Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Тела вращения, образованные поворотом плоских фигур

Рассмотрим задачи по определению площадей поверхностей тел, полученных вращением плоских фигур. Оказывается, такие интересные могут получится тела вращения, если вращать прямоугольники и трапеции!

Задача 1.  Фигура, заданная на плоскости системой неравенств, вращается вокруг оси .

   

При каком значении объем полученного тела вращения равен ?

Рисунок 1

Изобразим окружность (нас интересует внешняя ее область, расположенная в первом квадранте) и прямую. При вращении вокруг оси получится конус с вырезанной полусферой. Следовательно, объем фигуры будет равен

   

Высота конуса , а радиус его основания – , поэтому

   

По условию :

   

   

Ответ: .

Задача 2.  Равнобедренная трапеция со сторонами , вращается вокруг большего основания. При каком значении площадь полной поверхности полученного тела вращения равна ?

Рисунок 2

Рисунок 3

При вращении этой трапеции мы получим два конуса, а между ними – цилиндр. То есть поверхность такого тела получится состоящей из боковой поверхности цилиндра и двух боковых поверхностей одинаковых конусов справа и слева. Чтобы определить величину площади боковой поверхности цилиндра, необходимо знать его радиус основания. Это – высота трапеции. Давайте ее рассчитаем.

   

Высотой цилиндра будет величина отрезка , то есть .

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна

   

Теперь определим величины боковых поверхностей обоих конусов

   

Образующая равна , а радиус у конуса такой же, как у цилиндра, поэтому

   

Полная площадь поверхности равна

   

По условию, она должна быть равна :

   

Или .

Ответ: .

Задача 3.  Равнобедренный треугольник с основанием и боковой стороной вращается вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника параллельно основанию. При каком значении  площадь полной поверхности полученного тела вращения равна ?

Рисунок 4

Полученное тело – цилиндр, из которого вырезаны два конуса, соединенные вершинами. Радиусом основания цилиндра и конуса будет служить высота треугольника. Образующая конуса – боковая сторона треугольника. Высота конуса – половина основания. Высота цилиндра – удвоенная высота конуса.

Площадь полной поверхности сложится из боковой поверхности цилиндра и двух боковых поверхностей конусов:

   

Определим высоту треугольника:

   

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

   

Теперь определим величины боковых поверхностей обоих конусов

   

Образующая равна , а радиус у конуса такой же, как у цилиндра, поэтому

   

Полная площадь поверхности равна

   

По условию, она должна быть равна :

   

   

Или .

Ответ: .

Задача 4.  В прямоугольнике , , .  Найти полную поверхность тела, образованного вращением прямоугольника вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно биссектрисе угла .

Рисунок 5

При вращении прямоугольника указанным образом возникает сложное по форме тело вращения, похожее на летающую тарелку. На самом деле легко можно понять, что получено оно может быть из двух одинаковых конусов, образующая каждого из которых равна 8, если «сломать» их боковые поверхности на расстоянии 2 и 6 от вершины и согнуть по указанной линии (окружности). Поэтому площадь поверхности этого тела равна удвоенной площади боковой поверхности конуса с образующей 8. Поскольку угол между образующей и высотой конуса равен , то высота конуса равна его радиусу основания и равна . Определим полную поверхность тела вращения:

   

Ответ: .

Задача 5. В равнобедренном треугольнике , . Найти полную поверхность тела, образованного вращением треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно высоте .

Рисунок 6

На рисунке показано получившееся тело вращения. Его поверхность состоит из боковой поверхности усеченного конуса (меньшее основание радиуса , большее – радиуса , образующая ), боковой поверхности конуса (радиус основания – , образующая – ) и круга радиусом .

Определим площадь этого круга:

   

Чтобы найти , определим площадь треугольника, что даст нам возможность найти высоту и в дальнейшем . Площадь удобно найти по формуле Герона:

   

Также площадь треугольника равна

   

Тогда

   

По теореме Пифагора найдем :

   

Теперь можем найти площадь поверхности большого усеченного конуса:

   

Боковая поверхность малого (вырезанного) конуса:

   

Сложим площади всех трех элементов:

   

Ответ: .

Задача 6. В прямоугольном треугольнике катеты , . Найти полную поверхность тела, образованного вращением треугольника вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно биссектрисе прямого угла .

Рисунок 7

Тело, которое образуется, похоже на то, что мы видим на рисунке к прошлой задаче. Поверхность его будет состоять из боковой поверхности конуса с образующей и радиусом основания , боковой поверхности усеченного конуса с образующей и радиусами оснований и , и боковой поверхности конуса с образующей и радиусом основания . Определим площади всех указанных поверхностей. Для этого определим и .

Так как прямая , а и , то треугольник прямоугольный и равнобедренный, углы . Тогда , а . Следовательно, треугольник также прямоугольный и равнобедренный, , а .

Определяем площадь поверхности малого конуса (с образующей и радиусом основания ):

   

Теперь усеченный конус:

   

И, наконец, найдем поверхность большого конуса:

   

Определяем полную поверхность тела вращения:

   

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *