Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Теплоемкость газа

Теплоемкость газа – 3

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1-2-3 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру T_1 и объем V_1. Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2-3 на единицу больше показателя политропы процесса 3-1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1-2. В процессе 1-2 объем газа увеличивается в k раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. Определите объем и температуру газа в состоянии 3. Изобразите на pV диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов показатель политропы. Справка: политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется. Уравнение такого процесса имеет вид pV^n=const, или pV_1^n=pV_2^n. Величину n называют показателем политропы.

Решение. Будем действовать методом предположений. Есть три процесса, один из них – изотерма, причем в ее концах объем газа минимальный и максимальный.

Рисунок 1

Предположим, что изотерма – процесс 1-2. Тогда

    \[pV=const\]

Показатель политропы процесса 1-2 – единица:

    \[n+2=1\]

    \[n=-1\]

Тогда показатель политропы процесса 2-3 – ноль

    \[pV^0=p=const\]

А для процесса 3-1

    \[\frac{p}{V}=const\]

Получаем картинку:

Рисунок 2

Чтобы процесс 3-1 получился прямой пропорциональностью согласно выражению, придется выйти в точке 3 за минимальный объем (минимальным он должен быть по условию в точке 1). Поэтому предположение наше неверно.

Предположим, что изотерма – процесс 2-3.

Тогда

    \[n+1=1\]

    \[n=0\]

Процесс 3-1 тогда

    \[p=const\]

Процесс 1-2

    \[pV^2=const\]

То есть картинка должна быть такой:

Рисунок 3

При этом выполняется цикл двигателя, точка 1 имеет промежуточный объем – то есть выполняется требование,  чтобы минимальный и максимальный объемы газ имел на концах изотермы.  Кривая 1-2 имеет показатель политропы 2 – она круче, чем изотерма 2-3. Все требования выполнены.

Таким образом, давление в точках 1 и 3 равно, и, так как объем увеличился в k раз, можно записать:

    \[p_1V_1^2=p_2V_1^2 k^2\]

То есть

    \[p_2=\frac{p_1}{k^2}\]

Тогда

    \[p_1V_3=\frac{p_1}{k^2}\cdot kV_1=\frac{p_1V_1}{k}\]

    \[V_3=\frac{V_1}{k}\]

    \[T_3=\frac{p_3V_3}{\nu R}=\frac{p_1V_1}{\nu R k}\]

    \[T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}\]

    \[T_3=\frac{T_1\nu R }{\nu R k}=\frac{T_1}{k}\]

Если изотермой является процесс 3-1, то

    \[n=1\]

Процесс 1-2

    \[pV^3=const\]

Процесс 2-3

    \[pV^2=const\]

Имеем три кривые типа гиперболы, одна «круче» другой. Понятно, что цикл не будет замкнут:

Рисунок 4

Ответ: V_3=\frac{V_1}{k}, T_3=\frac{T_1}{k}. График выше (рисунок 3).

Задача 2. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного гелия возрастает прямо пропорционально его температуре: C=\frac{3RT}{4T_0}, где T_0 – начальная температура газа. Какую работу совершат \nu молей газа к тому моменту, когда его объем станет минимальным в указанном выше процессе?

Решение. По определению

    \[Q=C\Delta T\]

Так как зависимость прямая, то тепло – площадь под графиком:

Рисунок 5

    \[Q=\frac{3R\nu}{4T_0}\cdot \frac{T_x+T_0}{2}(T_x-T_0)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(T_x^2-T_0^2)\]

Изменение внутренней энергии

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R (T_x-T_0)\]

По первому началу

    \[Q=A+\Delta U\]

    \[A=Q-\Delta U\]

Так как объем минимален, следовательно, производная по объему равна нулю, а следовательно,

    \[dA=pdV=0\]

Откуда

    \[dQ=dU\]

    \[\nu C dT=\frac{3}{2}\nu R dT\]

    \[C=\frac{3}{2} R\]

Тогда подставим это в выражение из данных задачи:

    \[C=\frac{3RT_x}{4T_0}=\frac{3}{2} R\]

    \[T_x=2T_0\]

Тогда

    \[Q(T_x)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(4T_0^2-T_0^2)=\frac{9\nu R T_0}{8}\]

    \[\Delta U(T_x)=\frac{3}{2}\nu R (2T_0-T_0)= \frac{3\nu R T_0}{2}\]

    \[A(T_x)= Q(T_x)- \Delta U(T_x)= \frac{9\nu R T_0}{8}-\frac{3\nu R T_0}{2}=-\frac{3\nu R T_0}{8}\]

Ответ: A(T_x)= -\frac{3\nu R T_0}{8}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *