Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теплоемкость газа

Теплоемкость газа – 1

В статье разбираем задачи на теплоемкость газа. И сначала немного теории.

Теплоемкость определяется отношением

    \[C=\frac{Q}{\Delta T}\]

Если C=const. В других случаях теплоемкость – это предел вида

    \[\lim_{\Delta T \to \infty}\frac{Q}{\Delta T}\]

В изопроцессах наиболее просто теплоемкость определяется в адиабатном процессе: поскольку в нем Q=0, то C=0.

Так же просто и в изотермическом процессе: там \Delta T=0, поэтому C=\infty.

В изохорном процессе V=const, поэтому Q=\Delta U, и

    \[C_v=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{i}{2}\nu R=const\]

В изобарическом процессе p=const, Q=\Delta U+A, и

    \[C_p=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+A} {\Delta T }=\frac{5}{2}\nu R=const\]

Формула Майера связывает теплоемкость в изохорном и изобарном процессах:

    \[C_p-C_v=R\]

Молярная теплоемкость – теплоемкость одного моля:

    \[C_{\mu}=\frac{C}{\mu}\]

Удельная теплоемкость

    \[c=\frac{C}{m}\]

Задача 1. Газообразный гелий из начального состояния 1 расширяется в процессе 1-2, в котором давление прямо пропорционально объему, при этом к газу подводится количество теплоты Q_{12}=800 Дж. Затем газ расширяется в процессе 2-3 с постоянной теплоемкостью, совершая работу A_{23}=750 Дж. Температуры в состояниях 1 и 3 равны.

  1. Найдите количество теплоты, подведенное к газу в процессе 2-3.
  2. Найдите молярную теплоемкость газа в процессе 2-3, выразив ее через R.

К задаче 1

Решение. Запишем первое начало для процессов 1-2 и 2-3.

    \[Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}\]

    \[Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}\]

    \[\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)\]

    \[\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\nu R (T_3-T_2)=- \Delta U_{12}\]

Так как процесс 1-2 – это прямая пропорциональность, то для него конечное давление в \alpha раз больше начального и при этом конечный объем также в \alpha раз больше начального. Работа в таком процессе может быть записана как

    \[A=\frac{p_0+\alpha p_0}{2}(\alpha V_0-V_0)=\frac{p_oV_0}{2}(\alpha^2-1)\]

А внутренняя энергия

    \[\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)= \frac{3}{2}(\alpha^2p_0V_0-p_0V_0)= \frac{3}{2}(\alpha^2-1)p_0V_0=3A_{12}\]

Тогда полученное количество теплоты

    \[Q_{12}=\Delta U_{12}+\frac{1}{3}\Delta U_{12}=\frac{4}{3}\Delta U_{12}\]

    \[\Delta U_{12}=\frac{3}{4}Q_{12}\]

Теперь подставим это в выражение для процесса 2-3:

    \[Q_{23}=-\frac{3}{4}Q_{12}+A_{23}=-\frac{3}{4}\cdot 800 +750=150\]

Определим молярную теплоемкость в этом процессе:

    \[C_{\mu}=\frac{Q_{23}}{\Delta T_{23}}\]

    \[\Delta T_{23}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\Delta U_{23}}{\nu R}=\frac{2}{3}\cdot\frac{-\frac{3}{4}Q_{12}}{\nu R}\]

    \[C_{\mu}=\frac{ Q_{23}}{-\frac{1}{2}\frac{Q_{12}}{\nu R}\cdot \nu}=-2\cdot \frac{150}{800}=-\frac{3}{8}R\]

Молярная теплоемкость отрицательна, так как процесс лежит под адиабатой.

Ответ: 1) 150 Дж; 2) -\frac{3}{8}R

Задача 2. Идеальный одноатомный газ участвует в квазистатическом процессе, при котором давление газа зависит от температуры так, как показано на графике. Количество вещества газа неизменно. Найдите все точки графика, которые соответствуют моментам, когда теплоемкость такая же, как и в точке А.

К задаче 2

Решение. Рассмотрим график. Его начальный участок  – прямая, то есть, в этих осях, изохора. Так как точка A принадлежит изохоре, то у всех точек на этой изохоре такая же теплоемкость. Но это еще не решение задачи.

Рисунок 2

Такая же теплоемкость у любой точки, принадлежащей любой изохоре, такой, которая совпадала бы с графиком. Проведем касательную к графику, такую, чтобы она исходила из точки начала координат. В точке B она совпадает с графиком, поэтому теплоемкость точки B такая же, как и у точки A.

Рисунок 3

Ответ: точки на красном участке и точка В.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *