Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Температура и размеры звезд

В этой статье собраны задачи по астрономии. Попали они ко мне от одного из учеников. До сих пор не знаю, из какого они задачника. Если знаете – поделитесь. Речь пойдет о температурах и светимостях звезд, связи светимостей с абсолютной звездной величиной, температурой и размерами звезд.

 

Задача 1. Известно, что мощность излучения с каждого квадратного метра поверхности нагретого тела пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры по закону Стефана-Больцмана, \sigma=5,67\cdot10^{-8} Вт/м^2К^4.

    \[E_1=\sigma T^4\]

Вычислите температуру поверхности Солнца, если его радиус равен R=7\cdot10^5 км, а светимость –L= 3,84 \cdot 10^{26} Вт.

Найдем площадь поверхности Солнца:

    \[S=4\pi R^2\]

При этом вычислять площадь нужно в квадратных метрах – следуя условию задачи. Тогда полная энергия, излучаемая с поверхности, может быть найдена как

    \[L=E_1\cdot S\]

Температуру тогда можно вычислить

    \[T=\sqrt[4]{\frac{E_1}{\sigma}}=\sqrt[4]{\frac{L}{S \sigma}}=\sqrt[4]{\frac{L}{4\pi R^2 \sigma}}=\sqrt[4]{\frac{3,84 \cdot 10^{26}}{4\pi \cdot( 7\cdot10^8)^2 5,67\cdot10^{-8}}}=5758,84\]

Ответ: 5759^{\circ}

 

Задача 2. а) Какова температура звезды, если при одинаковых с Солнцем размерах её светимость в 81 раз больше? б) Во сколько раз светимость Полярной звезды больше светимости Солнца, если температуры их примерно одинаковы, а радиус Полярной больше солнечного в 70 раз? а) Если светимость больше в 3^4 раз, а размеры те же, то по формуле из предыдущей задачи имеем, что температура звезды будет втрое больше Солнечной, или 17277^{\circ}. б) Так как светимость прямо пропорциональна площади, то очевидно, что светимость Полярной будет больше в 70^2 раз, чем у Солнца, то есть  L= 1,9 \cdot 10^{30} Вт.

Задача 3. На сколько должна измениться температура Солнца, чтобы вызвать изменение солнечной постоянной на 1%?

Солнечная постоянная – это полное количество энергии, проходящей за 1 минуту через площадку площадью 1 см^2, расположенную на расстоянии, равном 1 а.е. от Солнца. Очевидно, эта постоянная – «перемасштабированная» светимость, а та зависит от температуры. Следовательно, должна измениться на 1 %, по сути, светимость.

    \[L=\sigma T^4 S\]

    \[0,99L=\sigma T'^4 S\]

Разделив друг на друга уравнения, получаем

    \[0,99=\left(\frac{T}{T'}\right)^4\]

    \[T'=T\sqrt[4]{0,99}=5759\sqrt[4]{0,99}}=5744^{\circ}\]

Ответ: должна уменьшиться на 15 градусов.

 

Задача 4. Используя закон Стефана-Больцмана и значение солнечной постоянной, вычислите, какова должна быть, из термодинамических соображений, средняя температура на Земле? Чем можно объяснить расхождение теоретического результата с наблюдаемыми фактами?

Значение солнечной постоянной равно 1360 Вт/м^2 у поверхности Земли.

Тогда

    \[T=\sqrt[4]{\frac{E_1}{\sigma}}=393,5^{\circ}\]

Но надо учитывать еще такое понятие, как инсоляция – то есть Солнце освещает данную площадь не постоянно, и не с одинаковой силой: вечером лучи проходят через большую толщу атмосферы, чем когда Солнце в зените. Кроме того, такое значение солнечной постоянной – это где-нибудь на экваторе высоко в горах, где воздух прозрачен, как слеза. Реально число ватт, достигающих поверхности планеты, меньше. Кроме того, большая часть излучения рассеивается в атмосфере (молекулярное, аэрозольное рассеяние).

 

Задача 5. Температуру звёзд определяют по их спектрам. Длина волны, на которую приходится максимум излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре (закон Вина, \lambda_{max} = \frac{b}{T},  где b=0,0029 Км – постоянная Вина). а) Вычислите положение максимума излучения для звезды с температурой 4200 К. Какому цвету соответствует эта длина волны? б) Какую температуру должна иметь  звезда, чтобы максимум в её спектре приходился на область ультрафиолетового излучения?

а)

    \[\lambda_{max} = \frac{b}{T}=\frac{0,0029}{4200}=690\cdot10^{-9}\]

Такая длина волны соответствует красному свету.  б) Длины волн ультрафиолетового излучения лежат в интервале от  10 до 400 нм. Тогда температура звезды должна быть от

    \[T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{4\cdot 10^{-7}}=7250\]

До

    \[T=\frac{b}{\lambda}=\frac{0,0029}{10^{-8}}=290000\]

Ответ: а) \lambda_{max} =690 нм; б) от 7250 К до 290 тыс. К.

Задача 6. а) Во сколько раз Арктур больше Солнца, если его светимость (в светимостях Солнца) равна 210, а температура поверхности 4600 К? б) Во сколько раз Солнце больше белого карлика Сириус В, если его светимость составляет 0,026 от светимости Солнца, а температура поверхности равна 25200 К?

а)Пусть светимость Солнца

    \[L_{\odot}=\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

А светимость Арктура

    \[L_A=\sigma T_A^4 S_A\]

Тогда по условию

    \[L_A=210 L_{\odot}\]

    \[\sigma T_A^4 S_A=210\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

    \[\frac{S_A}{ S_{\odot}}=210\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_A^4 }\]

    \[\frac{R_A^2}{ R_{\odot}^2}=210\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_A^4 }\]

    \[\frac{R_A}{ R_{\odot}}=\sqrt{210}\frac{ T_{\odot}^2 }{ T_A^2 }=\sqrt{210}\frac{ 6000^2 }{ 4600^2 }=25\]

Ответ: Арктур больше Солнца в 25 раз.

б)  Пусть светимость Солнца

    \[L_{\odot}=\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

А светимость Сириуса

    \[L_S=\sigma T_S^4 S_S\]

Тогда по условию

    \[L_S=0,026 L_{\odot}\]

    \[\sigma T_S^4 S_S=0,026\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

    \[\frac{S_S}{ S_{\odot}}=0,026\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_S^4 }\]

    \[\frac{R_S^2}{ R_{\odot}^2}=0,026\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_S^4 }\]

    \[\frac{R_S}{ R_{\odot}}=\sqrt{0,026}\frac{ T_{\odot}^2 }{ T_S^2 }=\sqrt{0,026}\frac{ 6000^2 }{ 25200^2 }\]

    \[\frac{ R_{\odot}}{R_S}=109,4\]

Ответ: Сириус В меньше Солнца в 109 раз.

Задача 7.   Изменение   блеска   переменной   звезды-цефеиды   обусловлено периодическими  пульсациями.  Каково  изменение  радиуса звезды,  если  в максимуме блеска её температура 9000 К, в минимуме – 7000 К, а видимая звёздная величина изменяется на 2^m?

По формуле Погсона

    \[\lg \frac{E_1}{E_2}=0,4(m_2-m_1)\]

У нас m_2-m_1=2, поэтому

    \[\frac{E_1}{E_2}=10^{0,8}\]

Отношение светимостей двух звезд равно

    \[\frac{L_1}{L_2}=\frac{E_1}{E_2}\cdot\frac{r_1^2}{r_2^2}\]

Где r_1 и r_2 – расстояния до этих звезд. Но, так как речь об одной и той же звезде, то \frac{r_1^2}{r_2^2}=1, и

    \[\frac{L_1}{L_2}=\frac{E_1}{E_2}=10^{0,8}\]

Но

    \[\frac{L_1}{L_2}=\frac{T_1^4S_1}{T_2^4S_2}\]

Таким образом,

    \[\frac{L_1 T_2^4}{L_2 T_1^4}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{R_1^2}{R_2^2}\]

Или

    \[\frac{R_1}{R_2}=\frac{ T_2^2}{T_1^2}\cdot \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\frac{ 9000^2}{7000^2}\cdot \sqrt{10^{0,8}}=4,14\]

Ответ: размер изменяется в 4 раза.
Задача 8. Абсолютные звёздные величины звёзд принимают значения от -9^m у звёзд-гигантов и сверхгигантов до +17^m у звёзд-карликов. Сравните светимости этих звёзд с солнечной.

Светимость L звезд выражается в светимости Солнца, принятой за единицу (L_{\odot} = 1), и тогда

    \[\lg L=0,4(M_{\odot}-M)\]

Абсолютная звездная величина Солнца 4,7^m.

Для гигантов

    \[\lg L_1=0,4(M_{\odot}-M_1)= 0,4(4,7+9)=5,48\]

    \[L_1=10^{5,48}=302000\]

Для карликов

    \[\lg L_2=0,4(M_{\odot}-M_2)= 0,4(4,7-17)=-4,92\]

    \[L_1=10^{-4,92}=1,2\cdot10^{-5}\]

Ответ: светимости гигантов могут превышать светимость Солнца в 300 тыс. раз, светимость карликов может быть меньшей, чем у Солнца, в 80 тыс. раз.

