Теоремы о вероятностях событий – 2

[latexpage]

В этой статье – продолжение  разбора задач на вероятность. Здесь собрана вся теория, которая может вам понадобиться, а также и вводные задачи.

Задача 1. Вероятность попасть в мишень равна 0,6. Произведено три выстрела. Какова вероятность, что мишень была поражена ровно 1 раз?
Решение. Мишень могла быть поражена ИЛИ первым выстрелом, ИЛИ вторым, ИЛИ третьим. (Применим формулу суммы вероятностей.) Но для начала надо посчитать вероятность поражения одним выстрелом. Попали первый раз, второй и третий выстрелы  – мимо. Вероятность такого события – $0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,4=0,096$. Аналогично – попали вторым выстрелом, первый и третий мимо: $0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,4=0,096$. И точно так же рассчитывается вероятность попасть третьим выстрелом. Тогда вероятность суммы событий

$$P=0,096\cdot 3=0,288$$

К слову, вероятность не попасть ни единожды – $0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4=0,064$, а вероятность попасть все три раза $0,6\cdot 0,6 \cdot 0,6=0,216$.

Ответ: 0,288

Задача 2. Три подруги запланировали в воскресенье пойти в театр. Накануне выяснилось, что Лена «стопудово» идет, у Вики «нечего надеть» и она процентов на 80 не сможет составить компанию подругам, Марина в силу обстоятельств оценила возможность посещения спектакля как «50 на 50». Какова вероятность, что все три подруги посетят мероприятие?

Решение. Вероятность, что пойдет Лена, равна 1, для Вики она составляет  20% или 0,2, а для Марины 50% или 0,5. Тогда вероятность, что все три подруги встретятся в театре (И Лена, И Вика, И Марина), равна произведению вероятностей.

$$P=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)=1\cdot 0,2 \cdot 0,5=0,1$$

Ответ: 0,1

Задача 3. После 5 выстрелов биатлонист закрыл 4 мишени из 5. Чтобы закрыть последнюю мишень, у него есть 3 дополнительных патрона. Вероятность промаха при дополнительном выстреле равна 0,3. Найдите вероятность того, что последняя мишень будет поражена.

Решение. Вероятность промахнуться И в первый раз, И во второй раз, И в третий – равна произведению $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3=0,027$. Мы ищем вероятность противоположного события – что каким-то из трех выстрелов, или всеми тремя, мишень будет поражена. Это событие, противоположное событию «три промаха» и его вероятность равна $1-0,027=0,973$.

Вероятность попасть все три раза равна $0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,7=0,343$, вероятность попасть только первым (только вторым, только третьим) выстрелом равна $0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,7=0,063$, вероятность попасть первым и вторым (вторым и третьим, первым и третьим выстрелами) равна $0,7 \cdot 0,7 \cdot 0,3=0,147$, и тогда полная вероятность складывается из суммы вероятностей всех этих событий (не попал ни разу – $P_0$, попал одним выстрелом (любым) – $P_1$, попал двумя выстрелами (любыми) – $P_2$, попал тремя выстрелами $P_3$:

$$P=P_0+3P_1+3P_2+P_3=0,027+3\cdot 0,064+3\cdot 0,147+0,343=1$$

Ответ: 0,973

Задача 4. Гольфист на тренировке пытается за пять ударов закрыть лунку (попасть в нее мячом). Вероятность попадания в лунку при первом ударе равна 0,1, при втором – 0,3, при третьем – 0,5, при четвертом – 0,8, при пятом – 0,9. Какова вероятность того, что гольфист попадет в лунку, использовав все пять ударов?

Решение: вероятность не закрыть лунку за пять ударов (не закрыть первым, И не закрыть вторым, И не закрыть третьим и т.д.) равна произведению вероятностей: вероятность не закрыть первым ударом – 0,9, вторым – 0,7, третьим – 0,5, четвертым – 0,2 и пятым – 0,1. Тогда

$$P=0,9 \cdot 0,7 \cdot 0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,1=0,0063$$

В ответ запишем вероятность противоположного события: $1-0,0063=0,9937$.

Ответ: 0,9937

Задача 5. Компьютер случайным образом выводит на экран пятизначное число. Какова вероятность, что оно окажется палиндромом – то есть одинаково читается слева направо и справа налево (например, 12321)?

Решение. Всего пятизначных чисел 90000 – из 99999 вычитаем 9 однозначных, 90 двузначных, 900 трехзначных и 9000 – четырехзначных. Чтобы получить палиндром, достаточно выбрать три первых числа. То есть выбрать трехзначное число. Трехзначных всего 900, поэтому вероятность будет

$$P=\frac{900}{90000}=0,01$$

Ответ: 0,01.

Задача 6. Биатлонист 9 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последние пять промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. Вероятность не попасть равна $1-0,85=0,15$. Тогда вероятность произведения равна произведению вероятностей:

$$P=0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot0,15\cdot0,15\cdot0,15\cdot0,15\cdot0,15=0,000039$$

При округлении до сотых писать в ответ придется 0.

Ответ: 0,00.