Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Тепловой баланс

Тепловой баланс. 10 класс, подготовка к олимпиадам.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Здесь для вас собраны задачи на тепловой баланс. Очень многие содержат графики, а с графиками “дружат” не все. Давайте тренироваться, чтобы “дружить”.

Задача 1. На рисунке представлен график зависимости температуры T от времени t для куска льда массой m=480 г, помещённого при температуре T_1=-20^\circ C в калориметр. В тот же калориметр помещён нагреватель. Найдите, какую мощность развивал нагреватель при плавлении льда, считая эту мощность в течение всего процесса постоянной. Удельная теплота плавления льда \lambda=330 кДж/кг. Теплоёмкостью калориметра и нагревателя можно пренебречь.

К задаче 1

Решение.

Плавлению соответствует горизонтальный участок графика. Время плавления составляет \Delta t=8 мин =480 с. Уравнение теплового баланса принимает вид P\cdot\Delta t=m\cdot\lambda. Из этого уравнения находим мощность P=\frac{m\cdot\lambda}{\Delta t}=330.

Ответ: 4.

 

Задача 2. В 2012 году зима в Подмосковье была очень холодной, и приходилось использовать системы отопления дачных домов на полную мощность. В одном из них установлено газовое отопительное оборудование с тепловой мощностью N=17,5 кВт и КПД \eta=85\% работающее на природном газе — метане CH_4. Сколько пришлось заплатить за газ хозяевам дома после месяца (t=30 дней) отопления в максимальном режиме? Цена газа составляла на этот период a=3 рубля 30 копеек за V_0=1 м^3 газа, удельная теплота сгорания метана q_0=50,4 МДж/кг. Можно считать, что объём потреблённого газа измеряется счётчиком при нормальных условиях. Ответ выразить в рублях, округлив до целого числа сотен рублей в большую сторону (нормальные условия: температура T=273 К, давление p=10^5 Па). Молярная масса CH_4 равна \mu=16 г/моль. Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль\cdotК).

Решение.

Согласно уравнению Клапейрона – Менделеева, плотность метана \rho при нормальных условиях (температура T=273 К, давление p=10^5 Па) равна

    \[\rho=\frac{m}{V}=\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}.\]

Теплота сгорания метана в пересчете на кубометр газа равна

    \[q=q_0\cdot \rho=q_0\cdot\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}.\]

КПД газового отопительного оборудования равен \eta, а тепловая мощность установки равна N поэтому мощность, выделяющаяся при сгорании газа, выражается по формуле

    \[N_{_{3ATP}}=\frac{N}{\eta}.\]

Таким образом, за t=30 дней =30\cdot 86400 с потребление энергии составит

    \[Q=N_{_{3ATP}}\cdot t=\frac{N}{\eta}\cdot t.\]

Объем потреблённого за месяц газа будет равен

    \[V=\frac{Q}{q}=\frac{N\cdot t\cdot R\cdot T}{\eta\cdot q_0\cdot p\cdot\mu},\]

а его цена равна

    \[A=a\cdot V=\frac{N\cdot t\cdot R\cdot T\cdot a}{\eta\cdot q_0\cdot p\cdot\mu}\approx 5000.\]

Ответ: 5000 рублей.

 

Задача 3. Для отопления дома горячая вода температуры t_1=80^\circ C подается в радиаторы по трубе площадью поперечного сечения S_1=60 см^2 со скоростью \upsilon_1=2 м/с. При ремонте старую трубу заменили на новую с площадью поперечного сечения S_2=55 см^2. Какой должна быть скорость движения воды температуры t_2=85^\circ C по новой трубе, чтобы температура t_0=25^\circ C в доме не изменилась? Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Так как температура в доме не меняется, то к нему поступает и им рассеивается прежняя тепловая мощность

    \[N=\frac{m\cdot c\cdot\Delta t}{\Delta\tau}=\frac{\upsilon\cdot S\cdot\Delta\tau \cdot\rho\cdot c\cdot\Delta t }{\Delta\tau}=\upsilon\cdot S\cdot\rho\cdot c\cdot\Delta t.\]

Приравнивая мощности до и после замены трубы, получаем, что

    \[\upsilon_1\cdot S_1\cdot(t_1-t_0)=\upsilon_2\cdot S_2\cdot(t_2-t_0),\]

откуда получаем, что новая скорость движения воды

    \[\upsilon_2=\frac{\upsilon_1\cdot S_1\cdot(t_1-t_0)}{S_2\cdot(t_2-t_0)}=2.\]

Ответ: 2 м/с.

