Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Теорема Менелая при решении задачи 14

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.

Задача 1. Точка M лежит на ребре AB треугольной пирамиды ABCD, причем AM:MB=1:2.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и середины ребер BC и AD.

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро CD?

К задаче 1

Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч MR и луч CA и найдем точку их пересечения – S. Через данную точку и точку Q проведем луч SQ – он принадлежит плоскости ADC. Этот луч пересечет отрезок DC – назовем эту точку T.

Образовался четырехугольник сечения – MQTR.

Определим отношение, в котором точка A делит отрезок SC. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

    \[\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1\]

    \[\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1\]

Откуда

    \[\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}\]

То есть A – середина SC.

Теперь найдем отношение, в котором точка T делит отрезок DC. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости ADC:

Сечение пирамиды плоскостью

    \[\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1\]

    \[\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1\]

    \[\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}\]

Ответ: \frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}.

Задача 2. Точка M – середина ребра AD треугольной пирамиды ABCD. Точки K и L лежат на прямых AB и AC соответственно, причем B – середина отрезка AK, а C – середина отрезка AL.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, K  и L.

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BD?

К задаче 2

Соединим точки M и L, M и K – и обозначим точки пересечения этих лучей с ребрами DC и DBG и F. Получено сечение MGF.

Для треугольника ADB и секущей MK составим теорему Менелая:

Сечение в задаче 2

    \[\frac{DG}{GB}\cdot\frac{BK}{KA}\cdot\frac{AM}{MD}=1\]

    \[\frac{DG}{GB}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=1\]

    \[\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}\]

Ответ: \frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *