Теорема Ван-Обеля

[latexpage]

Разберем сегодня очень полезную теорему – теорему Ван-Обеля. Она редкий гость в школе на уроках геометрии, но в некоторых учебниках представлена. Иногда очень помогает решить задачу 16 в ЕГЭ.

Задача 1. По данным рисунка найти отношение $\frac{x}{y}$.

К задаче 1

Решение. Согласно теореме

$$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12}$$

Ответ: $\frac{x}{y}=\frac{17}{12}$
Задача 2. По данным рисунка найти отношение $\frac{x}{y}$.

К задаче 2

Решение. Согласно теореме

$$\frac{3}{2}=\frac{x}{y}+\frac{1}{1}$$

$$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}-\frac{1}{1}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$.
Задача 3. По данным рисунка найти отношение $\frac{x}{y}$.

К задаче 3

Решение. Согласно теореме

$$\frac{1}{1}=\frac{y}{x}+\frac{a}{2a}$$

$$\frac{y}{x}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{x}{y}=\frac{2}{1}$.