Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Теплоемкость газа

Теплоемкость газа – 4

В статье разбираем задачу на теплоемкость газа.

Задача. Говорят, в архиве лорда Кельвина нашли рукопись с p,V диаграммой, на которой расположен циклический процесс в виде прямоугольного треугольника ACB. Причем угол C был прямым, а в точке K, лежащей на середине стороны AB, теплоемкость многоатомного газа CH_4 обращалась в ноль. Газ можно считать идеальным. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны только координатные оси и точки C и K. С помощью циркуля и линейки без делений восстановите положение треугольника ACB. Известно, что в точке A объем был меньше, чем в B.

Рисунок 1

Решение. Так как K – середина гипотенузы, а C – вершина прямоугольного треугольника, то CK – медиана и одновременно радиус описанной окружности для этого треугольника. На этой окружности где-то и лежат точки A и B.

Рисунок 2

Так как газ многоатомный, то

    \[dU=\frac{6}{2}\nu RdT\]

Тогда

    \[C=\frac{dQ}{dT}=\frac{dA+dU}{dT}=\frac{dA}{dT}+3\nu R\]

Так как понятно, что K лежит на гипотенузе треугольника, то точки A и B лежат на прямой, имеющей отрицательный коэффициент наклона и определяемой уравнением

    \[p=\alpha V+\beta\]

Рисунок 3

Или

    \[p=-\frac{p_0}{V_0}V+p_0~~~~~~~~~~~~~~~~~(*)\]

Тогда

    \[dA=pdV=\left(-\frac{p_0}{V_0}V+p_0\right)dV\]

Осталось найти малое изменение температуры dT:

    \[pV=\nu RT\]

    \[d(pV)=d(\nu RT)\]

    \[pdV+Vdp=\nuT dT\]

Из (*)

    \[dp=-\frac{p_0dV}{V_0}\]

Тогда

    \[dT=\frac{\left(-\frac{p_0}{V_0}V+p_0\right)dV +V\left(-\frac{p_0}{V_0}dV\right)}{\nu R}\]

    \[dT=\frac{dV\cdot \left(-\frac{2p_0V}{V_0}+p_0\right)}{\nu R}\]

Теперь можно определить \frac{dA}{dT}:

    \[\frac{dA}{dT}=\nu R\cdot \frac{1-\frac{V}{V_0}}{1-2\frac{V}{V_0}}\]

    \[C=\nu R\cdot \frac{1-\frac{V}{V_0}}{1-2\frac{V}{V_0}}+3\nu R\]

Это теплоемкость для любой точки прямой AB. Для точки K она равна нулю, объем в этой точке V_k. Тогда

    \[\frac{1-\frac{V}{V_0}}{1-2\frac{V}{V_0}}=-3\]

    \[V_0-V_k=-3(V_0-2V_k)\]

    \[4V_0=7V_k\]

    \[V_0=\frac{7}{4}V_k\]

Определяем p_0

    \[p_k=-\frac{p_0}{V_0}\cdot\frac{4V_0}{7}+p_0\]

    \[p_k=\frac{7}{3}p_k\]

Тангенс угла наклона будет тогда равен

    \[\operatorname{tg}\alpha=\frac{p_0}{V_0}=\frac{7p_k}{3}\cdot\frac{4}{7V_k}=\frac{4p_k}{3V_k}\]

Чтобы построить нужную прямую, построим прямую, проходящую через точки (0; 4p_k) и (3V_k; 0). p_k и V_k – отмеряем циркулем и откладываем на осях с его же помощью величины 4p_k и 3V_k. Проводим данную прямую, а через точку K – параллельную ей. Это и будет ответ.

Рисунок 4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *