Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Теорема Менелая на плоскости

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Но, прежде чем применять эту теорему в пространственных задачах, давайте научимся применять ее на плоскости.

Теорема Менелая. Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AС треугольника ABC взяты соответственно точки C_1,A_1 и B_1, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A_1,B_1,C_1 лежат на одной прямой, то выполняется равенство:

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1\]

Совет: чтобы никогда не ошибаться, «обход» надо начинать с вершины треугольника. Треугольник надо выбрать так, чтобы отрезки, отношение длин которых вы ищете, образовывали одну из его сторон. При обходе следите, чтобы из вершины переходить к  точке пересечения стороны треугольника и выбранной секущей, а затем снова к вершине: «От вершины до пересечения, от пересечения до вершины» и т.д. Закончить обход нужно в той же точке, из которой он был начат.

Задача 1.  В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка A_1 так, что BA_1:A_1C=1:3, точка C_1-середина AB. Найдите AK:KA_1, где K-точка пересечения AA_1 и CC_1.

К задаче 1

Выбираем в качестве «треугольника» – ABA_1 – выделила его рыжим цветом, одна из его сторон содержит отрезки, отношение которых нас интересует. А секущей будет служить C_1C – показана красным цветом. Тогда, начиная обход с вершины А, двигаемся по стрелкам «от вершины до пересечения» – неплохо будет это проговаривать на начальном этапе.

Обход

По мере обхода записываем:

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{ C A_1}\cdot\frac{A_1K}{KA}=1\]

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

    \[\frac{1}{1}\cdot\frac{4}{ 3}\cdot\frac{A_1K}{KA}=1\]

Тогда

    \[\frac{A_1K}{KA}=\frac{3}{4}\]

Ответ: \frac{A_1K}{KA}=\frac{3}{4}

 

Задача 2.  Пусть AD – медиана треугольника ABC. На медиане AD взята точка K так, что АK:KD=3: 1. Прямая  BK разбивает треугольник ABC на два: ABP и CBP, причем P-точка пересечения BK и AC. Найдите отношение площадей треугольников ABP и CBP.

Так как указанные треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся так же, как относятся длины их оснований. Поэтому необходимо найти отношение \frac{AP}{CP} – это и будет ответом.

К задаче 2

В качестве «треугольника» выберем ADC – пометила рыжим, в качестве секущей послужит  BP. Начинаем обход с вершины – к пересечению, от пересечения – к вершине.

Обход в задаче 2

По мере обхода записываем:

    \[\frac{AK}{KD}\cdot\frac{DB}{ BC}\cdot\frac{CP}{PA}=1\]

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

    \[\frac{3}{1}\cdot\frac{1}{ 2}\cdot\frac{CP}{PA}=1\]

Откуда

    \[\frac{CP}{PA}=\frac{2}{ 3}\]

Или

    \[\frac{PA}{CP}=\frac{S_{ABP}}{S_{BPC}}=\frac{ 3}{2}\]

Ответ: 1,5.

Задача 3.  Биссектрисы BE и AD треугольника ABC пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника ABC, если  S_{BQD}=1, 2AC=3AB, 3BC=4AB.

К задаче 3

По свойству биссектрисы можно заключить, что

    \[\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3y}{4y}\]

    \[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2z}{3z}\]

Чтобы найти площадь треугольника ABC, надо сначала определить площадь треугольника ABQ, а для этого нужно знать отношение длин отрезков AQ:QD. Применим теорему Менелая. За треугольник возьмем ADC, а секущей послужит BE.

Обход в задаче 3

Начнем обход с вершины А:

    \[\frac{AQ}{QD}\cdot\frac{DB}{ BC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\]

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

    \[\frac{AQ}{QD}\cdot\frac{2y}{ 5y}\cdot\frac{4z}{3z}=1\]

Откуда

    \[\frac{AQ}{QD}=\frac{15}{ 8}\]

Так как у треугольников ABQ и BQD общая высота, то их площади относятся так же, как их основания. Поэтому S_{ABQ}=\frac{15}{ 8}. Тогда

    \[S_{ABD}= S_{ABQ}+ S_{BQD}=\frac{15}{ 8}+1=\frac{23}{ 8}\]

Поскольку

    \[\frac{S_{ABD}}{ S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\]

То

    \[S_{ADC}=1,5 S_{ABD}=\frac{69}{16}\]

Полная площадь треугольника ABC равна

    \[S_{ABC}= S_{ADC}+ S_{ABD}=\frac{69}{16}+\frac{23}{ 8}=\frac{115}{16}\]

Ответ: 7\frac{3}{16}.

Задача 4. В треугольнике ABC, описанном около  окружности, AB =13, BC = 12,  AC = 9, A_1 и C_1 –  точки касания, лежащие  соответственно на сторонах BC и AB. Q – точка пересечения  отрезков AA_1 и BH, где BH– высота.  Найдите   отношение BQ:QH.

К задаче 4

Заметим, что H не является точкой касания прямой AC и окружности.

Чтобы для решения этой задачи воспользоваться теоремой Менелая, нам нужно знать отношения длин каких-нибудь отрезков. Давайте сначала воспользуемся теоремой об отрезках касательных. По этой теореме A_1B=BC_1=y, AB_1=AC_1=x, CB_1=CA_1=z:

Теорема об отрезках касательных

Тогда

    \[z+y=12\]

    \[x+y=13\]

    \[x+z=9\]

Складываем все три уравнения:

    \[2x+2y+2z=34\]

Или

    \[x+y+z=17\]

Из этого уравнения вычтем по очереди три первых:

    \[x=5\]

    \[y=8\]

    \[z=4\]

Теперь мы уже знаем некоторые отношения длин. Но не помешало бы знать отношение (или сами длины) отрезков CH и AH. Для этого найдем высоту треугольника BH. Площадь этого треугольника по формуле Герона

    \[S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{17(17-12)(17-13)(17-9)}=4\sqrt{170}\]

С другой стороны, площадь можно записать и так:

    \[S=\frac{1}{2}\cdotAC\cdotBH\]

Тогда

    \[BH=\frac{2S}{AC}=\frac{8}{9}\sqrt{170}\]

Определим теперь CH по теореме Пифагора:

    \[CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\frac{28}{9}\]

А AH тогда

    \[AH=AC-CH=\frac{53}{9}\]

Теперь пришло время применить теорему Менелая. Треугольником послужит BHC, секущей – AA_1.

Теорема Менелая в задаче 4

Тогда

    \[\frac{BQ}{QH}\cdot\frac{AH}{AC}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}=1\]

Затем подставим те отношения, которые нам известны по условию:

    \[\frac{BQ}{QH}\cdot\frac{53}{81}\cdot\frac{4}{8}=1\]

Откуда

    \[\frac{BQ}{QH}=\frac{162}{ 53}\]

Ответ: \frac{BQ}{QH}=\frac{162}{ 53}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *