Теплоемкость газа

Теплоемкость газа – 3

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1. Один моль идеального газа участвует в циклическом процессе 1-2-3 тепловой машины, работающей в режиме теплового двигателя. В состоянии 1 газ имеет температуру $T_1$ и объем $V_1$ . Известно, что все переходы газа из одного состояния в другое – политропические. Показатель политропы процесса 2-3 на единицу больше показателя политропы процесса 3-1 и на единицу меньше показателя политропы процесса 1-2. В процессе 1-2 объем газа увеличивается в $k$ раз. Один из процессов цикла – изотермический, причем в этом процессе объем газа изменяет свое значение в максимально широких пределах в этом цикле. Определите объем и температуру газа в состоянии 3. Изобразите на $pV$ диаграмме цикл, соответствующий условию задачи, указав для каждого из процессов показатель политропы. Справка: политропическим называется процесс, в течение которого теплоемкость газа не изменяется. Уравнение такого процесса имеет вид $pV^n=const$ , или $pV_1^n=pV_2^n$ . Величину $n$ называют показателем политропы.

Решение. Будем действовать методом предположений. Есть три процесса, один из них – изотерма, причем в ее концах объем газа минимальный и максимальный.

Рисунок 1

Предположим, что изотерма – процесс 1-2. Тогда

$pV=const$

Показатель политропы процесса 1-2 – единица:

$n+2=1$

$n=-1$

Тогда показатель политропы процесса 2-3 – ноль

$pV^0=p=const$

А для процесса 3-1

$\frac{p}{V}=const$

Получаем картинку:

Рисунок 2

Чтобы процесс 3-1 получился прямой пропорциональностью согласно выражению, придется выйти в точке 3 за минимальный объем (минимальным он должен быть по условию в точке 1). Поэтому предположение наше неверно.

Предположим, что изотерма – процесс 2-3.

Тогда

$n+1=1$

$n=0$

Процесс 3-1 тогда

$p=const$

Процесс 1-2

$pV^2=const$

То есть картинка должна быть такой:

Рисунок 3

При этом выполняется цикл двигателя, точка 1 имеет промежуточный объем – то есть выполняется требование, чтобы минимальный и максимальный объемы газ имел на концах изотермы. Кривая 1-2 имеет показатель политропы 2 – она круче, чем изотерма 2-3. Все требования выполнены.

Таким образом, давление в точках 1 и 3 равно, и, так как объем увеличился в $k$ раз, можно записать:

$p_1V_1^2=p_2V_1^2 k^2$

То есть

$p_2=\frac{p_1}{k^2}$

Тогда

$p_1V_3=\frac{p_1}{k^2}\cdot kV_1=\frac{p_1V_1}{k}$

$V_3=\frac{V_1}{k}$

$T_3=\frac{p_3V_3}{\nu R}=\frac{p_1V_1}{\nu R k}$

$T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}$

$T_3=\frac{T_1\nu R }{\nu R k}=\frac{T_1}{k}$

Если изотермой является процесс 3-1, то

$n=1$

Процесс 1-2

$pV^3=const$

Процесс 2-3

$pV^2=const$

Имеем три кривые типа гиперболы, одна «круче» другой. Понятно, что цикл не будет замкнут:

Рисунок 4

Ответ: $V_3=\frac{V_1}{k}$ , $T_3=\frac{T_1}{k}$ . График выше (рисунок 3).

Задача 2. В некотором процессе молярная теплоемкость газообразного гелия возрастает прямо пропорционально его температуре: $C=\frac{3RT}{4T_0}$ , где $T_0$ – начальная температура газа. Какую работу совершат $\nu$ молей газа к тому моменту, когда его объем станет минимальным в указанном выше процессе?