Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 22 (ГИА С2), Текстовые задачи (11)

Текстовые задачи: контрольная МГУ

Задачи, представленные в этой статье, были предложены на контрольной работе курсов подготовки к ЕГЭ МГУ. Задачи хорошие, довольно сложные и интересные. Включают как задачи на движение и совместную работу, так и задачи на проценты.

Задача 1. Расстояние между городами и равно 80 км. Из в выехала машина, а через 20 минут – мотоцикл, скорость которого равна 90 км/ч. Мотоцикл догнал машину в пункте и повернул обратно. Когда мотоциклист проехал половину пути от к , машина прибыла в . Найдите расстояние от до .

Из условия задачи понятно, что пункт – где-то между пунктами и . Время движения автомобиля можно записать так: , где   – расстояние от до . За это время (без часа – так как стартовал позже) мотоцикл прошел 1,5 расстояния от до : .

Приравняем два времени (так как время движения мотоцикла меньше, то прибавим к нему ):

   

Теперь запишем аналогично условие встречи мотоцикла и автомобиля в пункте . Машина до этого пункта двигалась в течение времени , а мотоцикл :

   

Теперь решим данную систему:

   

   

Разделим уравнения друг на друга:

   

   

   

Подставим числа:

   

   

   

Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 60 км.

 

Задача 2. Каждый из рабочих должен был изготовить 36 одинаковых деталей. Первый приступил к выполнению своего задания на 4 минуты позже второго, но задания они выполнили одновременно. Полностью выполнив свое задание, первый рабочий после двухминутного перерыва опять приступил к работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим изготовил еще 2 детали. Сколько деталей в час изготавливал каждый рабочий?

Пусть производительность первого рабочего , а второго . Тогда время выполнения одной трети задания – – вторым рабочим , а первым рабочим – . По условию, первый приступил позже на часа, то есть, чтобы приравнять два времени, нужно прибавить это время ко времени первого рабочего:

   

Второе условие: время выполнения всего задания вторым рабочим – , а первый за это время выполнил 38 деталей (), да еще приступил позже, да еще две минуты отдыхал: :

   

Решим систему:

   

   

   

   

Разделим уравнения:

   

Откуда .

Теперь можно подставить в любое уравнение:

   

   

   

   

   

Ответ: первый рабочий изготавливает 20 деталей в час, а второй – 18.

 

Задача 3. Двое рабочих выполнили работу менее чем за 4 часа. Если бы первый рабочий выполнял ее в одиночку, он сделал бы работу на 6 часов быстрее, чем один только второй рабочий. Какие значения может принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно?

Составим систему из уравнения и неравенства:

Суммарная скорость обоих рабочих , тогда время выполнения работы ими обоими , это время меньше 4 часов:

   

Время выполнения работы первым рабочим – , вторым рабочим – , причем, чтобы уравнять эти два времени, нужно к меньшему из них прибавить 6 часов:

   

Получили систему:

   

Из уравнения получим:

   

   

Подставим в неравенство:

   

   

   

   

   

Корни числителя и .

Отметив корни числителя и знаменателя на прямой, и расставив знаки интервалов, получаем: . Таким образом, один первый рабочий потратит на выполнение работы менее 6 часов. Но, так как вдвоем со вторым рабочим они справляются менее чем за 4 часа, то очевидно, что время выполнения работы одним человеком должно быть не менее 4 часов. Таким образом, .

Ответ: .

Задача 4. В двух сосудах содержатся растворы кислоты, в первом сосуде 70%-ный, во втором – 46%-ный. Из первого сосуда 1 л раствора перелили во второй и перемешали. Затем из второго 1 л раствора перелили в первый и вновь перемешали.  После этого концентрация кислоты в первом сосуде стала 68%. Сколько жидкости было во втором сосуде, если известно, что в первом ее было 10 л?

Составим таблицу, сначала для первых двух данных растворов.

Первые два раствора

Процентное содержание действующего веществаМассовое содержание действующего веществамасса раствора (объем)
70%7 л10 л
46%0,46 yy

Добавим теперь строку, содержащую сведения о первом переливании: масса второго раствора увеличилась на 1, и этот один литр содержит действующего вещества . Тогда процентное содержание этого вещества будет:

Первое переливание

Процентное содержание действующего веществаМассовое содержание действующего веществамасса раствора (объем)
70%7 л10 л
46%0,46 yy
(0,46 y+0,7)/(y+1)0,46 y+0,7y+1

Теперь второе переливание. Масса первого раствора восстанавливается до 10 л, действующего вещества в растворе было , да еще из добавленного литра . По условию, концентрация этого раствора 68%.

Второе переливание

Процентное содержание действующего веществаМассовое содержание действующего веществамасса раствора (объем)
70%7 л10 л
46%0,46 yy
(0,46 y+0,7)/(y+1)0,46 y+0,7y+1
68%(0,46 y+0,7)/(y+1)+9*0,710 л

Составляем уравнение:

   

   

   

   

Ответ: 5 л.

 

Задача 5. Из двух жидкостей, удельный вес которых 2 г/см и 3 г/см соответственно, составлена смесь. При этом 4 см смеси весят в 10 раз меньше, чем вся первая жидкость, а 50 см смеси весят столько же, как вся вторая жидкость. Сколько граммов взято каждой жидкости и каков удельный вес смеси?

Запишем условие в виде уравнения, приняв массу первой жидкости , а второй – , плотности и :

   

   

Плотность смеси (удельный вес) равен

   

   

Из первых двух уравнений получим, разделив их друг на друга:

   

Подставим плотность смеси в первое уравнение:

   

   

   

   

   

   

Ответ: , , плотность смеси .

 

Задача 6. Имеются три смеси, составленные из трех элементов: . В первую смесь входят только  и в весовом отношении , во вторую – только и в весовом отношении , а в третью – только  и в весовом отношении . В каком отношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы были в отношении ?

Пусть вес первой смеси , второй – , а третьей – . Тогда первый элемент – – составляет первой смеси и третьей:

   

Второй элемент – – составляет первой смеси и второй:

   

И, наконец, третий элемент – – составляет второй смеси и третьей:

   

Тогда в итоговой смеси отношение :

   

   

А отношение :

   

   

Получили систему:

   

Решим ее.

   

   

   

   

   

   

   

Таким образом, , или .

 

Задача 7. На празднике каждому ребенку было подарено по одинаковому количеству игрушек. Число игрушек, подаренных каждому ребенку, было на 9 меньше общего числа детей, присутствовавших на празднике. Если бы на празднике было 9 детей и каждому ребенку дарили бы одну игрушку больше, чем раньше, то прежнего количества игрушек не хватило бы. Сколько игрушек было подарено, если известно, что число детей, присутствовавших на празднике, было нечетно?

Пусть детей на празднике было . Тогда раздарили игрушек. Если бы раздарили игрушек, то их бы не хватило, то есть .

Следовательно,

   

Решаем неравенство:

   

   

То есть по решению неравенства , но детей было более 9, поэтому , и с учетом того, что – нечетное, .

Ответ: .

 

Задача 8. Процент учеников некоторого класса, не повысивших во втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 96,9% до 97,1%. Определить минимально возможное число учеников в таком классе.

Запишем условие в виде неравенства:

   

Где – число не повысивших успеваемость, – общее число учеников, .

   

Полагая , подбором устанавливаем, .

Ответ: 33.

Задача 9. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими свойствами:

Первая цифра числа в три раза меньше последней его цифры;

Сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой второй и третьей цифр, делится на 8 без остатка.

Пусть первая цифра числа  – , вторая – , тогда третья – . Запишем число:

   

Тогда число, получаемое перестановкой, таково:

   

Сумма должна делиться на 8:

   

   

Или, исключая и как делящиеся на 8, получаем:

   

Могут рассматриваться случаи:

   

   

   

Так как и , и – цифры, меньшие 10, то случай рассматривать не имеет смысла.

Полагая в первом случае, получим , число тогда будет 226.

Во втором случае, полагая , получаем , число 153.

В третьем случае, если  , то , число 379.

Ответ: 153, 226 или 379.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *