Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Теорема Виета в задаче с параметром

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. При решении уравнения использована теорема Виета, проведен анализ количества корней уравнения в зависимости от параметра

Задача. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

    \[(\operatorname{tg} {x}+6)^2-(a^2+2a+8)( (\operatorname{tg} {x}+6)+a^2(2a+8)=0\]

Относительно величины x имеет ровно 2 решения на отрезке [0; \frac{3\pi}{2}].

Если x будет принадлежать интервалам [0; \frac{\pi}{2}) \cup [\pi; \frac{3\pi}{2}), то одному значению тангенса будет соответствовать два корня исходного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета, тогда a^2(2a+8) – произведение корней, а a^2+2a+8 – их сумма. Тогда корни \operatorname{tg} {x}+6=a^2 и \operatorname{tg} {x}+6=2a+8.

    \[\operatorname{tg} {x}=a^2-6\]

    \[\operatorname{tg} {x}=2a+2\]

Одно значение тангенса мы получим, если a^2-6=2a+2:

    \[a^2-2a+8=0\]

    \[a_1=4\]

    \[a_2=-2\]

Проверяем обязательно полученные значения параметра, подставляя их в равенство a^2-6=2a+2:

    \[4^2-6=2\cdot4+2=10\]

Значение параметра a=4 – подходит.

При a=-2 имеем  единственный корень исходного уравнения, которое обращается в полный квадрат, и оно нам не подойдет.

Если x будет принадлежать интервалу [\frac{\pi}{2}; \pi), то корней может быть два, но оба они должны быть отрицательными, и не равными.

    \[\begin{Bmatrix}{a^2-6<0}\\{2a+2<0}\\{a^2-6 \neq 2a+2}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{a^2-6<0}\\{a<-1}\\{a \neq -2}\\{a \neq -4}\end{matrix}\]

Решение этой системы неравенств: a \in (-\sqrt{6}; -2) \cup (-2;-1)

В итоге, объединяя решения, получаем ответ:

a \in (-\sqrt{6}; -2) \cup (-2;-1) \cup \{4\}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *