cdot t\cdot R\cdot T\cdot a}{\eta\cdot q_0\cdot p\cdot\mu}\approx 5000.$$

Ответ: 5000 рублей.

 

Задача 3. Для отопления дома горячая вода температуры $t_1=80^\circ C$ подается в радиаторы по трубе площадью поперечного сечения $S_1=60$ см$^2$ со скоростью $\upsilon_1=2$ м/с. При ремонте старую трубу заменили на новую с площадью поперечного сечения $S_2=55$ см$^2.$ Какой должна быть скорость движения воды температуры $t_2=85^\circ C$ по новой трубе, чтобы температура $t_0=25^\circ C$ в доме не изменилась? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Так как температура в доме не меняется, то к нему поступает и им рассеивается прежняя тепловая мощность

$$N=\frac{m\cdot c\cdot\Delta t}{\Delta\tau}=\frac{\upsilon\cdot S\cdot\Delta\tau \cdot\rho\cdot c\cdot\Delta t }{\Delta\tau}=\upsilon\cdot S\cdot\rho\cdot c\cdot\Delta t.$$

Приравнивая мощности до и после замены трубы, получаем, что

$$\upsilon_1\cdot S_1\cdot(t_1-t_0)=\upsilon_2\cdot S_2\cdot(t_2-t_0),$$

откуда получаем, что новая скорость движения воды

$$\upsilon_2=\frac{\upsilon_1\cdot S_1\cdot(t_1-t_0)}{S_2\cdot(t_2-t_0)}=2.$$

Ответ: 2 м/с.

 

Задача 4. Есть заполненный водой электрический чайник при температуре $20^\circ C.$ Его включают и нагревают до $30^\circ C,$ на это уходит $\tau_1=40$ с. Затем воду быстро выливают, и вместо неё наливают такое же количество воды при температуре $20^\circ C.$ Однако теперь для того, чтобы нагреть до $30^\circ C,$ уходит уже $\tau_2=30$ с. После этого опять воду быстро выливают, и наливают такое же количество воды при $10^\circ C.$ Сколько понадобится времени, чтобы нагреть её до $20^\circ C$? Потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что температура воды и стенок чайника уравниваются очень быстро. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

В первом случае на $\Delta t=10^\circ C$ мы нагреваем чайник и воду, во втором случае только воду, а в третьем нагреваем воду, но остывает на $10^\circ C$ чайник. Для каждой из трех ситуаций запишем уравнение теплового баланса. Выходит, что

$$\begin{Bmatrix}{N\cdot\tau_1=C_{_B}\cdot\Delta t+C_{_?}\cdot\Delta t,}\\{N\cdot\tau_2=C_{_B}\cdot\Delta t, ~~~~~~~~~~~~~}\\{N\cdot\tau_3=C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_?}\cdot\Delta t.}\end{matrix}$$

Домножим второе уравнение на 2 и вычтем из него первое и третье уравнение, в итоге получим равенство

$$2N\cdot\tau_2-N\cdot\tau_1-N\cdot\tau_3=2C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_?}\cdot\Delta t-C_{_B}\cdot\Delta t+ C_{_?}\cdot\Delta t=0$$

Таким образом, искомое время равно

$$\tau_3=2\tau_2-\tau_1=20.$$

Ответ: 20 с.

 

Задача 5. К открытому калориметру с водой ежесекундно подводили количество теплоты $Q=59$ Дж. На рисунке представлена зависимость температуры $t$ воды от времени $t$. Чему равна начальная масса $m$ воды в калориметре? Ответ выразить в г, округлив до целых. Удельная теплота парообразования воды $L=2,26$ МДж/кг.

Решение.

В течение первых пяти минут воду нагревали от какой-то неизвестной температуры до $100^\circ C.$ В последующие $\tau_2=30$ мин происходил процесс парообразования, и за это время вся вода, находившаяся в калориметре, выкипела. Считая мощность притока тепла постоянной, можно получить, что она равна

$$N=\frac{Q}{\tau_1}=\frac{m\cdot L}{\tau_2},$$

где $\tau_1=1$ с, откуда получаем, что начальная масса воды в калориметре равна

$$m=\frac{Q\cdot\tau_2}{L\cdot\tau_1}=47.$$

Ответ: 47 г.

Задача 6. На выключенной электроплите стоит медная кастрюля массой $M=400$ г, в которой находится лед массой $m_{_\Lambda}=100$ г при температуре $T=-10^\circ C.$ КПД электроплиты $\eta=20\%,$ а сопротивление её нагревательной спирали $R=20$ кОм. Если плиту включить, то по спирали электроплиты начнёт протекать электрический ток силой $I=2$ A. На какое время следует её включить, чтобы четверть массы льда выкипела? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых.

 

Решение.

КПД электроплитки $\eta=\frac{Q_{_{\Pi O\Lambda}}}{Q_{_{3AT}}}\cdot 100\%.$

Затраченная энергия – теплота, которая выделится при прохождении по нагревателю электрического тока. По закону Джоуля-Ленца $Q_{_{3AT}}=I^2\cdot R\cdot\Delta t.$

Полезная энергия – теплота, которая пойдёт на нагревание льда до температуры плавления, на его плавление, на нагрев талой воды до температуры кипения, на выкипание четверти воды (массы льда и получившейся из него воды – одинаковы), а также на нагрев кастрюли, о чем нельзя забывать.

Полезная энергия

$$Q_{_{\Pi O\Lambda}}=c_{_\Lambda}\cdot m_{_\Lambda}\cdot (T_0-T)+\lambda\cdot m_{_\Lambda}+c_{_B}\cdot m_{_\Lambda}\cdot(T_1-T_0)+\frac{1}{4}m_{_\Lambda}\cdot L+c_{_M}\cdot M\cdot(T_1-T),$$

где $T_0=0^\circ C,\quad T_1=100^\circ C.$

Итого

$$\Delta t=\frac{(c_{_\Lambda}\cdot m_{_\Lambda}\cdot (T_0-T)+\lambda\cdot m_{_\Lambda}+c_{_B}\cdot m_{_\Lambda}\cdot(T_1-T_0)+\frac{1}{4}m_{_\Lambda}\cdot L+c_{_M}\cdot M\cdot(T_1-T))\cdot 100\%}{I^2\cdot R\cdot\eta}.$$

Численный расчет даёт $\Delta t\approx 9,5$ с.

Ответ: 9,5 с.

Задача 7. На рисунке представлен график зависимости температуры некоторого вещества от полученного количества теплоты. Первоначально вещество находилось в твёрдом состоянии.

 

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1. Удельная теплоёмкость вещества в твёрдом состоянии больше удельной теплоёмкости вещества в жидком состоянии
2. Температура плавления вещества равна $t_2$
3. В точке В вещество находится в жидком состоянии
4. В процессе перехода из состояния Б в состояние В внутренняя энергия вещества увеличивается
5. Участок графика БВ соответствует процессу кипения вещества

Решение.

Верно, что в точке В вещество находится в жидком состоянии. Также верно, что в процессе перехода из состояния Б в состояние В внутренняя энергия вещества увеличивается.

Ответ: утверждения 3 и 4.

 

Задача 8. Весной хозяева решили протопить дачный домик. Для этого они включили электрический нагреватель, в результате чего температура воздуха в домике установилась $t_1=12^\circ C.$ После включения дополнительного нагревателя в два раза большей мощности, температура в домике возросла до $t_2=20^\circ C.$ Найти температуру атмосферного воздуха на дачном участке, считая её постоянной. Ответ выразить в $^\circ C,$ округлив до целых.

Решение.

Будем считать, что мощность потерь пропорциональна разности температур домика и улицы (площадь поверхности домика не изменяется). Тогда в первом случае мощность потерь равна

$$N=\alpha\cdot(t_1-t_0).$$

Поскольку во втором случае общая мощность, идущая на обогрев, увеличилась втрое, можно записать, что

$$3N=\alpha\cdot(t_2-t_0).$$

Таким образом, справедливо соотношение

$$2t_0=3t_1-t_2,$$

откуда искомая температура равна

$$t_0=8^\circ C.$$

Ответ: 8$^\circ C$.

 

Задача 9. На рисунке представлен график зависимости температуры $T$ жидкости массой $m$ от времени $t$ при осуществлении теплоотвода с постоянной мощностью $P.$

 

В момент времени $t=0$ вода находилась в газообразном состоянии. Какое из приведённых ниже выражений определяет удельную теплоту парообразования воды по результатам этого опыта?

1. $\frac{P\cdot\Delta t_1}{m\cdot\Delta T_1}$
2. $\frac{P\cdot\Delta t_2}{m}$
3. $\frac{P\cdot\Delta t_2}{m\cdot\Delta T_2}$
4. $\frac{P\cdot\Delta t_4}{m}$

Решение.

1. Необходимо определить часть графика, соответствующую конденсации. Это верхний отрезок горизонтальной прямой. Время конденсации равно $\Delta t_2.$

2. Уравнение теплового баланса задаётся соотношением $P\cdot\Delta t_2=m\cdot L,$ откуда определяется удельная теплота парообразования (конденсации) $L=\frac{P\cdot\Delta t_2}{m}.$

Ответ: выражение 2.

 

Задача 10. На рисунке представлен график зависимости температуры $t$ от времени $\tau$ полученный при равномерном нагревании вещества нагревателем постоянной мощности. Первоначально вещество находилось в твердом состоянии.

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

1. Точка 2 на графике соответствует жидкому состоянию вещества.
2. Внутренняя энергия вещества при переходе из состояния 3 в состояние 4 увеличивается.
3. Удельная теплоемкость вещества в твёрдом состоянии равна удельной теплоемкости этого вещества в жидком состоянии.
4. Испарение вещества происходит только в состояниях, соответствующих горизонтальному участку графика.
5. Температура $t_2$ равна температуре плавления данного вещества.

Решение.

Верно, что внутренняя энергия вещества при переходе из состояния 3 в состояние 4 увеличивается, а также, что температура $t_2$ равна температуре плавления данного вещества.

Ответ: утверждения 2 и 5.