Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Теплоемкость газа

Теплоемкость газа – 5

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1. На рисунке изображены два вертикальных сообщающихся цилиндрических сосуда. Верх левого сосуда герметично запаян и этот сосуд частично заполнен гелием. Правый сосуд до краев заполнен ртутью так, что часть ртути находится в левом сосуде и гелий заперт ею. Система помещена в вакуум. Гелию начинают медленно сообщать теплоту и продолжают нагревать до тех пор, пока ртуть остается в левом сосуде. Определите удельную теплоемкость гелия в этом сосуде.

К задаче 1

Решение.

Гелий при нагреве будет расширяться и выдавливать ртуть в правый сосуд. Ее столб над уровнем однородной жидкости будет уменьшаться. Так как атмосферного давления нет, то давление гелия (оно же – давление столба ртути) будет зависеть прямо от объема:

    \[p=\frac{\rho g V}{S}\]

И будет расти линейно.

Зависимость давления от объема

Работа равна

    \[A=\frac{p_0+kp_0}{2}(kV_0-V_0)=\frac{(k-1)(k+1)p_0V_0}{2}=\frac{(k^2-1)p_0V_0}{2}\]

Изменение температуры из закона Менделеева-Клапейрона

    \[\Delta T=\frac{\Delta(pV)}{\nu R}=\frac{k^2p_0V_0-p_0V_0}{\nu R}=\frac{(k^2-1)p_0V_0}{\nu R}\]

Теплоемкость определяется соотношением (удельная)

    \[C=\frac{Q}{m\Delta T}=\frac{A+\Delta U}{m\Delta T}=\frac{1}{m}\left(\frac{A}{\Delta T}+\frac{3}{2}\nu R\right)}= \frac{1}{m}\left(\frac{\nu R}{2}+\frac{3}{2}\nu R\right)}=\frac{2\nu R}{m}=\frac{2R}{M}\]

Ответ: C=\frac{2R}{M}.

Задача 2. В массивном металлическом цилиндре высотой H=1 м, закрытом сверху подвижным поршнем, находится идеальный газ. Сверху на поршень аккуратно поставили гирю, отчего поршень сразу же опустился на \Delta x_1=2,5 см. Через продолжительное время оказалось, что поршень опустился еще на \Delta x_2=1 см. Определите молярную теплоемкость газа при постоянном объеме C_v. Температура помещения постоянна, утечка газа отсутствует.

Решение. Когда гирю поставили на поршень, газ мгновенно (адиабатически) сжался, и потому нагрелся. Затем газ остывает до своей прежней температуры и поэтому поршень еще опускается: газ сжимается изобарно. Для адиабаты:

    \[pv^{\gamma}=const~~~~~~~~~~~~~~~(**)\]

    \[\gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{C_v+R}{C_v}\]

По закону Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

    \[p=\frac{\nu RT }{V}\]

При подстановке этого давления в (**) получим

    \[TV^{\gamma-1}=const\]

Тогда, сокращая на площадь поршня, получим

    \[T_1 H^{\gamma-1}=T_2(H-x_1)^{\gamma-1}\]

А для изобары

    \[\frac{H-x_1}{T_2}=\frac{H-x_1-x_2}{T_1}\]

Вынесем за скобку H^{\gamma-1}

    \[H^{\gamma-1}\left(1-\frac{x_1}{H}\right)^ {\gamma-1}= H^{\gamma-1}\left(1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}\right)\]

    \[\frac{1}{H-x_1}=\frac{1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}}{H-x_1-x_2}\]

При последнем переходе использовано упрощение (1+x)^n=1+nx.

    \[H-x_1-x_2=(H-x_1)\left(1-(\gamma-1)\frac{x_1}{H}\right)\]

    \[\gamma-1=\frac{x_2H}{(H-x_1)x_1}=\frac{2}{5(1-0,025)}\]

Пренебрежем величиной 0,025 по сравнению с единицей, тогда

    \[\gamma=\frac{7}{5}\]

    \[\frac{C_p}{C_v}=\frac{7}{5}\]

    \[C_v=\frac{5}{2}R\]

Ответ: C_v=\frac{5}{2}R

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *