Теорема Виета в задаче с параметром

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра

Задача. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

Относительно величины имеет ровно 2 решения на отрезке .

Если будет принадлежать интервалам , то одному значению тангенса будет соответствовать два корня исходного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета, тогда – произведение корней, а – их сумма. Тогда корни и .

Одно значение тангенса мы получим, если :

Проверяем обязательно полученные значения параметра, подставляя их в равенство :

Значение параметра – подходит.

При имеем  единственный корень исходного уравнения, которое обращается в полный квадрат, и оно нам не подойдет.

Если будет принадлежать интервалу , то корней может быть два, но оба они должны быть отрицательными, и не равными.

Решение этой системы неравенств:

В итоге, объединяя решения, получаем ответ: