Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Вероятности, Вероятности (4)

Теоремы о вероятностях событий

В этой статье разберем задачи на вероятность. А именно, рассмотрим теоремы о вероятностях событий. Но сначала – немного теории.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть может произойти либо одно определённое событие, либо другое. Например, выпадение орла или решки при подбрасывании монеты – события несовместные. Еще пример – выигрыш, проигрыш или ничья в футбольном матче.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. Пример – выпадение на кубике шестерки –  четного числа, кратного трем. Совершились одновременно два события: выпадение четного числа, выпадение числа, кратного трем. Или, например, наличие в салоне автомобиля именно той модели и именно того цвета, какой был желаем.

Противоположными событиями называются события, одному из которых благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А. Сумма вероятностей таких событий равна обязательно 1. Пример: пойдет или не пойдет сегодня дождь. Он либо будет, либо нет. Или результат экзамена: сдан или нет.

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в появлении либо только события А, либо только события В, либо обоих одновременно. Обозначается сумма так:

    \[A\cup B\]

А изображается так:

Вероятность суммы двух несовместных событий

В задачах часто пишут: наступит «хотя бы одно» из этих событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий:

    \[P(A+B)=P(A)+P(B)\]

В задачах эта формула будет появляться тогда, когда текст можно переписать с использованием предлога «или»: «или решит больше 11 задач, или больше 10, или ровно 10», «или меньше 16 пассажиров в автобусе, или меньше 10, или от 10 до 15».

 

Произведением (пересечением) двух событий A и B называется событие (обозначение AB или A\cap B), состоящее в совместном выполнении события A и события B.

На рисунке это общая область (фиолетовая):

Произведение (пересечение) событий – показано фиолетовым

Определение. Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

    \[P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)\]

При решении задач эта формула будет появляться всякий раз, когда можно будет перефразировать задачу с использованием предлога «и», например: «и первая батарейка исправна, и вторая», «и первый раз попал, и второй раз, и третий», «и математику сдал, и русский, и обществознание (чтобы поступить)»

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий А и В (появления хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, то есть

    \[P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A\cdot B)\]

То есть это площадь полученной фигуры, из которой мы удаляем общий участок с тем, чтобы не посчитать его дважды (рисунок выше – полная площадь фигуры).

Для случая трех совместных событий формула будет иметь вид:

    \[P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cdot B)- P(B\cdot C)- P(A\cdot C)+P(A \cdot B \cdot C)\]

Сумма трех попарно совместных событий

Задача 1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение. Событие «меньше 20 пассажиров» включает в себя событие «в автобусе меньше 15 пассажиров» и событие «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». То есть является их суммой. Задача может быть переписана так: «Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94 (P(A+B)). Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров (P(A)), равна 0,56. В автобусе может оказаться ИЛИ меньше 15 пассажиров, ИЛИ число пассажиров будет от 15 до 19 (P(B))» – то есть надо применить формулу суммы вероятностей.

    \[P(A+B)= P(A)+P(B)\]

    \[0,94= 0,56+P(B)\]

    \[P(B)=0,38\]

Ответ: 0,38

Задача 2. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 или больше чем 67,01 мм.

Решение. Слово «или» уже промелькнуло в задаче, наталкивая нас на решение. Понятно, что изготовленный подшипник будет иметь какой-то (любой) размер (ИЛИ тот, ИЛИ другой) – то есть полная вероятность 1. Эта вероятность – сумма вероятностей событий «диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм» и «диаметр меньше чем 66,99 или больше чем 67,01 мм». Тогда

    \[P(A+B)= P(A)+P(B)\]

    \[1= 0,965+P(B)\]

    \[P(B)=1-0,965=0,035\]

Ответ: 0,035

Задача 3. Прибор, состоящий из двух блоков, выходит из строя, если выходят из строя оба блока. Вероятность безотказной работы за определенный промежуток времени первого блока составляет 0,9, второго – 0,8, обоих блоков– 0,75. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение указанного промежутка.

Решение. Так как вероятность отказа обоих блоков не равна произведению вероятностей отказа обоих в отдельности (0,75\neq 0,9\cdot 0,8), мы понимаем, что речь идет о вероятности суммы двух совместных событий А и В, то есть

    \[P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A\cdot B)\]

Вероятность произведения («сломался И в первый, И второй») равна по условию 0,75.

Поэтому

    \[P(A+B)= 0,9+0,8-0,75=0,95\]

Ответ: 0,95.

Задача 4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение: Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, не равна произведению вероятностей (0,12\neq 0,3\cdot 0,3), поэтому события зависимые и речь идет о вероятности суммы двух совместных событий А и В (А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате), то есть

    \[P(A+B)= P(A)+P(B)-P(A\cdot B)\]

Вероятность произведения («закончился И в первом, И во втором автоматах») равна по условию 0,12.

Поэтому

    \[P(A+B)= 0,3+0,3-0,12=0,48\]

Это мы нашли вероятность события «кофе закончился или в первом, или во втором, или в обоих автоматах». Нам же нужно противоположное событие – «кофе остался в обоих автоматах». Вероятность суммы противоположных событий равна 1, поэтому

    \[P_{isk}=1- P(A+B)=1-0,48=0,52\]

Ответ: 0,52.

Задача 5. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение: И первый продавец занят, И в торой, И третий – ищем вероятность произведения как произведение вероятностей независимых событий:

    \[P(A\cdot B \cdot C)= P(A)\cdot P(B) \cdot P(C)=0,7\cdot 0,7\cdot 0,7=0,343\]

Ответ: 0,343.

Задача 6. Один из автоматов быстрого питания продает кофе, второй – булочки. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе равна 0,25, а вероятность того, что во втором закончатся булочки, равна 0,2. Найдите вероятность того, что посетитель к концу дня сможет купить кофе с булочкой.

Решение: вероятность того, что останется кофе, равна 0,75, а вероятность того, что останутся булочки – 0,8. Вероятность произведения событий (останутся И кофе, И булочки) равна произведению вероятностей – 0,6 – так как события независимы.

Вероятность, что покупателю в конце дня достанется хоть что-то (или кофе, или булочка), равна

    \[P=1-0,2\cdot 0,25=1-0,05=0,95\]

Ответ: 0,6

Задача 7. В таксомоторном парке города есть два вида автомобилей – «Skoda Octavia» и «Renault Logan», причем все автомобили либо черного, либо белого цвета. Каждое утро Иван Иванович добирается к месту работы на такси. Было замечено, что в семи случаях из десяти ему на посадку подают «Skoda Octavia», а в четырех случаях из десяти – это автомобиль белого цвета. Какова вероятность того, что завтра Иван Иванович поедет на работу на «Renault Logan» черного цвета?

Решение: вероятность того, что машина будет черной, равна 0,6, а вероятность того, что это будет «Renault Logan» – 0,3. Подача определенной марки машины, и машины конкретного цвета – события независимые. Поэтому вероятность произведения событий (И логан, И черный) равна произведению вероятностей:

    \[P(A\cdot B )= P(A)\cdot P(B) =0,6\cdot 0,3=0,18\]

Ответ: 0,18.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *