Тело бросили с обрыва

Очень непростая задача на движение тела, брошенного под углом к горизонту, вполне олимпиадного уровня, требующая очень хорошего владения математическим аппаратом.

Задача. Из точки А, находящейся на вершине крутого обрыва на высоте над горизонтом, бросают небольшой предмет в точку горизонтальной поверхности, находящуюся от обрыва на расстоянии . Чему равна минимальная скорость броска ? Под каким углом к горизонту должен при этом быть совершен бросок? Чему равен угол падения на горизонтальную поверхность?

Движение под углом к горизонту – это результат сложения двух движений: равноускоренного по вертикальной оси и равномерного по горизонтальной.

Скорость тела можно разложить на проекции – вертикальную и горизонтальную. Горизонтальную тело будет сохранять на продолжении всего полета. Найдем ее:

Так как тело пролетело расстояние , то должно было потратить на это время :

Теперь обратимся к вертикальной оси. Тело находилось в точке с координатой (если начало координат у подножия обрыва). В конце движения координата тела стала равна 0:

Теперь подставим в это уравнение время, которое мы ранее нашли:

Теперь применим тригонометрическую формулу :

Получили сложное, но вполне себе квадратное уравнение относительно :

Если дискриминант этого уравнения будет равен 0, то у него будет один корень. То есть только один вариант добросить предмет до нужной точки – это и есть условие минимума скорости. Если , то появляется два варианта добросить предмет, по двум различным траекториям. Есть и вариант, когда – в этом случае предмет не долетает до нужной точки, не хватит начальной скорости. Приравняем дискриминант к нулю:

Домножаем на :

Снова получили квадратное (биквадратное) уравнение, только теперь уже относительно , снова определяем дискриминант:

Корни биквадратного уравнения:

Выбираем, естественно, положительный корень – квадрат не может быть отрицательным:

Тогда искомая минимальная начальная скорость равна:

Вернемся к углу . У нас есть квадратное уравнение относительно тангенса этого угла. Так как этот угол должен соответствовать минимальной скорости, то, определив «координату» вершины параболы, мы и найдем этот угол:

Пусть , тогда можно, снова воспользовавшись формулой , записать:

Теперь снова потребуется знание тригонометрии, воспользуемся выражением:

А представим как косинус двойного угла, получим:

В знаменателе имеем разность квадратов:

Известны следующие тригонометрические выражения:

И

Подставив их в наше выражение, получим:

Теперь определим угол падения. Сделаем это, исходя из закона сохранения энергии. Вначале у тела была как кинетическая, так и потенциальная энергия, а в конце вся она перешла в кинетическую:

По аналогии с тем, как был определен , получим угол падения:

Не повторяя всех тригонометрических подсчетов, запишем :

Ответ: , , , .