Свойства медиан

[latexpage]

Сегодня рассмотрим несколько задач на свойства медиан.  Например, прием удвоения медианы и то, что медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы – на шесть равновеликих.

Задача 1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

Решение.

К задаче 1

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то длина $AO=2$, тогда площадь $ABN$ равна

$$S=\frac{1}{2}AO\cdot BN=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4=4$$

Поскольку медиана $BN$ делит треугольник на два равновеликих, то площадь $ABC$ равна 8.

Ответ:  8.

Задача 2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

К задаче 2

Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. То есть треугольник $ACO$ тоже равнобедренный. Тогда

$$AO=OC=\sqrt{2}$$

А поскольку $AO=\frac{2}{3}AF$, то длина $AF=1,5\sqrt{2}$.

площадь треугольника $AFС$ равна

$$S=\frac{1}{2}AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 1,5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=1,5$$

Поэтому площадь треугольника $ABC$ вдвое больше и равна 3.

Ответ: 3.

Задача 3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна $\sqrt{10}$. Найдите площадь треугольника.

К задаче 3

Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. Тогда примем $OF=x$, $OC=2x$, для прямоугольного треугольника $OFC$ справедлива теорема Пифагора:

$$OF^2+OC^2=\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$$

$$x^2+4x^2=2,5$$

$$x^2=0,5$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Площадь треугольника $AFC$:

$$S_{AFC}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 2x=3x^2$$

$$S_{AFC}=1,5$$

Поэтому площадь треугольника $ABC$ вдвое больше и равна 3.

Ответ: 3.

Задача 4. В треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $BE$ перпендикулярны, $AC=3$, $BC=4$. Чему равен квадрат третьей стороны?

К задаче 4

Решение. Пусть $AO=2x$, $OD=x$, $BO=2y$, $OE=y$. Тогда для треугольника $BOD$ теорема Пифагора:

$$4y^2+x^2=4$$

А для треугольника $AOE$:

$$4x^2+y^2=2,25$$

Теперь решим систему. Сложение уравнений дает:

$$5x^2+5y^2=6,25$$

$$x^2+y^2=1,25$$

Подставим во второе уравнение:

$$4x^2+1,25-x^2=2,25$$

$$3x^2=1$$

$$y^2=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}$$

Из треугольника $AOB$ найдем квадрат третьей стороны.

$$AB^2=AO^2+OB^2=4x^2+4y^2=\frac{4}{3}+\frac{11}{3}=\frac{15}{3}=5$$

Ответ: 5.

Задача 5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

К задаче 5

Решение. Рассмотрим треугольник $AOC$. В нем известны три стороны и найти его площадь по формуле Герона совсем легко. $AO=\frac{2}{3}\cdot 24=18$, $OC=\frac{2}{3}\cdot 18=12$.

$$S=\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}=\sqrt{12\cdot 2\cdot 12\cdot 8\cdot 4}=96$$

А, поскольку медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих, то площадь эта – $\frac{2}{6}\cdot ABC$, значит, площадь треугольника $ABC$ равна $96\cdot 3=288$.

Ответ: 288.

Задача 6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

Решение: по формуле Герона определяем площадь треугольника:

$$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$$

Медианы разобьют данный треугольник на шесть равных по площади:

$$\frac{1}{6}\cdot 84=14$$

Ответ: 14.

Задача 7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

К задаче 7

Решение. Медиана разобьет треугольник $ABC$ на два равных по площади. Поскольку катет одного из них известен, а также известна площадь, то можно найти второй катет.

$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot AB$$

$$AB=\frac{2S}{3}=4$$

Так как треугольник $ABD$ прямоугольный, то он египетский и его гипотенуза равна 5. Поэтому $AC=10$.

Ответ: 10.

Задача 8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и $\sqrt{15}$, а медиана третьей стороны равна 2.

К задаче 8

Решение. Видишь медиану – удвой ее. Получаем параллелограмм $ABCD$ с диагональю 4 и сторонами 1 и $\sqrt{15}$. Треугольник $ABD$ подчиняется теореме Пифагора. Его площадь равна площади треугольника $ABC$.

$$S=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Ответ: $S=\frac{\sqrt{15}}{2}$