Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Свойства функции в задачах с параметром

При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует “бывшая” переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам важна уже новая переменная, именно на нее и накладываются условия.

Задача. Чему равно значение параметра a, при котором неравенство

    \[\mid 3\sin x+a^2-22\mid+\mid7\sin x+a+12\mid \leqslant 11\sin x+\mid a^2+a-20\mid+11\]

выполняется всегда?

Введем замену: t=\sin x, -1\leqslant t \leqslant 1.

Перепишем:

    \[\mid 3t+a^2-22\mid+\mid7t+a+12\mid - 11t-\mid a^2+a-20\mid-11\leqslant 0\]

Введем функцию:

    \[f(t)=-\mid 3t+a^2-22\mid-\mid7t+a+12\mid + 11t+\mid a^2+a-20\mid+11\geqslant 0\]

Обратим внимание, что, как бы мы ни раскрыли модуль, все равно коэффициент при x будет положителен, то есть функция монотонно возрастает. Поскольку новая переменная t ограничена, то нужно, чтобы неравенство выполнялось на отрезке [-1; 1]. Так как значение функции в точке (-1) меньше, чем в точке 1, то потребуем, чтобы f(-1)\geqslant 0.

Монотонность функции

    \[f(-1)=-\mid -3+a^2-22\mid-\mid-7+a+12\mid - 11+\mid a^2+a-20\mid+11\geqslant 0\]

    \[f(-1)=-\mid a^2-25\mid-\mid a+5\mid +\mid a^2+a-20\mid \geqslant 0\]

Можно заметить, что сумма подмодульных выражений первых двух модулей равна третьему подмодульному выражению:

    \[\mid a^2-25\mid+\mid a+5\mid  \leqslant \mid a^2+a-20\mid\]

Это классическое неравенство: модуль суммы меньше либо равен сумме модулей. А у нас – наоборот! Поэтому ставим знак равно. Знак равно можно поставить тогда, когда  как a^2-25, так и a+5 – выражения одного знака. Чтобы потребовать, чтобы выражения были одного знака, надо потребовать, чтобы произведение было бы положительно:

    \[(a^2-25)(a+5) \geqslant 0\]

    \[(a-5)(a+5)^2 \geqslant 0\]

В точке (-5) изменения знака неравенства не произойдет – это корень четной кратности. Поэтому решение:

    \[a \in \{-5\} \cup [5;+\infty)\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *