Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Текстовая задача (21 задание), Текстовые задачи (8)

Текстовые задачи – 3

Задачи несложные, но есть над чем подумать. Хороши как для подготовки к ОГЭ, так и к ЕГЭ.

Задача 5. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, и одновременно из пункта B в пункт A выехал мотоциклист. Встретив в пути пешехода, мотоциклист сразу же развернулся, довез пешехода до пункта B, а затем тотчас же снова поехал в пункт A, куда и беспрепятственно добрался. В результате мотоциклист затратил на дорогу до пункта A в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта B в пункт A, не подвозя пешехода. Во сколько раз медленнее пешеход добрался бы до пункта B, если бы весь путь от A до B он прошел пешком?

Решение.

Пусть мотоциклист до встречи с пешеходом был в пути x часов, а если бы не стал его подвозить – то еще y часов.

К задаче 5

То есть всего на весь путь он тратит x+y часов. Всего по факту мотоциклист пробыл в пути x+x+(x+y) часов. И это в 2,5 раза больше, чем x+y:

    \[x+x+(x+y)=2,5(x+y)\]

    \[3x+y=2,5x+2,5y\]

    \[0,5x=1,5y\]

    \[x=3y\]

Таким образом, получается, что мотоциклист проехал \frac{3}{4} пути к моменту встречи с пешеходом. А пешеход, соответственно, прошел \frac{1}{4} пути. И потратил на это x часов. И, если бы шел пешком, потратил бы еще 3x часов, чтоб дойти. То есть всего 4x. А с помощью мотоциклиста он потратил только 2x. То есть в 2 раза меньше.

Ответ: в 2 раза.

Задача 6. Четыре бригады разрабатывали месторождение железной руды в течение трех лет, работая с постоянной для каждой бригады производительностью. По одному месяцу на первом и третьем году работа не велась, а все остальное время  (то есть в течение 34 месяцев) работала только одна из бригад. Отношение времени работы первой, второй, третьей и четвертой бригад и количество выработанной продукции соответственно равны:

в первый год 3 : 2 : 4 : 2 и 10 млн т,

во второй год 4 :2 :5 : 1 и 9 млн т,

в третий год 4 : 3 : 3 : 1 и 8 млн т.

Сколько млн т железной руды выработали бы за 7 месяцев четыре бригады, работая все вместе?

Решение.

Пусть x, y, z, t — производительности (в месяц) соответственно 1-й, 2-й, 3-й и 4-й бригад.

Согласно условию в первый год работы имеем (1 месяц не работали):

    \[3k + 2k + 4k + 2k = 11\]

    \[k =1\]

т. е. в первый год 1-я бригада работала 3 месяца, 2-я — 2 месяца, 3-я — 4 месяца и 4-я — 2 месяца.

Тогда: 3x + 2y + 4z +2t =10.

Аналогично, так как во второй год бригады работали 12 месяцев, то получим

уравнения:

    \[2m+2m+5m+1m = 12\]

    \[m =1\]

    \[4x + 2y + 5z + t = 9\]

Для третьего года имеем (снова работаем 11 месяцев):

    \[4l+3l+3l+l = 11\]

    \[l =1\]

    \[4x + 3y + 3z + t =8\]

Необходимо найти 7x + 7y + 7z + 7t.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Представим выражение 7x + 7y + 7z + 7t как линейную комбинацию данных выражений, т.е.

    \[7x+ 7y + 7z + 7t =\alpha(3x + 2y + 4z +2t) + \beta (4x + 2y + 5z + t)+ \gamma (4x + 3y + 3z + t)\]

Приравнивая коэффициенты при x, y, z получаем систему:

    \[7=3\alpha+4\beta+4\gamma\]

    \[7=2\alpha+2\beta+3\gamma\]

    \[7=4\alpha+5\beta+3\gamma\]

    \[7=2\alpha+\beta+\gamma\]

Приравняем правые части второго и четвертого уравнений:

    \[2\alpha+2\beta+3\gamma=2\alpha+\beta+\gamma\]

    \[\beta=-\gamma\]

Приравниваем правые части первого и второго уравнений:

    \[3\alpha+4\beta+4\gamma=2\alpha+2\beta+3\gamma\]

    \[\alpha=-2\beta-\gamma=2\gamma-\gamma=\gamma\]

Подставим все в четвертое уравнение:

    \[7=2\alpha+\beta+\gamma=2\gamma-\gamma+\gamma=2\gamma\]

    \[\gamma=3,5\]

    \[\beta=-3,5\]

    \[\alpha=3,5\]

Получаем:

    \[7x+ 7y + 7z + 7t =\alpha(3x + 2y + 4z +2t) + \beta (4x + 2y + 5z + t)+ \gamma (4x + 3y + 3z + t)=3,5\cdot 10-3,5\cdot 9+3,5\cdot 8=3,5\cdot 9=31,5\]

Ответ: 31,5 млн тонн.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *