Теорема Штейнера

Задачи на тему «теорема Штейнера».

Сначала давайте соберем в «кучку» все формулы моментов инерции для часто встречающихся тел.

Момент инерции тонкого кольца (ось вращения перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр)

$J=mr^2$

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

$J=mr^2$

Момент инерции сплошного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

$J=\frac{mr^2}{2}$

Момент инерции полого толстостенного цилиндра (ось вращения совпадает с осью цилиндра)

$J=\frac{m}{2}\left(r_1^2+r_2^2\right)$

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с осью диска)

$J=\frac{mr^2}{2}$

Момент инерции диска (ось вращения совпадает с диаметром диска)

$J=\frac{mr^2}{4}$

Момент инерции шара (ось вращения совпадает с центром)

$J=\frac{2mr^2}{5}$

Момент инерции полой тонкостенной сферы (ось вращения совпадает с центром)

$J=\frac{2mr^2}{3}$

Момент инерции тонкого стержня (ось вращения совпадает с центром)

$J=\frac{ml^2}{12}$

Напоминаю теорему Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера

$J=J_C+md^2$

Теперь можно решить пару задач.

Задача 1. Найти момент инерции обруча массой $m$ и радиусом $R$ относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно обручу.

Решение:

К задаче 1

По таблице определим момент инерции обруча (кольца), и прибавим произведение массы тела на квадрат расстояния между осями, а это – радиус кольца. Тогда

$J= mr^2+ mr^2=2mr^2$

Ответ: $J=2mr^2$

Задача 2. Найти момент инерции тонкого стержня массой $m$ и длиной $L$ относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

Решение.

К задаче 2

Расстояние между осями

$d=\frac{L}{2}-\frac{L}{3}=\frac{L}{6}$

Согласно таблице момент инерции стержня равен $J_C=\frac{ml^2}{12}$ , тогда по теореме Штейнера

$J= J_C+md^2=\frac{ml^2}{12}+\frac{ml^2}{36}=\frac{ml^2}{9}$

Ответ: $J=\frac{ml^2}{9}$

Задача 3. Два шара радиусами $R=2$ см и массой $m=10$ г каждый скреплены тонким стержнем массой $M=40$ г и длиной $L=20$ см. Найти момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести, а также относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей в $\frac{L}{4}$ от его конца.

К задаче 3

Решение:

Сначала найдем момент инерции системы относительно ее центра масс.

$J=J_{st}+2 J_{sh}$

Здесь $J_{st}$ – момент инерции стержня, $J_{sh}$ – момент инерции одного из шаров.

Момент инерции стержня определим по таблице, так как очевидно, что его центр является центром масс системы и ось вращения будет проходить через центр масс стержня.

$J_{st}=\frac{ML^2}{12}$

Определим момент инерции одного из шаров по теореме Штейнера:

$J_{sh}=J_C+md^2$

$d=R+\frac{L}{2}$

$J_{sh}=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2$

Тогда ответом на пункт а) будет

$J=\frac{ML^2}{12}+\frac{4mr^2}{5}+2m\left(R+\frac{L}{2}\right)^2=\frac{0,04\cdot0,2^2}{12}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+2\cdot0,01\left(0,02+0,1\right)^2=4,2\cdot10^{-4}$

б) Теперь пусть ось проходит на расстоянии четверти длины стержня от его конца. Тогда момент инерции стержня будет равен по теореме Штейнера

$J_{st}=J_C+Md_1^2=\frac{ML^2}{12}+\frac{ML^2}{16}$

Момент инерции шара, ближнего к оси вращения:

$J_{sh}=J_C+md_2^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2$

Момент инерции шара, дальнего от оси вращения:

$J_{sh}=J_C+md_3^2=\frac{2mr^2}{5}+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2$

Тогда ответом на пункт б) будет

$J=\frac{7ML^2}{48}+\frac{4mr^2}{5}+m\left(R+\frac{L}{4}\right)^2}+m\left(R+\frac{3L}{4}\right)^2=$

$=\frac{7\cdot0,04\cdot0,2^2}{48}+\frac{4\cdot0,01\cdot0,02^2}{5}+0,01\left(0,02+0,05\right)^2+0,01\left(0,02+0,15\right)^2=5,7\cdot10^{-4}$

Ответ: а) $J=4,2\cdot10^{-4}$ кг $\cdot$ м $^2$ , б) $J=5,7\cdot10^{-4}$ кг $\cdot$ м $^2$ .

Задача 4. Имеется диск диаметром $D=40$ см и массой $M=300$ г. В диске вырезали круглое отверстие диаметром 8 см, центр которого находится на расстоянии $a=\frac{D}{4}$ от центра диска. Найти момент инерции $J$ фигуры относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости.