Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Тела вращения: задача 14 профильного ЕГЭ

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Сфера вписана в пирамиду

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка OE:

    \[OE=\sqrt{SE^2-SO^2}=8\]

Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина OE равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:

    \[SN=\sqrt{SE^2-EN^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{84}\]

Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника FOE, например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна 4\sqrt{3}, а длина MN тогда MN=8\sqrt{3}.

Сечение пирамиды

Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения MSN: MS=SN=\sqrt{84}, MN=8\sqrt{3}.
Определим радиус вписанной в него окружности.

Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)

    \[p=\sqrt{84}+4\sqrt{3}\]

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(\sqrt{84}+4\sqrt{3})\cdot(4\sqrt{3})^2(\sqrt{84}+4\sqrt{3})}\]

    \[S=\sqrt{(84-(4\sqrt{3})^2)\cdot16\cdot3}=\sqrt{36\cdot16\cdot3}=24\sqrt{3}\]

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

    \[S=pr\]

    \[r=\frac{S}{p}=\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{84}+4\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}(\sqrt{84}-4\sqrt{3})}{(\sqrt{84}+4\sqrt{3})(\sqrt{84}-4\sqrt{3})}=\frac{24\cdot\sqrt{84}\cdot\sqrt{3}-96\cdot3}{36}=4\sqrt{7}-8\]

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

    \[S_{sf}=4\pi r^2=4\pi(4\sqrt{7}-8)^2=4\pi(176-64\sqrt{7})=64\pi (11-4\sqrt{7})\]

Ответ: S_{sf}=64\pi (11-4\sqrt{7})

Задача 2. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Сечение конуса

Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.

    \[SN=\sqrt{SO^2+ON^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\]

Отрезок OP – высота треугольника MON. В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:

    \[S_{MON}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{MN\cdot OP}{2}\]

Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:

    \[S_{MON}=\sqrt{8(8-4)(8-6)(8-6)}=\sqrt{16\cdot8}=8\sqrt{2}\]

    \[OP=\frac{2S}{MN}=\frac{16\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{2}\]

Искомое расстояние – высота треугольника SPO, проведенная к SP.
Определим высоту сечения SP.

Дополнительные построения к задаче

По теореме Пифагора

    \[SP=\sqrt{SO^2+OP^2}=\sqrt{SO^2+OP^2}=\sqrt{8^2+32}=\sqrt{96}\]

Площадь треугольника SOP:

    \[S_{SOP}=\frac{SO\cdot OP}{2}=\frac{8\cdot4\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}\]

Наконец, искомое расстояние:

    \[OG=\frac{2S_{SOP}}{SP}=\frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{96}}=\frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\]

Ответ: \frac{8}{\sqrt{3}}

Задача 3. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Пирамида, в которую надо вписать сферу

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка OD:

    \[OD=\sqrt{SD^2-SO^2}=8\]

Тогда OQ равна OQ=4\sqrt{2}, так как треугольник DOQ – равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по 45^{\circ}, тригонометрические функции которых хорошо известны:

    \[OQ=OD\cdot \cos{45^{\circ}}=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\]

Определим длину апофемы грани:

    \[SQ=\sqrt{SO^2+QO^2}=\sqrt{6^2+32}=\sqrt{68}\]

В треугольнике SQP стороны: SQ=SP=\sqrt{68}, QP=2QO=8\sqrt{2}
Определим радиус вписанной в него окружности.

    \[p=\sqrt{68}+4\sqrt{2}\]

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(\sqrt{68}+4\sqrt{2})\cdot(4\sqrt{2})^2(\sqrt{68}-4\sqrt{2})}\]

    \[S=\sqrt{(68-(4\sqrt{2})^2)\cdot16\cdot2}=\sqrt{36\cdot16\cdot2}=24\sqrt{2}\]

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

    \[S=pr\]

    \[r=\frac{S}{p}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{68}+4\sqrt{2}}=\frac{24}{\sqrt{34}+4}=\frac{24(\sqrt{34}-4)}{ (\sqrt{34}+4) (\sqrt{34}-4)}=\frac{24(\sqrt{34}-4)}{18}=\frac{4(\sqrt{34}-4)}{3}\]

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

    \[S_{sf}=4\pi r^2=4\pi\left(\frac{4(\sqrt{34}-4)}{3}\right)^2=4\pi(\frac{16(50-8\sqrt{34})}{9})=128\pi \left(\frac{25-4\sqrt{34}}{9}\right)\]

Ответ: S_{sf}=128\pi \left(\frac{25-4\sqrt{34}}{9}\right)

Задача 4. Радиус основания конуса с вершиной S равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки M и N, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью SMN.

Дуги окружности основания конуса и сечение

Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому x+5x=360^{\circ}, x=60^{\circ}. Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды MN=6. Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:

    \[p=\frac{9+9+6}{2}=12\]

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-9)^2(12-6)}=18\sqrt{2}\]

Ответ: S=18\sqrt{2}

Задача 5. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Сфера и ее сечения

Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности

    \[S=\pi r^2\]

Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R.
Тогда отношение площадей:

    \[\frac{S_m}{S_b}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=0,84\]

    \[\frac{S_m}{S_b}=\frac{r^2}{R^2}=0,84\]

Рассмотрим треугольник OPS. В нем OP=2, PS=r, OS=R.
Это прямоугольный треугольник, поэтому

    \[OS^2=OP^2+PS^2\]

    \[R^2=4+r^2\]

Или

    \[r^2= R^2-4\]

Тогда:

    \[\frac{S_m}{S_b}=\frac{r^2}{R^2}=\frac{ R^2-4}{R^2}=0,84\]

Получили уравнение:

    \[R^2-4=0,84R^2\]

    \[0,16R^2=4\]

    \[R^2=\frac{4}{0,16}=25\]

    \[R=5\]

Ответ: R=5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *