Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Динамика, Олимпиадная физика

Теорема о движении центра масс – 1

Статья посвящена теореме о движении центра масс, а также комбинированным задачам, где эта теорема используется.

Задача 1. Веревка массой m и длиной l вращается с угловой скоростью \omega вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее концов. Найти силу натяжения веревки на расстоянии \frac{2l}{3} от оси вращения.

К задаче 1

Решение. Представим веревку в виде двух брусков, один будет иметь массу \frac{2}{3}m, второй \frac{1}{3}m, и соединены они будут невесомой нитью – вот ее-то натяжение нам и надо найти.

Деление веревки на куски

Для бруска длиной \frac{l}{3} запишем уравнение по второму закону:

    \[T=\frac{1}{3}ma\]

По теореме о движении центра масс

    \[a=\omega^2R\]

Где R – расстояние от оси вращения до центра масс внешнего куска.

    \[R=\frac{2l}{3}+\frac{l}{6}=\frac{5l}{6}\]

    \[T=\frac{1}{3}m\omega^2\cdot\frac{5l}{6}=\frac{5lm\omega^2}{18}\]

Ответ: T=\frac{5l m\omega^2}{18}

Задача 2. Изогнутая трубка состоит из одного горизонтального колена и двух вертикальных колен. Трубка укреплена на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью \omega вокруг вертикальной оси. Вертикальные колена находятся на расстояниях R и 4R от оси вращения. Найдите установившуюся разность уровней (по высоте) налитой в трубку воды в ее вертикальных коленах. Диаметр трубки значительно меньше ее длины.

К задаче 2

Решение.

Рассмотрим горизонтальный участок трубки. По теореме о центре масс

    \[m a_{zm}=F_2-F_1\]

Горизонтальный участок

Силы, действующие на горизонтальный столб слева и справа равны:

    \[F_1=(p_0+\rho g h_1)S\]

    \[F_2=(p_0+\rho g h_2)S\]

p_0 – атмосферное давление.

Распишем массу:

    \[m=\rho V=\rho\cdot 3RS\]

И тогда первое уравнение после подстановок будет выглядеть так:

    \[\rho g (h_2-h_1)S=\rho\cdot 3RS\cdot \omega^2\cdot 2,5R\]

2,5R – таково расстояние от центра масс горизонтального столбика до оси вращения.

    \[\Delta h=\frac{15}{2}\frac{\omega^2 R^2}{g}\]

Ответ: \Delta h=\frac{15}{2}\frac{\omega^2 R^2}{g}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *