Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Теорема Штейнера

Теорема Штейнера. Подготовка к олимпиадам, 9 класс

В этой статье мы уже выходим за рамки школьной программы: теорему Штейнера в школе не дают. Но задачи “решабельные”, и интересные.

Задача 1. Тележка с массивными колёсами съезжает с наклонной плоскости длиной S=10 м, составляющей угол \alpha=30^{\circ} с горизонтом за t_0=2,5 с. За какое время съедет эта же тележка с этой же наклонной плоскости, если на неё положить груз, масса которого равна массе тележки? Ответ выразить в секундах, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

К задаче 1

Решение.

При движении тележки её потенциальная энергия переходит в кинетическую, часть из которой есть энергия поступательного движения, а часть — энергия вращательного движения колес и осей. Поэтому запишем полную кинетическую энергию в виде \beta\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}, где \beta —неизвестный безразмерный коэффициент, зависящий от соотношения масс колёс и платформы, а также размеров и формы колёс.

Из закона сохранения энергии следует, что

    \[\beta\cdot \frac{m\upsilon^2}{2}=m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha\]

Так как силы, действующие на тележку, постоянны, то она движется равноускоренно. Так как начальная скорость равна нулю, то перемещение выражается по формуле S=\frac{\upsilon}{2}\cdot t_0, откуда скорость тележки в конце спуска равна

    \[\upsilon=\frac{2S}{t_0}\]

Подставив это выражение в закон сохранения энергии, получим равенство

    \[\frac{2\beta \cdot m\cdot S^2}{t_0^2}=m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha\]

После того, как на тележку положили груз (который движется поступательно), кинетическая энергия тележки с грузом равна \beta\cdot \frac{m\tilde{\upsilon}^2}{2}+\frac{m\tilde{\upsilon}^2}{2}, где \tilde{\upsilon} — скорость тележки с грузом в конце спуска. Тогда аналогичный закон сохранения энергии принимает вид

    \[\frac{2(\beta+1)\cdot m\cdot S^2}{t^2}=2m\cdot g\cdot S\cdot \sin\alpha.\]

Здесь t — искомое время спуска.

Получается система уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{2\beta \cdot S^2}{t_0^2}=g\cdot S\cdot \sin\alpha,}\\{ \frac{(\beta+1)\cdot S^2}{t^2}=g\cdot S\cdot \sin\alpha.}\end{matrix}\]

Решая её, находим, что искомое время равно

    \[t=\sqrt{\frac{1}{2}\left(t_0^2+\frac{2S}{g\cdot\sin\alpha}\right)}\approx2,3.\]

Ответ: 2,3 c.

 

Задача 2. Однородный диск, имеющий массу m=1 кг и радиус R=1 м вращается с угловой скоростью \omega_1=5 рад/с. На край диска сверху падает и прилипает кусок пластилина массой 2m. Определите новую угловую скорость образовавшейся системы. Ответ выразить в рад/с. Округлить до целых.

Решение.

По закону сохранения момента импульса L_1=L_2, где моменты импульса L_1=I_1\omega_1, L_2=I_2\omega_2. I — моменты инерции системы, соответственно: I_1=\frac{1}{2}mR^2, I_2=\frac{1}{2}mR^2+2mR^2=\frac{5}{2}mR^2. Откуда \omega_2=\frac{\omega_1}{5}=1..

Ответ: 1 рад/с.

Задача 3. Найдите момент инерции однородного стержня длинной L=1 м, имеющего массу m=4,8 кг, относительно оси, перпендикулярной стержню, и проходящей через точку стержня, отстоящую на одну четверть от его края. Ответ выразите в кг\cdotм^2. Округлите до десятых.

Решение.

Момент инерции стержня относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр масс I_0=\frac{1}{12}mL^2. По теореме Штейнера момент инерции относительно оси, смещенной на \frac{L}{4}, равен

    \[I=I_0+m\left(\frac{1}{4}L\right)^2=\frac{7}{48}mL^2=0,7.\]

Ответ: 0,7 кг\cdotм^2.

 

Задача 4. Тонкостенная труба без проскальзывания скатывается с горки высотой H=6,4 м, имеющей угол \alpha=30^{\circ} с горизонтом. Определите время скатывания. Ответ выразите в секундах. Округлите до десятых. Начальная скорость трубы равна нулю. g=10 м/c^{2}.

Решение.

Закон сохранения энергии с учетом энергии вращательного движения примет вид mgH=m\upsilon^2, откуда можно выразить конечную скорость трубы. Так как движение центра масс трубы равноускоренное, то время скатывания равно \tau=\frac{2L}{\upsilon}, где L=\frac{H}{\sin\alpha}. Окончательно \tau=\frac{2}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{H}{g}}=3,2.

Ответ: 3,2 c.

Задача 5. Однородный стержень длиной L=0,6 м, шарнирно закрепленный за край, отклонили на угол 60^\circ от вертикали и отпустили. Чему будет равна скорость нижней точки стержня при прохождении им положения равновесия? Ответ выразить в м/с, округлить до целых. g=10 м/c^{2}.

Решение.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия стержня перейдет в кинетическую энергию вращательного движения. mg\frac{L}{2}(1-\cos\alpha)=\frac{I\omega^2}{2}, где I=\frac{1}{3}mL^2 — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его край. Линейная скорость нижнего конца стержня \upsilon=\omega L. Откуда \nu=\sqrt{\frac{3gL}{2}}=3.

Ответ: 3 м/с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *