Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теплоемкость газа

Теплоемкость газа-2

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа.

Задача 1. Зависимость от температуры молярной теплоемкости идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3 и 3-1, изображена на рисунке. Найдите отношение давления газа при максимальной и минимальной температурах в этом цикле, если КПД машины равен \eta, количество газа в цикле неизменно и \frac{T_2}{T_1}=n.

К задаче 1

Решение.

Перерисуем этот график в оси pV. Видно, что молярная теплоемкость в процессе 2-3 равна \frac{3}{2}R, то есть это изохорный процесс. Также замечаем, что молярная теплоемкость в процессе 3-1 равна  \frac{5}{2}R, что означает, что процесс изобарный. Каков характер процесса 1-2, мы не знаем.

В осях pV

Раз дан КПД, можно его записать формулой, и лучше через полученное и отданное тепло.

    \[\eta=\frac{Q_{pol}-\mid Q_{otd}\mid}{ Q_{pol}}=1-\frac{\mid Q_{otd}\mid}{ Q_{pol}}\]

Теперь распишем все составляющие:

    \[Q_{otd}=\left(\frac{5}{2}R(T_1-T_3)+\frac{3}{2}R(T_3-T_2)\right)\nu\]

    \[Q_{pol}=\frac{11}{6}R(T_2-T_1)\nu\]

Подставим:

    \[\eta=1-\frac{\frac{5}{2}R(T_3-T_1)+\frac{3}{2}R(T_2-T_3)}{ \frac{11}{6}R(T_1-T_2)}\]

    \[1-\eta=\frac{5(T_3-T_1)+3(T_2-T_3)}{ \frac{11}{3}(T_1-T_2)}\]

    \[1-\eta=\frac{5(\frac{T_3}{T_1}-1)+3(\frac{T_2}{T_1}-\frac{T_3}{T_1})}{ \frac{11}{3}(1-\frac{T_2}{T_1})}\]

    \[1-\eta=\frac{5(\frac{T_3}{T_1}-1)+3(n-\frac{T_3}{T_1})}{ \frac{11}{3}(1-n)}\]

Преобразуем:

    \[\frac{11}{3}(1-n)(1-\eta)=2\frac{T_3}{T_1}-5+3n\]

    \[\frac{T_3}{T_1}=\frac{\frac{11}{3}(1-n)(1-\eta)+5-3n}{2}\]

Мы получили отношение температур T_3 и T_1. Для процесса 1-2 можно записать

    \[\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2V_1}{T_1V_2}=n\frac{V_1}{V_2}= n\frac{V_1}{V_3}\]

Для процесса 3-1

    \[\frac{p_2V_1}{p_3V_3}=\frac{T_1}{T_3}\]

Откуда

    \[\frac{V_1}{V_3}=\frac{p_3}{p_1}\cdot\frac{T_1}{T_3}=\frac{T_1}{T_3}\]

Тогда окончательно

    \[\frac{p_2}{p_1}= n\frac{T_1}{T_3}=\frac{\frac{11n}{3}(1-n)(1-\eta)+5n-3n^2}{2}\]

Ответ: \frac{p_2}{p_1}= n\frac{T_1}{T_3}=\frac{\frac{11n}{3}(1-n)(1-\eta)+5n-3n^2}{2}

Задача 2. Один моль гелия находится при температуре T=273 К. Далее газ расширяется так, что объем увеличивается на 3%, а давление уменьшается на 2%. Изменения параметров газа считать малыми. 1) Вычислите приращение \Delta T температуры газа; 2) Какую работу \Delta A совершил газ в процессе расширения? 3) Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.

Решение. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний.

    \[pV=\nu RT\]

    \[(p+\Delta p)(V+\Delta V)=\nu R (T+\Delta T)\]

Раскроем скобки во втором:

    \[pV+\Delta pV+\Delta V p+\Delta p\Delta V=\nu RT+\nu R \Delta T\]

Или

    \[pV\left(1+\frac{\Delta p}{p}+\frac{\Delta V}{V}+\frac{\Delta p}{p}\cdot\frac{\Delta V}{V}\right)=\nu RT\left(1+\frac{\Delta T}{T}\right)\]

Поскольку величина \frac{\Delta p}{p}\cdot\frac{\Delta V}{V} второго порядка малости, ею пренебрегаем. Также согласно первому уравнению сокращаем на pV.

    \[1+0,03-0,02-0,03\cdot0,02=1+\frac{\Delta T}{T}\]

    \[\frac{\Delta T}{T}=0,1\]

    \[\Delta T=0,1T=2,73\]

Так как изменения параметром состояния малы, то работу можно считать равной

    \[\Delta A=p\Delta V=\nu R \Delta T=22,7\]

Осталось определить молярную теплоемкость:

    \[C_{\mu}=\frac{A+\Delta U}{\nu\Delta T}=\frac{\nu R \Delta T +\frac{3}{2}\nu R \Delta T }{\nu\Delta T }=\frac{5}{2}R\]

Ответ: 1) 2,7 К; 2) 22,7 Дж; 3) \frac{5}{2}R.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *