Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (25), Геометрия (задание 15), Планиметрия (16 (C4))

Свойства медиан

Сегодня рассмотрим несколько задач на свойства медиан.  Например, прием удвоения медианы и то, что медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы – на шесть равновеликих.

 

Задача 1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

Решение.

К задаче 1

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то длина AO=2, тогда площадь ABN равна

    \[S=\frac{1}{2}AO\cdot BN=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4=4\]

Поскольку медиана BN делит треугольник на два равновеликих, то площадь ABC равна 8.

Ответ:  8.

Задача 2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

К задаче 2

Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. То есть треугольник ACO тоже равнобедренный. Тогда

    \[AO=OC=\sqrt{2}\]

А поскольку AO=\frac{2}{3}AF, то длина AF=1,5\sqrt{2}.

площадь треугольника AFС равна

    \[S=\frac{1}{2}AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 1,5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=1,5\]

Поэтому площадь треугольника ABC вдвое больше и равна 3.

Ответ: 3.

Задача 3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна \sqrt{10}. Найдите площадь треугольника.

К задаче 3

Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. Тогда примем OF=x, OC=2x, для прямоугольного треугольника OFC справедлива теорема Пифагора:

    \[OF^2+OC^2=\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2\]

    \[x^2+4x^2=2,5\]

    \[x^2=0,5\]

    \[x=\frac{1}{\sqrt{2}}\]

Площадь треугольника AFC:

    \[S_{AFC}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 2x=3x^2\]

    \[S_{AFC}=1,5\]

Поэтому площадь треугольника ABC вдвое больше и равна 3.

Ответ: 3.

Задача 4. В треугольнике ABC медианы AD и BE перпендикулярны, AC=3BC=4. Чему равен квадрат третьей стороны?

К задаче 4

Решение. Пусть AO=2x, OD=x, BO=2y, OE=y. Тогда для треугольника BOD теорема Пифагора:

    \[4y^2+x^2=4\]

А для треугольника AOE:

    \[4x^2+y^2=2,25\]

Теперь решим систему. Сложение уравнений дает:

    \[5x^2+5y^2=6,25\]

    \[x^2+y^2=1,25\]

Подставим во второе уравнение:

    \[4x^2+1,25-x^2=2,25\]

    \[3x^2=1\]

    \[y^2=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}\]

Из треугольника AOB найдем квадрат третьей стороны.

    \[AB^2=AO^2+OB^2=4x^2+4y^2=\frac{4}{3}+\frac{11}{3}=\frac{15}{3}=5\]

Ответ: 5.

Задача 5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

К задаче 5

Решение. Рассмотрим треугольник AOC. В нем известны три стороны и найти его площадь по формуле Герона совсем легко. AO=\frac{2}{3}\cdot 24=18, OC=\frac{2}{3}\cdot 18=12.

    \[S=\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}=\sqrt{12\cdot 2\cdot 12\cdot 8\cdot 4}=96\]

А, поскольку медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих, то площадь эта – \frac{2}{6}\cdot ABC, значит, площадь треугольника ABC равна 96\cdot 3=288.

Ответ: 288.

Задача 6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

Решение: по формуле Герона определяем площадь треугольника:

    \[S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84\]

Медианы разобьют данный треугольник на шесть равных по площади:

    \[\frac{1}{6}\cdot 84=14\]

Ответ: 14.

Задача 7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

К задаче 7

Решение. Медиана разобьет треугольник ABC на два равных по площади. Поскольку катет одного из них известен, а также известна площадь, то можно найти второй катет.

    \[S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot AB\]

    \[AB=\frac{2S}{3}=4\]

Так как треугольник ABD прямоугольный, то он египетский и его гипотенуза равна 5. Поэтому AC=10.

Ответ: 10.

Задача 8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и \sqrt{15}, а медиана третьей стороны равна 2.

К задаче 8

Решение. Видишь медиану – удвой ее. Получаем параллелограмм ABCD с диагональю 4 и сторонами 1 и \sqrt{15}. Треугольник ABD подчиняется теореме Пифагора. Его площадь равна площади треугольника ABC.

    \[S=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{2}\]

Ответ: S=\frac{\sqrt{15}}{2}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *