Очень непростая задача на движение тела, брошенного под углом к горизонту, вполне олимпиадного уровня, требующая очень хорошего владения математическим аппаратом.
Задача. Из точки А, находящейся на вершине крутого обрыва на высоте над горизонтом, бросают небольшой предмет в точку горизонтальной поверхности, находящуюся от обрыва на расстоянии
. Чему равна минимальная скорость броска
? Под каким углом
к горизонту должен при этом быть совершен бросок? Чему равен угол падения
на горизонтальную поверхность?
Движение под углом к горизонту – это результат сложения двух движений: равноускоренного по вертикальной оси и равномерного по горизонтальной.
Скорость тела можно разложить на проекции – вертикальную и горизонтальную. Горизонтальную тело будет сохранять на продолжении всего полета. Найдем ее:
Так как тело пролетело расстояние , то должно было потратить на это время
:
Теперь обратимся к вертикальной оси. Тело находилось в точке с координатой (если начало координат у подножия обрыва). В конце движения координата тела стала равна 0:
Теперь подставим в это уравнение время, которое мы ранее нашли:
Теперь применим тригонометрическую формулу :
Получили сложное, но вполне себе квадратное уравнение относительно :
Если дискриминант этого уравнения будет равен 0, то у него будет один корень. То есть только один вариант добросить предмет до нужной точки – это и есть условие минимума скорости. Если , то появляется два варианта добросить предмет, по двум различным траекториям. Есть и вариант, когда
– в этом случае предмет не долетает до нужной точки, не хватит начальной скорости. Приравняем дискриминант к нулю:
Домножаем на :
Снова получили квадратное (биквадратное) уравнение, только теперь уже относительно , снова определяем дискриминант:
Корни биквадратного уравнения:
Выбираем, естественно, положительный корень – квадрат не может быть отрицательным:
Тогда искомая минимальная начальная скорость равна:
Вернемся к углу . У нас есть квадратное уравнение относительно тангенса этого угла. Так как этот угол должен соответствовать минимальной скорости, то, определив «координату» вершины параболы, мы и найдем этот угол:
Пусть , тогда можно, снова воспользовавшись формулой
, записать:
Теперь снова потребуется знание тригонометрии, воспользуемся выражением:
А представим как косинус двойного угла, получим:
В знаменателе имеем разность квадратов:
Известны следующие тригонометрические выражения:
И
Подставив их в наше выражение, получим:
Теперь определим угол падения. Сделаем это, исходя из закона сохранения энергии. Вначале у тела была как кинетическая, так и потенциальная энергия, а в конце вся она перешла в кинетическую:
По аналогии с тем, как был определен , получим угол падения:
Не повторяя всех тригонометрических подсчетов, запишем :
Ответ: ,
,
,
.
Спасибо, теперь...
То, что на концах R2 и R7 разность потенциалов не ноль, явствует из 2-го закона...
Добрый день, Анна Валерьевна, не очень понятно почему в №15 сопротивления R2 и R7 не...
СПАСИБО Вам за ответ, почему-то я решила, что ответ должен был быть только больше...
Вы не ошиблись. 0,55>0,22 - там в утверждении 5...