[latexpage]
Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.
Задача 1. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$, причем $AM:MB=1:2$.
А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD$.
Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD$?

К задаче 1
Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч $MR$ и луч $CA$ и найдем точку их пересечения – $S$. Через данную точку и точку $Q$ проведем луч $SQ$ – он принадлежит плоскости $ADC$. Этот луч пересечет отрезок $DC$ – назовем эту точку $T$.
Образовался четырехугольник сечения – $MQTR$.
Определим отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $SC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.
$$\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$
$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$
Откуда
$$\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}$$
То есть $A$ – середина $SC$.
Теперь найдем отношение, в котором точка $T$ делит отрезок $DC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости $ADC$:

Сечение пирамиды плоскостью
$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1$$
$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$
$$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$$
Ответ: $\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$.
Задача 2. Точка $M$ – середина ребра $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$. Точки $K$ и $L$ лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно, причем $B$ – середина отрезка $AK$, а $C$ – середина отрезка $AL$.
А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $M$, $K$ и $L$.
Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $BD$?

К задаче 2
Соединим точки $M$ и $L$, $M$ и $K$ – и обозначим точки пересечения этих лучей с ребрами $DC$ и $DB$ – $G$ и $F$. Получено сечение $MGF$.
Для треугольника $ADB$ и секущей $MK$ составим теорему Менелая:

Сечение в задаче 2
$$\frac{DG}{GB}\cdot\frac{BK}{KA}\cdot\frac{AM}{MD}=1$$
$$\frac{DG}{GB}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=1$$
$$\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$$
Ответ: $\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...