 

Задача 9. Определите радиус Антареса (в единицах радиуса Солнца), зная, что температура звезды T=3600 К, а абсолютная звёздная величина M = - 5,5^m.

Светимость L звезд выражается в светимости Солнца, принятой за единицу (L_{\odot} = 1), и тогда

    \[\lg L=0,4(M_{\odot}-M)\]

Абсолютная звездная величина Солнца 4,7^m.

Для Антареса

    \[\lg L_A=0,4(M_{\odot}-M_A)= 0,4(4,7+5,5)=4,08\]

    \[L_A=10^{4,08}=12023\]

Пусть светимость Солнца

    \[L_{\odot}=\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

А светимость Антареса

    \[L_A=\sigma T_A^4 S_A\]

Тогда по найденному ранее

    \[L_A=12023 L_{\odot}\]

    \[\sigma T_A^4 S_A=12023\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

    \[\frac{S_A}{ S_{\odot}}=12023\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_A^4 }\]

    \[\frac{R_A^2}{ R_{\odot}^2}=12023\frac{ T_{\odot}^4 }{ T_A^4 }\]

    \[\frac{R_A}{ R_{\odot}}=\sqrt{12023}\frac{ T_{\odot}^2 }{ T_A^2 }=\sqrt{12023}\frac{ 6000^2 }{ 3600^2 }\]

    \[\frac{R_A}{ R_{\odot}}=304,6\]

Ответ: Антарес больше Солнца в 305 раз.

 

Задача 10. Звезда (белый карлик) с массой в половину солнечной и с поверхностной температурой в два раза больше солнечной имеет абсолютную звёздную величину 12^m (у Солнца, напомним, 4,7^m). Оцените плотность вещества звезды.

Светимость L звезды выражается в светимости Солнца, принятой за единицу (L_{\odot} = 1), тогда

    \[\lg L=0,4(M_{\odot}-M)\]

Абсолютная звездная величина Солнца 4,7^m.

Для данного карлика

    \[\lg L=0,4(M_{\odot}-M)= 0,4(4,7-12)=-2,9\]

    \[L=10^{-2,9}=0,0012\]

Пусть светимость Солнца

    \[L_{\odot}=\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

А светимость карлика

    \[L=\sigma T^4 S\]

Тогда по найденному ранее

    \[L=0б0012 L_{\odot}\]

    \[\sigma T^4 S=0,0012\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

    \[\frac{S}{ S_{\odot}}=0,0012\frac{ T_{\odot}^4 }{ T^4 }\]

    \[\frac{R^2}{ R_{\odot}^2}=0,0012\frac{ T_{\odot}^4 }{ T^4 }\]

    \[\frac{R}{ R_{\odot}}=\sqrt{0,0012}\frac{ T_{\odot}^2 }{ T^2 }=\sqrt{0,0012}\frac{ 6000^2 }{ 12000^2 }\]

    \[\frac{ R_{\odot}}{R}=115,5\]

Тогда плотность белого карлика

    \[\rho=\frac{M}{V}=\frac{\frac{1}{2}M_{\odot}}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{3M_{\odot}}{8\pi R^3}=\frac{3M_{\odot}\cdot115^3}{8\pi R_{\odot}^3}=\frac{\rho_{\odot}\cdot115^3}{2}=7,6\cdot10^5\rho_{\odot}\]

Ответ: плотность карлика превышает плотность Солнца в 760 тыс. раз.

 

Задача 11. На далёкой обитаемой планете тепловые условия аналогичны земным, но местное Солнце имеет вдвое меньший угловой диаметр. Найдите температуру этой далекой звезды.

Так как звезда имеет вдвое меньший угловой диаметр, то либо она расположена вдвое дальше от обитаемой планеты, чем Солнце от земли, либо она вдвое меньше. Пусть будет второй вариант. Тогда, очевидно, солнечная постоянная там такая же, как и на Земле, но излучает звезда с поверхности, вчетверо меньшей, чем у Солнца. Следовательно,

    \[L_{\odot}=\sigma T_{\odot}^4 S_{\odot}\]

А светимость неизвестной звезды

    \[L=\sigma T'^4 S'=0,25\sigma T'^4 S\]

Отношение светимостей

    \[1=\frac{4T^4}{T'^4}\]

    \[T'=T\sqrt[4]{4}=6000\cdot1,41=8460\]

Ответ: 8400-8500 К.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *