Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теорема Штейнера

Теорема Штейнера

Задачи на тему «теорема Штейнера».

Сначала давайте соберем в «кучку» все формулы моментов инерции для часто встречающихся тел.

Момент инерции тонкого кольца (ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр)

    \[J=mr^2\]

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра  (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

    \[J=mr^2\]

Момент инерции сплошного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

    \[J=\frac{mr^2}{2}\]

Момент инерции полого толстостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

    \[J=\frac{m}{2}\left(r_1^2+r_2^2\right)\]

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с осью диска)

    \[J=\frac{mr^2}{2}\]

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с диаметром диска)

    \[J=\frac{mr^2}{4}\]

Момент инерции шара (ось вращения совпадает с центром)

    \[J=\frac{2mr^2}{5}\]

Момент инерции полой тонкостенной сферы (ось вращения совпадает с центром)

    \[J=\frac{2mr^2}{3}\]

Момент инерции тонкого стержня  (ось вращения совпадает с центром)

    \[J=\frac{ml^2}{12}\]

Напоминаю теорему Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера

    \[J=J_C+md^2\]

Теперь можно решить пару задач.

Задача 1. Найти момент инерции обруча массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно обручу.

Решение:

К задаче 1

По таблице определим момент инерции обруча (кольца), и прибавим произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, а это – радиус кольца. Тогда

    \[J= mr^2+ mr^2=2mr^2\]

Ответ: J=2mr^2

 

Задача 2. Найти момент инерции тонкого стержня массой m и длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

Решение.

К задаче 2

Расстояние между осями

    \[d=\frac{L}{2}-\frac{L}{3}=\frac{L}{6}\]

Согласно таблице момент инерции стержня равен J_C=\frac{ml^2}{12}, тогда по теореме Штейнера

    \[J= J_C+md^2=\frac{ml^2}{12}+\frac{ml^2}{36}=\frac{ml^2}{9}\]

Ответ: J=\frac{ml^2}{9}

 

Задача 3. Два шара радиусами R=2 см и массой m=10 г каждый скреплены тонким стержнем массой M=40 г и длиной L=20 см. Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести, а также относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей в \frac{L}{4} от его конца.

К задаче 3

Решение:

  1. Сначала найдем момент инерции системы относительно ее центра масс.

    \[J=J_{st}+2 J_{sh}\]

Здесь J_{st} – момент инерции стержня, J_{sh} – момент инерции одного из шаров.

Момент инерции стержня определим по таблице, так как очевидно, что его центр является центром масс системы и ось вращения будет проходить через центр масс стержня.

    \[J_{st}=\frac{ML^2}{12}\]

Определим момент инерции одного из шаров по теореме Штейнера:

    \[J_{sh}=J_C+md^2\]

    \[d=R+\frac{L}{2}\]

    \[J_{sh}=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2\]

Тогда ответом на пункт а) будет

    \[J=\frac{ML^2}{12}+\frac{4mr^2}{5}+2m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2=\frac{0,04\cdot0,2^2}{12}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+2\cdot0,01\left(0,02+0,1\right)^2=4,2\cdot10^{-4}\]

б) Теперь пусть ось проходит на расстоянии четверти длины стержня от его конца. Тогда момент инерции стержня будет равен по теореме Штейнера

    \[J_{st}=J_C+Md_1^2=\frac{ML^2}{12}+\frac{ML^2}{16}\]

Момент инерции шара, ближнего к оси вращения:

    \[J_{sh}=J_C+md_2^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2\]

Момент инерции шара, дальнего от оси вращения:

    \[J_{sh}=J_C+md_3^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2\]

Тогда ответом на пункт б) будет

    \[J=\frac{7ML^2}{48}+\frac{4mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2}+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2=\]

    \[=\frac{7\cdot0,04\cdot0,2^2}{48}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+0,01\left(0,02+0,05\right)^2+0,01\left(0,02+0,15\right)^2=5,7\cdot10^{-4}\]

Ответ: а) J=4,2\cdot10^{-4} кг\cdot м^2, б) J=5,7\cdot10^{-4} кг\cdot м^2.

Задача 4. Имеется диск диаметром D=40 см и массой M=300 г. В диске вырезали круглое отверстие диаметром 8 см, центр которого находится на расстоянии a=\frac{D}{4} от центра диска. Найти момент инерции J фигуры относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.

К задаче 4

Решение:

    \[J=J_1-J_2\]

J_1 – момент инерции диска, J_2 – вырезанная часть.

    \[J_1=\frac{1}{2}MR^2=\frac{1}{8}MD^2\]

    \[J_2=\frac{1}{2}mr^2+ma^2=\frac{1}{16}mD^2+\frac{1}{8}md^2\]

m – масса вырезанной части. Массу вырезанной части найдем как

m=\sigma S_1, \sigma=\frac{M}{S} – поверхностная плотность диска.

Если S – площадь диска, а S_1 – площадь вырезанной части, то

    \[S=\frac{\pi D^2}{4}\]

    \[S_1=\frac{\pi d^2}{4}\]

    \[m=\frac{M d^2}{D^2}\]

Тогда момент инерции вырезанной части

    \[J_2=\frac{Md^2}{16D^2}\left(2d^2+D^2\right)\]

И момент инерции фигуры

    \[J=\frac{MD^2}{8}-\frac{Md^2}{16D^2}\left(2d^2+D^2\right)= \frac{M}{16D^2}\left(2D^4-2d^4-d^2D^2\right)=\]

    \[= \frac{0,3}{16\cdot0,4^2}\left(2\cdot0,4^4-2\cdot0,08^4-0,08^2\cdot0,4^2\right)=58,7\cdot10^{-4}\]

Ответ: J=58,7\cdot10^{-4} кг\cdot м^2.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *