Теплоемкость газа – 3

[latexpage]

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1-2-3 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру $T_1$ и объем $V_1$. Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2-3 на единицу больше показателя политропы процесса 3-1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1-2. В процессе 1-2 объем газа увеличивается в $k$ раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. Определите объем и температуру газа в состоянии 3. Изобразите на $pV$ диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов показатель политропы. Справка: политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется. Уравнение такого процесса имеет вид $pV^n=const$, или $pV_1^n=pV_2^n$. Величину $n$ называют показателем политропы.

Решение. Будем действовать методом предположений. Есть три процесса, один из них – изотерма, причем в ее концах объем газа минимальный и максимальный.

Рисунок 1

Предположим, что изотерма – процесс 1-2. Тогда

$$pV=const$$

Показатель политропы процесса 1-2 – единица:

$$n+2=1$$

$$n=-1$$

Тогда показатель политропы процесса 2-3 – ноль

$$pV^0=p=const$$

А для процесса 3-1

$$\frac{p}{V}=const$$

Получаем картинку:

Рисунок 2

Чтобы процесс 3-1 получился прямой пропорциональностью согласно выражению, придется выйти в точке 3 за минимальный объем (минимальным он должен быть по условию в точке 1). Поэтому предположение наше неверно.

Предположим, что изотерма – процесс 2-3.

Тогда

$$n+1=1$$

$$n=0$$

Процесс 3-1 тогда

$$p=const$$

Процесс 1-2

$$pV^2=const$$

То есть картинка должна быть такой:

Рисунок 3

При этом выполняется цикл двигателя, точка 1 имеет промежуточный объем – то есть выполняется требование,  чтобы минимальный и максимальный объемы газ имел на концах изотермы.  Кривая 1-2 имеет показатель политропы 2 – она круче, чем изотерма 2-3. Все требования выполнены.

Таким образом, давление в точках 1 и 3 равно, и, так как объем увеличился в $k$ раз, можно записать:

$$p_1V_1^2=p_2V_1^2 k^2$$

То есть

$$p_2=\frac{p_1}{k^2}$$

Тогда

$$p_1V_3=\frac{p_1}{k^2}\cdot kV_1=\frac{p_1V_1}{k}$$

$$V_3=\frac{V_1}{k}$$

$$T_3=\frac{p_3V_3}{\nu R}=\frac{p_1V_1}{\nu R k}$$

$$T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}$$

$$T_3=\frac{T_1\nu R }{\nu R k}=\frac{T_1}{k}$$

Если изотермой является процесс 3-1, то

$$n=1$$

Процесс 1-2

$$pV^3=const$$

Процесс 2-3

$$pV^2=const$$

Имеем три кривые типа гиперболы, одна «круче» другой. Понятно, что цикл не будет замкнут:

Рисунок 4

Ответ: $V_3=\frac{V_1}{k}$, $T_3=\frac{T_1}{k}$. График выше (рисунок 3).

Задача 2. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного гелия возрастает прямо пропорционально его температуре: $C=\frac{3RT}{4T_0}$, где $T_0$ – начальная температура газа. Какую работу совершат $\nu$ молей газа к тому моменту, когда его объем станет минимальным в указанном выше процессе?

Решение. По определению

$$Q=C\Delta T$$

Так как зависимость прямая, то тепло – площадь под графиком:

Рисунок 5

$$Q=\frac{3R\nu}{4T_0}\cdot \frac{T_x+T_0}{2}(T_x-T_0)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(T_x^2-T_0^2)$$

Изменение внутренней энергии

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R (T_x-T_0)$$

По первому началу

$$Q=A+\Delta U$$

$$A=Q-\Delta U$$

Так как объем минимален, следовательно, производная по объему равна нулю, а следовательно,

$$dA=pdV=0$$

Откуда

$$dQ=dU$$

$$\nu C dT=\frac{3}{2}\nu R dT$$

$$C=\frac{3}{2} R$$

Тогда подставим это в выражение из данных задачи:

$$ C=\frac{3RT_x}{4T_0}=\frac{3}{2} R$$

$$T_x=2T_0$$

Тогда

$$Q(T_x)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(4T_0^2-T_0^2)=\frac{9\nu R T_0}{8}$$

$$\Delta U(T_x)=\frac{3}{2}\nu R (2T_0-T_0)= \frac{3\nu R T_0}{2}$$

$$A(T_x)= Q(T_x)- \Delta U(T_x)= \frac{9\nu R T_0}{8}-\frac{3\nu R T_0}{2}=-\frac{3\nu R T_0}{8}$$

Ответ: $A(T_x)= -\frac{3\nu R T_0}{8}$