Теорема Менелая на плоскости

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Но, прежде чем применять эту теорему в пространственных задачах, давайте научимся применять ее на плоскости.

Теорема Менелая. Пусть на сторонах $AB, BC$ и на продолжении стороны $AС$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $C_1$ , $A_1$ и $B_1$ , не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки $A_1,B_1,C_1$ лежат на одной прямой, то выполняется равенство:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

Совет: чтобы никогда не ошибаться, «обход» надо начинать с вершины треугольника. Треугольник надо выбрать так, чтобы отрезки, отношение длин которых вы ищете, образовывали одну из его сторон. При обходе следите, чтобы из вершины переходить к точке пересечения стороны треугольника и выбранной секущей, а затем снова к вершине: «От вершины до пересечения, от пересечения до вершины» и т.д. Закончить обход нужно в той же точке, из которой он был начат.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $A_1$ так, что $BA_1:A_1C=1:3$ , точка $C_1$ -середина $AB$ . Найдите $AK:KA_1$ , где $K$ -точка пересечения $AA_1$ и $CC_1$ .

К задаче 1

Выбираем в качестве «треугольника» – $ABA_1$ – выделила его рыжим цветом, одна из его сторон содержит отрезки, отношение которых нас интересует. А секущей будет служить $C_1C$ – показана красным цветом. Тогда, начиная обход с вершины А, двигаемся по стрелкам «от вершины до пересечения» – неплохо будет это проговаривать на начальном этапе.

Обход

По мере обхода записываем:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{ C A_1}\cdot\frac{A_1K}{KA}=1$

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

$\frac{1}{1}\cdot\frac{4}{ 3}\cdot\frac{A_1K}{KA}=1$

Тогда

$\frac{A_1K}{KA}=\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{A_1K}{KA}=\frac{3}{4}$

Задача 2. Пусть $AD$ – медиана треугольника $ABC$ . На медиане $AD$ взята точка $K$ так, что $AK:KD=3: 1$ . Прямая $BK$ разбивает треугольник $ABC$ на два: $ABP$ и $CBP$ , причем $P$ -точка пересечения $BK$ и $AC$ . Найдите отношение площадей треугольников $ABP$ и $CBP$ .

Так как указанные треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся так же, как относятся длины их оснований. Поэтому необходимо найти отношение $\frac{AP}{CP}$ – это и будет ответом.

К задаче 2

В качестве «треугольника» выберем $ADC$ – пометила рыжим, в качестве секущей послужит $BP$ . Начинаем обход с вершины – к пересечению, от пересечения – к вершине.

Обход в задаче 2

По мере обхода записываем:

$\frac{AK}{KD}\cdot\frac{DB}{ BC}\cdot\frac{CP}{PA}=1$

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

$\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{ 2}\cdot\frac{CP}{PA}=1$

Откуда

$\frac{CP}{PA}=\frac{2}{ 3}$

Или

$\frac{PA}{CP}=\frac{S_{ABP}}{S_{BPC}}=\frac{ 3}{2}$

Ответ: 1,5.

Задача 3. Биссектрисы $BE$ и $AD$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $Q$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ , если $S_{BQD}=1$ , $2AC=3AB$ , $3BC=4AB$ .

К задаче 3

По свойству биссектрисы можно заключить, что

$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3y}{4y}$

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2z}{3z}$

Чтобы найти площадь треугольника $ABC$ , надо сначала определить площадь треугольника $ABQ$ , а для этого нужно знать отношение длин отрезков $AQ:QD$ . Применим теорему Менелая. За треугольник возьмем $ADC$ , а секущей послужит $BE$ .

Обход в задаче 3

Начнем обход с вершины А:

$\frac{AQ}{QD}\cdot\frac{DB}{ BC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

$\frac{AQ}{QD}\cdot\frac{2y}{ 5y}\cdot\frac{4z}{3z}=1$

Откуда

$\frac{AQ}{QD}=\frac{15}{ 8}$

Так как у треугольников $ABQ$ и $BQD$ общая высота, то их площади относятся так же, как их основания. Поэтому $S_{ABQ}=\frac{15}{ 8}$ . Тогда

$S_{ABD}= S_{ABQ}+ S_{BQD}=\frac{15}{ 8}+1=\frac{23}{ 8}$

Поскольку

$\frac{S_{ABD}}{ S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$

То

$S_{ADC}=1,5 S_{ABD}=\frac{69}{16}$

Полная площадь треугольника $ABC$ равна

$S_{ABC}= S_{ADC}+ S_{ABD}=\frac{69}{16}+\frac{23}{ 8}=\frac{115}{16}$

Ответ: $7\frac{3}{16}$ .

Задача 4. В треугольнике $ABC$ , описанном около окружности, $AB =13, BC = 12, AC = 9$ , $A_1$ и $C_1$ – точки касания, лежащие соответственно на сторонах $BC$ и $AB$ . $Q$ – точка пересечения отрезков $AA_1$ и $BH$ , где $BH$ – высота. Найдите отношение $BQ:QH$ .

К задаче 4

Заметим, что $H$ не является точкой касания прямой $AC$ и окружности.

Чтобы для решения этой задачи воспользоваться теоремой Менелая, нам нужно знать отношения длин каких-нибудь отрезков. Давайте сначала воспользуемся теоремой об отрезках касательных. По этой теореме $A_1B=BC_1=y$ , $AB_1=AC_1=x$ , $CB_1=CA_1=z$ :

Теорема об отрезках касательных

Тогда

$z+y=12$

$x+y=13$

$x+z=9$

Складываем все три уравнения:

$2x+2y+2z=34$

Или

$x+y+z=17$

Из этого уравнения вычтем по очереди три первых:

$x=5$

$y=8$

$z=4$

Теперь мы уже знаем некоторые отношения длин. Но не помешало бы знать отношение (или сами длины) отрезков $CH$ и $AH$ . Для этого найдем высоту треугольника $BH$ . Площадь этого треугольника по формуле Герона