Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 14 (С2)

Тела вращения: задача 14 профильного ЕГЭ

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Сфера вписана в пирамиду

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

   

Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:

   

Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника , например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна , а длина MN тогда .

Сечение пирамиды

Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения : , .
Определим радиус вписанной в него окружности.

Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)

   

   

   

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

   

   

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

   

Ответ:

Задача 2. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Сечение конуса

Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.

   

Отрезок OP – высота треугольника . В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:

   

Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:

   

   

Искомое расстояние – высота треугольника , проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.

Дополнительные построения к задаче

По теореме Пифагора

   

Площадь треугольника SOP:

   

Наконец, искомое расстояние:

   

Ответ:

Задача 3. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Пирамида, в которую надо вписать сферу

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

   

Тогда равна , так как треугольник – равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по , тригонометрические функции которых хорошо известны:

   

Определим длину апофемы грани:

   

В треугольнике SQP стороны: ,
Определим радиус вписанной в него окружности.

   

   

   

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

   

   

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

   

Ответ:

Задача 4. Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

Дуги окружности основания конуса и сечение

Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому , . Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды . Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:

   

   

Ответ:

Задача 5. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Сфера и ее сечения

Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности

   

Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:

   

   

Рассмотрим треугольник . В нем , , .
Это прямоугольный треугольник, поэтому

   

   

Или

   

Тогда:

   

Получили уравнение:

   

   

   

   

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *