Теорема Менелая при решении задачи 14

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.

Задача 1. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$ , причем $AM:MB=1:2$ .

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD$ .

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD$ ?

К задаче 1

Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч $MR$ и луч $CA$ и найдем точку их пересечения – $S$ . Через данную точку и точку $Q$ проведем луч $SQ$ – он принадлежит плоскости $ADC$ . Этот луч пересечет отрезок $DC$ – назовем эту точку $T$ .

Образовался четырехугольник сечения – $MQTR$ .

Определим отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $SC$ . Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

$\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1$

$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1$

Откуда

$\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}$

То есть $A$ – середина $SC$ .

Теперь найдем отношение, в котором точка $T$ делит отрезок $DC$ . Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости $ADC$ :

Сечение пирамиды плоскостью

$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1$

$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$

$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$ .

Задача 2. Точка $M$ – середина ребра $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$ . Точки $K$ и $L$ лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно, причем $B$ – середина отрезка $AK$ , а $C$ – середина отрезка $AL$ .