Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Свойства функции в задачах с параметром

При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует “бывшая” переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам важна уже новая переменная, именно на нее и накладываются условия.

Задача. Чему равно значение параметра , при котором неравенство

   

выполняется всегда?

Введем замену: , .

Перепишем:

   

Введем функцию:

   

Обратим внимание, что, как бы мы ни раскрыли модуль, все равно коэффициент при будет положителен, то есть функция монотонно возрастает. Поскольку новая переменная ограничена, то нужно, чтобы неравенство выполнялось на отрезке . Так как значение функции в точке (-1) меньше, чем в точке 1, то потребуем, чтобы .

Монотонность функции

   

   

Можно заметить, что сумма подмодульных выражений первых двух модулей равна третьему подмодульному выражению:

   

Это классическое неравенство: модуль суммы меньше либо равен сумме модулей. А у нас – наоборот! Поэтому ставим знак равно. Знак равно можно поставить тогда, когда  как , так и – выражения одного знака. Чтобы потребовать, чтобы выражения были одного знака, надо потребовать, чтобы произведение было бы положительно:

   

   

В точке (-5) изменения знака неравенства не произойдет – это корень четной кратности. Поэтому решение:

   

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *