Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Тела вращения: задача 14 профильного ЕГЭ

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

[latexpage]

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Сфера вписана в пирамиду

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка $OE$:
$$OE=\sqrt{SE^2-SO^2}=8$$
Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина $OE$ равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:
$$SN=\sqrt{SE^2-EN^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{84}$$
Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника $FOE$, например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна $4\sqrt{3}$, а длина MN тогда $MN=8\sqrt{3}$.

Сечение пирамиды

Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения $MSN$: $MS=SN=\sqrt{84}$, $MN=8\sqrt{3}$.
Определим радиус вписанной в него окружности.

Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)

$$p=\sqrt{84}+4\sqrt{3}$$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(\sqrt{84}+4\sqrt{3})\cdot(4\sqrt{3})^2(\sqrt{84}+4\sqrt{3})}$$
$$S=\sqrt{(84-(4\sqrt{3})^2)\cdot16\cdot3}=\sqrt{36\cdot16\cdot3}=24\sqrt{3}$$
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
$$S=pr$$
$$r=\frac{S}{p}=\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{84}+4\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}(\sqrt{84}-4\sqrt{3})}{(\sqrt{84}+4\sqrt{3})(\sqrt{84}-4\sqrt{3})}=\frac{24\cdot\sqrt{84}\cdot\sqrt{3}-96\cdot3}{36}=4\sqrt{7}-8$$
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
$$S_{sf}=4\pi r^2=4\pi(4\sqrt{7}-8)^2=4\pi(176-64\sqrt{7})=64\pi (11-4\sqrt{7})$$
Ответ: $S_{sf}=64\pi (11-4\sqrt{7})$

Задача 2. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Сечение конуса

Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.
$$SN=\sqrt{SO^2+ON^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$
Отрезок OP – высота треугольника $MON$. В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:
$$S_{MON}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{MN\cdot OP}{2}$$
Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:
$$S_{MON}=\sqrt{8(8-4)(8-6)(8-6)}=\sqrt{16\cdot8}=8\sqrt{2}$$
$$OP=\frac{2S}{MN}=\frac{16\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{2}$$
Искомое расстояние – высота треугольника $SPO$, проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.

Дополнительные построения к задаче

По теореме Пифагора
$$SP=\sqrt{SO^2+OP^2}=\sqrt{SO^2+OP^2}=\sqrt{8^2+32}=\sqrt{96}$$
Площадь треугольника SOP:
$$S_{SOP}=\frac{SO\cdot OP}{2}=\frac{8\cdot4\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}$$
Наконец, искомое расстояние:
$$OG=\frac{2S_{SOP}}{SP}=\frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{96}}=\frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$$
Ответ: $\frac{8}{\sqrt{3}}$

Задача 3. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Пирамида, в которую надо вписать сферу

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка $OD$:
$$OD=\sqrt{SD^2-SO^2}=8$$
Тогда $OQ$ равна $OQ=4\sqrt{2}$, так как треугольник $DOQ$ – равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по $45^{\circ}$, тригонометрические функции которых хорошо известны:
$$OQ=OD\cdot \cos{45^{\circ}}=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
Определим длину апофемы грани:
$$SQ=\sqrt{SO^2+QO^2}=\sqrt{6^2+32}=\sqrt{68}$$
В треугольнике SQP стороны: $SQ=SP=\sqrt{68}$, $QP=2QO=8\sqrt{2}$
Определим радиус вписанной в него окружности.
$$p=\sqrt{68}+4\sqrt{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(\sqrt{68}+4\sqrt{2})\cdot(4\sqrt{2})^2(\sqrt{68}-4\sqrt{2})}$$
$$S=\sqrt{(68-(4\sqrt{2})^2)\cdot16\cdot2}=\sqrt{36\cdot16\cdot2}=24\sqrt{2}$$
Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:
$$S=pr$$
$$r=\frac{S}{p}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{68}+4\sqrt{2}}=\frac{24}{\sqrt{34}+4}=\frac{24(\sqrt{34}-4)}{ (\sqrt{34}+4) (\sqrt{34}-4)}=\frac{24(\sqrt{34}-4)}{18}=\frac{4(\sqrt{34}-4)}{3}$$
Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:
$$S_{sf}=4\pi r^2=4\pi\left(\frac{4(\sqrt{34}-4)}{3}\right)^2=4\pi(\frac{16(50-8\sqrt{34})}{9})=128\pi \left(\frac{25-4\sqrt{34}}{9}\right)$$
Ответ: $S_{sf}=128\pi \left(\frac{25-4\sqrt{34}}{9}\right)$

Задача 4. Радиус основания конуса с вершиной $S$ равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки $M$ и $N$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью $SMN$.

Дуги окружности основания конуса и сечение

Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому $x+5x=360^{\circ}$, $x=60^{\circ}$. Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды $MN=6$. Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:
$$p=\frac{9+9+6}{2}=12$$

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-9)^2(12-6)}=18\sqrt{2}$$
Ответ: $S=18\sqrt{2}$

Задача 5. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Сфера и ее сечения

Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности
$$S=\pi r^2$$
Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:
$$\frac{S_m}{S_b}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=0,84$$
$$\frac{S_m}{S_b}=\frac{r^2}{R^2}=0,84$$
Рассмотрим треугольник $OPS$. В нем $OP=2$, $PS=r$, $OS=R$.
Это прямоугольный треугольник, поэтому
$$OS^2=OP^2+PS^2$$
$$R^2=4+r^2$$
Или
$$ r^2= R^2-4$$
Тогда:
$$\frac{S_m}{S_b}=\frac{r^2}{R^2}=\frac{ R^2-4}{R^2}=0,84$$
Получили уравнение:
$$ R^2-4=0,84R^2$$
$$0,16R^2=4$$
$$R^2=\frac{4}{0,16}=25$$
$$R=5$$
Ответ: $R=5$

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *