Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Но, прежде чем применять эту теорему в пространственных задачах, давайте научимся применять ее на плоскости.
Теорема Менелая. Пусть на сторонах и на продолжении стороны
треугольника
взяты соответственно точки
,
и
, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки
лежат на одной прямой, то выполняется равенство:
Совет: чтобы никогда не ошибаться, «обход» надо начинать с вершины треугольника. Треугольник надо выбрать так, чтобы отрезки, отношение длин которых вы ищете, образовывали одну из его сторон. При обходе следите, чтобы из вершины переходить к точке пересечения стороны треугольника и выбранной секущей, а затем снова к вершине: «От вершины до пересечения, от пересечения до вершины» и т.д. Закончить обход нужно в той же точке, из которой он был начат.
Задача 1. В треугольнике на стороне
выбрана точка
так, что
, точка
-середина
. Найдите
, где
-точка пересечения
и
.

К задаче 1
Выбираем в качестве «треугольника» – – выделила его рыжим цветом, одна из его сторон содержит отрезки, отношение которых нас интересует. А секущей будет служить
– показана красным цветом. Тогда, начиная обход с вершины А, двигаемся по стрелкам «от вершины до пересечения» – неплохо будет это проговаривать на начальном этапе.

Обход
По мере обхода записываем:
Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:
Тогда
Ответ:
Задача 2. Пусть – медиана треугольника
. На медиане
взята точка
так, что
. Прямая
разбивает треугольник
на два:
и
, причем
-точка пересечения
и
. Найдите отношение площадей треугольников
и
.
Так как указанные треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся так же, как относятся длины их оснований. Поэтому необходимо найти отношение – это и будет ответом.

К задаче 2
В качестве «треугольника» выберем – пометила рыжим, в качестве секущей послужит
. Начинаем обход с вершины – к пересечению, от пересечения – к вершине.

Обход в задаче 2
По мере обхода записываем:
Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:
Откуда
Или
Ответ: 1,5.
Задача 3. Биссектрисы и
треугольника
пересекаются в точке
. Найдите площадь треугольника
, если
,
,
.

К задаче 3
По свойству биссектрисы можно заключить, что
Чтобы найти площадь треугольника , надо сначала определить площадь треугольника
, а для этого нужно знать отношение длин отрезков
. Применим теорему Менелая. За треугольник возьмем
, а секущей послужит
.

Обход в задаче 3
Начнем обход с вершины А:
Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:
Откуда
Так как у треугольников и
общая высота, то их площади относятся так же, как их основания. Поэтому
. Тогда
Поскольку
То
Полная площадь треугольника равна
Ответ: .
Задача 4. В треугольнике , описанном около окружности,
,
и
– точки касания, лежащие соответственно на сторонах
и
.
– точка пересечения отрезков
и
, где
– высота. Найдите отношение
.

К задаче 4
Заметим, что не является точкой касания прямой
и окружности.
Чтобы для решения этой задачи воспользоваться теоремой Менелая, нам нужно знать отношения длин каких-нибудь отрезков. Давайте сначала воспользуемся теоремой об отрезках касательных. По этой теореме ,
,
:

Теорема об отрезках касательных
Тогда
Складываем все три уравнения:
Или
Из этого уравнения вычтем по очереди три первых:
Теперь мы уже знаем некоторые отношения длин. Но не помешало бы знать отношение (или сами длины) отрезков и
. Для этого найдем высоту треугольника
. Площадь этого треугольника по формуле Герона
С другой стороны, площадь можно записать и так:
Тогда
Определим теперь по теореме Пифагора:
А тогда
Теперь пришло время применить теорему Менелая. Треугольником послужит , секущей –
.

Теорема Менелая в задаче 4
Тогда
Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:
Откуда
Ответ:
В авторском решении пуля летит вниз под углом к горизонту. По тексту задачи этого...
Добрый день, почему мы не учитываем вертикальную составляющую скорости системы...
[latexpage] Это объемы, которые я сократила на площадь сечения $S$. Вначале правый сосуд...
Анна, а почему в 27 задании для изотермического процесса умножаем p0 на ho? ведь...
Конечно, нет. Спасибо за...