Теорема Виета в задаче с параметром

[latexpage]

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)( (\operatorname{tg} {x}+6)+a^2(2a+8)=0$$

Относительно величины $x$ имеет ровно 2 решения на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

Если $x$ будет принадлежать интервалам $[0; \frac{\pi}{2}) \cup [\pi; \frac{3\pi}{2})$, то одному значению тангенса будет соответствовать два корня исходного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета, тогда $a^2(2a+8)$ – произведение корней, а $a^2+2a+8$ – их сумма. Тогда корни $\operatorname{tg} {x}+6=a^2$ и $\operatorname{tg} {x}+6=2a+8$.

$$\operatorname{tg} {x}=a^2-6$$

$$\operatorname{tg} {x}=2a+2$$

Одно значение тангенса мы получим, если $a^2-6=2a+2$:

$$a^2-2a+8=0$$

$$a_1=4$$

$$a_2=-2$$

Проверяем обязательно полученные значения параметра, подставляя их в равенство $a^2-6=2a+2$:

$$4^2-6=2\cdot4+2=10$$

Значение параметра $a=4$ – подходит.

При $a=-2$ имеем  единственный корень исходного уравнения, которое обращается в полный квадрат, и оно нам не подойдет.

Если $x$ будет принадлежать интервалу $[\frac{\pi}{2}; \pi)$, то корней может быть два, но оба они должны быть отрицательными, и не равными.

$$\begin{Bmatrix}{a^2-6<0}\\{2a+2<0}\\{a^2-6 \neq 2a+2}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{a^2-6<0}\\{a<-1}\\{a \neq -2}\\{a \neq -4}\end{matrix}$$

Решение этой системы неравенств: $a \in (-\sqrt{6}; -2) \cup (-2;-1)$

В итоге, объединяя решения, получаем ответ:

$a \in (-\sqrt{6}; -2) \cup (-2;-1) \cup \{4\}$