[latexpage]
В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.
Задача 1. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1-2-3 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру $T_1$ и объем $V_1$. Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2-3 на единицу больше показателя политропы процесса 3-1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1-2. В процессе 1-2 объем газа увеличивается в $k$ раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. Определите объем и температуру газа в состоянии 3. Изобразите на $pV$ диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов показатель политропы. Справка: политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется. Уравнение такого процесса имеет вид $pV^n=const$, или $pV_1^n=pV_2^n$. Величину $n$ называют показателем политропы.
Решение. Будем действовать методом предположений. Есть три процесса, один из них – изотерма, причем в ее концах объем газа минимальный и максимальный.

Рисунок 1
Предположим, что изотерма – процесс 1-2. Тогда
$$pV=const$$
Показатель политропы процесса 1-2 – единица:
$$n+2=1$$
$$n=-1$$
Тогда показатель политропы процесса 2-3 – ноль
$$pV^0=p=const$$
А для процесса 3-1
$$\frac{p}{V}=const$$
Получаем картинку:

Рисунок 2
Чтобы процесс 3-1 получился прямой пропорциональностью согласно выражению, придется выйти в точке 3 за минимальный объем (минимальным он должен быть по условию в точке 1). Поэтому предположение наше неверно.
Предположим, что изотерма – процесс 2-3.
Тогда
$$n+1=1$$
$$n=0$$
Процесс 3-1 тогда
$$p=const$$
Процесс 1-2
$$pV^2=const$$
То есть картинка должна быть такой:

Рисунок 3
При этом выполняется цикл двигателя, точка 1 имеет промежуточный объем – то есть выполняется требование, чтобы минимальный и максимальный объемы газ имел на концах изотермы. Кривая 1-2 имеет показатель политропы 2 – она круче, чем изотерма 2-3. Все требования выполнены.
Таким образом, давление в точках 1 и 3 равно, и, так как объем увеличился в $k$ раз, можно записать:
$$p_1V_1^2=p_2V_1^2 k^2$$
То есть
$$p_2=\frac{p_1}{k^2}$$
Тогда
$$p_1V_3=\frac{p_1}{k^2}\cdot kV_1=\frac{p_1V_1}{k}$$
$$V_3=\frac{V_1}{k}$$
$$T_3=\frac{p_3V_3}{\nu R}=\frac{p_1V_1}{\nu R k}$$
$$T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}$$
$$T_3=\frac{T_1\nu R }{\nu R k}=\frac{T_1}{k}$$
Если изотермой является процесс 3-1, то
$$n=1$$
Процесс 1-2
$$pV^3=const$$
Процесс 2-3
$$pV^2=const$$
Имеем три кривые типа гиперболы, одна «круче» другой. Понятно, что цикл не будет замкнут:

Рисунок 4
Ответ: $V_3=\frac{V_1}{k}$, $T_3=\frac{T_1}{k}$. График выше (рисунок 3).
Задача 2. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного гелия возрастает прямо пропорционально его температуре: $C=\frac{3RT}{4T_0}$, где $T_0$ – начальная температура газа. Какую работу совершат $\nu$ молей газа к тому моменту, когда его объем станет минимальным в указанном выше процессе?
Решение. По определению
$$Q=C\Delta T$$
Так как зависимость прямая, то тепло – площадь под графиком:

Рисунок 5
$$Q=\frac{3R\nu}{4T_0}\cdot \frac{T_x+T_0}{2}(T_x-T_0)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(T_x^2-T_0^2)$$
Изменение внутренней энергии
$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R (T_x-T_0)$$
По первому началу
$$Q=A+\Delta U$$
$$A=Q-\Delta U$$
Так как объем минимален, следовательно, производная по объему равна нулю, а следовательно,
$$dA=pdV=0$$
Откуда
$$dQ=dU$$
$$\nu C dT=\frac{3}{2}\nu R dT$$
$$C=\frac{3}{2} R$$
Тогда подставим это в выражение из данных задачи:
$$ C=\frac{3RT_x}{4T_0}=\frac{3}{2} R$$
$$T_x=2T_0$$
Тогда
$$Q(T_x)= \frac{3R\nu}{8T_0}\cdot(4T_0^2-T_0^2)=\frac{9\nu R T_0}{8}$$
$$\Delta U(T_x)=\frac{3}{2}\nu R (2T_0-T_0)= \frac{3\nu R T_0}{2}$$
$$A(T_x)= Q(T_x)- \Delta U(T_x)= \frac{9\nu R T_0}{8}-\frac{3\nu R T_0}{2}=-\frac{3\nu R T_0}{8}$$
Ответ: $A(T_x)= -\frac{3\nu R T_0}{8}$
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...