 

Задача 4. Есть заполненный водой электрический чайник при температуре 20^\circ C. Его включают и нагревают до 30^\circ C, на это уходит \tau_1=40 с. Затем воду быстро выливают, и вместо неё наливают такое же количество воды при температуре 20^\circ C. Однако теперь для того, чтобы нагреть до 30^\circ C, уходит уже \tau_2=30 с. После этого опять воду быстро выливают, и наливают такое же количество воды при 10^\circ C. Сколько понадобится времени, чтобы нагреть её до 20^\circ C? Потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что температура воды и стенок чайника уравниваются очень быстро. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

В первом случае на \Delta t=10^\circ C мы нагреваем чайник и воду, во втором случае только воду, а в третьем нагреваем воду, но остывает на 10^\circ C чайник. Для каждой из трех ситуаций запишем уравнение теплового баланса. Выходит, что

    \[\begin{Bmatrix}{N\cdot\tau_1=C_{_B}\cdot\Delta t+C_{_?}\cdot\Delta t,}\\{N\cdot\tau_2=C_{_B}\cdot\Delta t, ~~~~~~~~~~~~~}\\{N\cdot\tau_3=C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_?}\cdot\Delta t.}\end{matrix}\]

Домножим второе уравнение на 2 и вычтем из него первое и третье уравнение, в итоге получим равенство

    \[2N\cdot\tau_2-N\cdot\tau_1-N\cdot\tau_3=2C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_B}\cdot\Delta t-C_{_?}\cdot\Delta t-C_{_B}\cdot\Delta t+ C_{_?}\cdot\Delta t=0\]

Таким образом, искомое время равно

    \[\tau_3=2\tau_2-\tau_1=20.\]

Ответ: 20 с.

 

Задача 5. К открытому калориметру с водой ежесекундно подводили количество теплоты Q=59 Дж. На рисунке представлена зависимость температуры t воды от времени t. Чему равна начальная масса m воды в калориметре? Ответ выразить в г, округлив до целых. Удельная теплота парообразования воды L=2,26 МДж/кг.

К задаче 5

Решение.

В течение первых пяти минут воду нагревали от какой-то неизвестной температуры до 100^\circ C. В последующие \tau_2=30 мин происходил процесс парообразования, и за это время вся вода, находившаяся в калориметре, выкипела. Считая мощность притока тепла постоянной, можно получить, что она равна

    \[N=\frac{Q}{\tau_1}=\frac{m\cdot L}{\tau_2},\]

где \tau_1=1 с, откуда получаем, что начальная масса воды в калориметре равна

    \[m=\frac{Q\cdot\tau_2}{L\cdot\tau_1}=47.\]

Ответ: 47 г.

Задача 6. На выключенной электроплите стоит медная кастрюля массой M=400 г, в которой находится лед массой m_{_\Lambda}=100 г при температуре T=-10^\circ C. КПД электроплиты \eta=20\%, а сопротивление её нагревательной спирали R=20 кОм. Если плиту включить, то по спирали электроплиты начнёт протекать электрический ток силой I=2 A. На какое время следует её включить, чтобы четверть массы льда выкипела? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых.

 

Решение.

КПД электроплитки \eta=\frac{Q_{_{\Pi O\Lambda}}}{Q_{_{3AT}}}\cdot 100\%.

Затраченная энергия – теплота, которая выделится при прохождении по нагревателю электрического тока. По закону Джоуля-Ленца Q_{_{3AT}}=I^2\cdot R\cdot\Delta t.

Полезная энергия – теплота, которая пойдёт на нагревание льда до температуры плавления, на его плавление, на нагрев талой воды до температуры кипения, на выкипание четверти воды (массы льда и получившейся из него воды – одинаковы), а также на нагрев кастрюли, о чем нельзя забывать.

Полезная энергия

    \[Q_{_{\Pi O\Lambda}}=c_{_\Lambda}\cdot m_{_\Lambda}\cdot (T_0-T)+\lambda\cdot m_{_\Lambda}+c_{_B}\cdot m_{_\Lambda}\cdot(T_1-T_0)+\frac{1}{4}m_{_\Lambda}\cdot L+c_{_M}\cdot M\cdot(T_1-T),\]

где T_0=0^\circ C,\quad T_1=100^\circ C.

Итого

    \[\Delta t=\frac{(c_{_\Lambda}\cdot m_{_\Lambda}\cdot (T_0-T)+\lambda\cdot m_{_\Lambda}+c_{_B}\cdot m_{_\Lambda}\cdot(T_1-T_0)+\frac{1}{4}m_{_\Lambda}\cdot L+c_{_M}\cdot M\cdot(T_1-T))\cdot 100\%}{I^2\cdot R\cdot\eta}.\]

Численный расчет даёт \Delta t\approx 9,5 с.

Ответ: 9,5 с.

Задача 7. На рисунке представлен график зависимости температуры некоторого вещества от полученного количества теплоты. Первоначально вещество находилось в твёрдом состоянии.

К задаче 7

 

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

  1. Удельная теплоёмкость вещества в твёрдом состоянии больше удельной теплоёмкости вещества в жидком состоянии
  2. Температура плавления вещества равна t_2
  3. В точке В вещество находится в жидком состоянии
  4. В процессе перехода из состояния Б в состояние В внутренняя энергия вещества увеличивается
  5. Участок графика БВ соответствует процессу кипения вещества

Решение.

Верно, что в точке В вещество находится в жидком состоянии. Также верно, что в процессе перехода из состояния Б в состояние В внутренняя энергия вещества увеличивается.

Ответ: утверждения 3 и 4.

 

Задача 8. Весной хозяева решили протопить дачный домик. Для этого они включили электрический нагреватель, в результате чего температура воздуха в домике установилась t_1=12^\circ C. После включения дополнительного нагревателя в два раза большей мощности, температура в домике возросла до t_2=20^\circ C. Найти температуру атмосферного воздуха на дачном участке, считая её постоянной. Ответ выразить в ^\circ C, округлив до целых.

Решение.

Будем считать, что мощность потерь пропорциональна разности температур домика и улицы (площадь поверхности домика не изменяется). Тогда в первом случае мощность потерь равна

    \[N=\alpha\cdot(t_1-t_0).\]

Поскольку во втором случае общая мощность, идущая на обогрев, увеличилась втрое, можно записать, что

    \[3N=\alpha\cdot(t_2-t_0).\]

Таким образом, справедливо соотношение

    \[2t_0=3t_1-t_2,\]

откуда искомая температура равна

    \[t_0=8^\circ C.\]

Ответ: 8^\circ C.

 

Задача 9. На рисунке представлен график зависимости температуры T жидкости массой m от времени t при осуществлении теплоотвода с постоянной мощностью P.

К задаче 9

 

В момент времени t=0 вода находилась в газообразном состоянии. Какое из приведённых ниже выражений определяет удельную теплоту парообразования воды по результатам этого опыта?

  1. \frac{P\cdot\Delta t_1}{m\cdot\Delta T_1}
  2. \frac{P\cdot\Delta t_2}{m}
  3. \frac{P\cdot\Delta t_2}{m\cdot\Delta T_2}
  4. \frac{P\cdot\Delta t_4}{m}

Решение.

  1. Необходимо определить часть графика, соответствующую конденсации. Это верхний отрезок горизонтальной прямой. Время конденсации равно \Delta t_2.
  1. Уравнение теплового баланса задаётся соотношением P\cdot\Delta t_2=m\cdot L, откуда определяется удельная теплота парообразования (конденсации) L=\frac{P\cdot\Delta t_2}{m}.

Ответ: выражение 2.

 

Задача 10. На рисунке представлен график зависимости температуры t от времени \tau полученный при равномерном нагревании вещества нагревателем постоянной мощности. Первоначально вещество находилось в твердом состоянии.

К задаче 10

Используя данные графика, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Укажите их номера.

  1. Точка 2 на графике соответствует жидкому состоянию вещества.
  2. Внутренняя энергия вещества при переходе из состояния 3 в состояние 4 увеличивается.
  3. Удельная теплоемкость вещества в твёрдом состоянии равна удельной теплоемкости этого вещества в жидком состоянии.
  4. Испарение вещества происходит только в состояниях, соответствующих горизонтальному участку графика.
  5. Температура t_2 равна температуре плавления данного вещества.

Решение.

Верно, что внутренняя энергия вещества при переходе из состояния 3 в состояние 4 увеличивается, а также, что температура t_2 равна температуре плавления данного вещества.

Ответ: утверждения 2 и 5.

 

Комментариев - 2

  • |

    Почему в четвертой задаче в правую часть уравнения не входит масса воды? Разве не cmвt?

    Ответить
    • Анна
      |

      Там не удельная теплоемкость, а просто теплоемкость. Поэтому нет массы.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *