Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (18 (C7))

Свойства чисел – 6

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются профильном ЕГЭ под номером 19.

Задача 1. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение: а) первый способ:

    \[\frac{\bar{abc}}{a+b+c}=90\]

    \[100a+10b+c=90a+90b+90c\]

    \[10a=80b+89c\]

Слагаемое 10a – делится на 10, слагаемое 80b – тоже. Значит, и слагаемое 89c должно делиться на 10. Так как 89 не делится на 10, значит, c должна делиться на 10 – а c – это цифра. Поэтому c=0, тогда

    \[10a=9b\]

    \[a=8\]

    \[b=1\]

Второй способ. Число точно делится на 90. Значит, это могут быть числа 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810. Сумма цифр каждого из них равна 9, и только у последнего сумма цифр – 18. Значит, подходит число 810 – оно равно 9\cdot 90.

Третий способ: если число делится на 90, значит, оно делится на 9. Например, 90\cdot 9=810, а 18\cdot 90=1620 – не трехзначное.

б) Если число кратно 88, то оно может быть равно

88\cdot 2=176 – сумма цифр не 2,

88\cdot 3=264 – сумма цифр не 3,

88\cdot 4=352 – сумма цифр не 4,

88\cdot 5=440 – сумма цифр не 5,

88\cdot 6=528 – сумма цифр не 6,

88\cdot 7=616 – сумма цифр не 7,

88\cdot 8=704 – сумма цифр не 8,

88\cdot 9=792 – сумма цифр не 9.

Решения нет.

Второй способ:

    \[\frac{\bar{abc}}{a+b+c}=88\]

    \[100a+10b+c=88a+88b+88c\]

    \[12a=78b+87c\]

Даже если b=1 и c=1, то правая часть больше 160, а левая, если a=9 – наибольшее, 12a=108. Равенства нет. То есть либо b=1, c=0, тогда

    \[12a=78\]

Нет целых решений.

Либо b=0, c=1, тогда

    \[12a=87\]

Нет целых решений.

в) Поступаем так же, как в первом случае:

    \[\frac{\bar{abc}}{a+b+c}=k\]

    \[100a+10b+c=ka+kb+kc\]

    \[(100-k)a=(k-10)b+(k-1)c\]

Так как k>90, то 100-k<10, значит, левая часть меньше 90.

k-10 – больше 80, k-1 – больше 89. Как и в пункте б), возможен случай, когда b=1, c=0, тогда

    \[(100-k)a=k-10\]

При a=8, k=90. Получаем 810.

При a=9, k=91. Получаем 910.

Также возможен случай, когда b=0, c=1, тогда

    \[(100-k)a=k-1\]

При a=9, k-1>89. Получаем

10k=901 – решений нет, 901 не делится на 10.

Ответ: а) да, например, 810; б) нет; в) да, 91, пример – 910.

Задача 2. На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Решение:

а) возьмем 1, как наиболее удобное число, на которое делится любая сумма любых чисел. Если все числа за 1 до 2015 нечетные, то можно взять 2 – тогда сумма любого числа и 1 четна и будет делиться на 2. И еще, чтобы сумма 1 и 2 делилась на что-то, возьмем 3. Вообще всего нечетных чисел до 2015 – 1008. Вместе с 2 – 1009. То есть берем ряд 1,2, 3, 5, 7, 9… 2015.

б) Да, например 1,2,3,5, 2015.

в)  Четыре числа может быть: для этого отбросим 5. Получим 1,2,3, 2015.

Посмотрим, может ли быть три числа: пусть есть числа x, y и 2015. Пусть x<y<2015. Должно выполняться

    \[\begin{Bmatrix}{ x+y\vdots 2015}\\{ x+2015\vdots y}\\{ y+2015\vdots x}\end{matrix}\]

Если x<y<2015, то может быть только, что x+y \vdots 2015. Тогда x=2015-y, и

    \[2015-y+2015\vdots y\]

    \[4030-y\vdots y\]

То есть 4030 \vdots y. И аналогично 4030 \vdots x. Разложим 4030 на множители:

    \[4030=2\cdot 5\cdot 31\cdot 13\]

Так как сумма x+y=2015, то какое-то из слагаемых должно быть больше 1000. Например, x=5\cdot 31\cdot 13=2015, но тогда y=0 – не подходит. Если же x=2\cdot 31\cdot 13=806, но тогда y=1209 – а это число не является делителем 4030. Таким образом, три числа быть не может.

Ответ: а) 1,2,3,5,7,9… 2015;   б) 1,2,3,5, 2015; в) нет.

 

Задача 3. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

6) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) Чтобы получился ноль, нужно, чтобы какая-либо из сумм оказалась бы нулем. Этого не получится, потому что среди представленных чисел нет противоположных.

б) Чтобы в результате получилась 1, надо, чтобы все суммы были бы равны 1 или -1. Этого тоже не получится, так как 1 и -2 дадут в сумме -1, -3 и 4  дадут 1, -8 и 9 – тоже 1, а вот -5 и 7 – 2.

в) Поскольку карточек 8, то появится две двойки в качестве сумм: и в паре 7, 9  одна из цифр даст двойку, и в паре -3 и -5 одна из цифр тоже даст двойку. Поэтому наименьшим произведением может быть только 4.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *