Текстовые задачи – 3

[latexpage]

Задачи несложные, но есть над чем подумать. Хороши как для подготовки к ОГЭ, так и к ЕГЭ.

Задача 5. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход, и одновременно из пункта $B$ в пункт $A$ выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист сразу же развернулся, довез пешехода до пункта $B$, а затем тотчас же снова поехал в пункт $A$, куда и беспрепятственно добрался. В результате мотоциклист затратил на дорогу до пункта $A$ в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта $B$ в пункт $A$, не подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта $B$, если бы весь путь от $A$ до $B$ он прошел пешком?

Решение.

Пусть мотоциклист до встречи с пешеходом был в пути $x$ часов, а если бы не стал его подвозить – то еще $y$ часов.

К задаче 5

То есть всего на весь путь он тратит $x+y$ часов. Всего по факту мотоциклист пробыл в пути $x+x+(x+y)$ часов. И это в 2,5 раза больше, чем $x+y$:

$$ x+x+(x+y)=2,5(x+y)$$

$$3x+y=2,5x+2,5y$$

$$0,5x=1,5y$$

$$x=3y$$

Таким образом, получается, что мотоциклист проехал $\frac{3}{4}$ пути к моменту встречи с пешеходом. А пешеход, соответственно, прошел $\frac{1}{4}$ пути. И потратил на это $x$ часов. И, если бы шел пешком, потратил бы еще $3x$ часов, чтоб дойти. То есть всего $4x$. А с помощью мотоциклиста он потратил только $2x$. То есть в 2 раза меньше.

Ответ: в 2 раза.

Задача 6. Четыре бригады разрабатывали месторождение железной руды в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. По одному месяцу на первом и третьем году работа не велась, а все остальное время  (то есть в течение 34 месяцев) работала только одна из бригад. Отношение времени работы первой, второй, третьей и четвертой бригад и количество выработанной продукции соответственно равны:

в первый год 3 : 2 : 4 : 2 и 10 млн т,

во второй год 4 :2 :5 : 1 и 9 млн т,

в третий год 4 : 3 : 3 : 1 и 8 млн т.

Сколько млн т железной руды выработали бы за 7 месяцев четыре бригады, работая все вместе?

Решение.

Пусть $x, y, z, t$ — производительности (в месяц) соответственно 1-й, 2-й, 3-й и 4-й бригад.

Согласно условию в первый год работы имеем (1 месяц не работали):

$$3k + 2k + 4k + 2k = 11$$

$$k =1$$

т. е. в первый год 1-я бригада работала 3 месяца, 2-я — 2 месяца, 3-я — 4 месяца и 4-я — 2 месяца.

Тогда: $3x + 2y + 4z +2t =10$.

Аналогично, так как во второй год бригады работали 12 месяцев, то получим

уравнения:

$$2m+2m+5m+1m = 12$$

$$m =1$$

$$4x + 2y + 5z + t = 9$$

Для третьего года имеем (снова работаем 11 месяцев):

$$4l+3l+3l+l = 11$$

$$l =1$$

$$4x + 3y + 3z + t =8$$

Необходимо найти $7x + 7y + 7z + 7t$.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Представим выражение $7x + 7y + 7z + 7t$ как линейную комбинацию данных выражений, т.е.

$$7x+ 7y + 7z + 7t =\alpha(3x + 2y + 4z +2t) + \beta (4x + 2y + 5z + t)+ \gamma (4x + 3y + 3z + t)$$

Приравнивая коэффициенты при $x, y, z$ получаем систему:

$$7=3\alpha+4\beta+4\gamma$$

$$7=2\alpha+2\beta+3\gamma$$

$$7=4\alpha+5\beta+3\gamma$$

$$7=2\alpha+\beta+\gamma$$

Приравняем правые части второго и четвертого уравнений:

$$2\alpha+2\beta+3\gamma=2\alpha+\beta+\gamma$$

$$\beta=-\gamma$$

Приравниваем правые части первого и второго уравнений:

$$3\alpha+4\beta+4\gamma=2\alpha+2\beta+3\gamma$$

$$\alpha=-2\beta-\gamma=2\gamma-\gamma=\gamma$$

Подставим все в четвертое уравнение:

$$7=2\alpha+\beta+\gamma=2\gamma-\gamma+\gamma=2\gamma$$

$$\gamma=3,5$$

$$\beta=-3,5$$

$$\alpha=3,5$$

Получаем:

$$7x+ 7y + 7z + 7t =\alpha(3x + 2y + 4z +2t) + \beta (4x + 2y + 5z + t)+ \gamma (4x + 3y + 3z + t)=3,5\cdot 10-3,5\cdot 9+3,5\cdot 8=3,5\cdot 9=31,5$$

Ответ: 31,5 млн тонн.