Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (18 (C7))

Свойства чисел – 5

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1. Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.

Решение. Возьмем, к примеру, число 129 – если прибавить 6, получим 135. Сумма цифр стала меньше. Еще пример – 138. Прибавим 6 и получим 144. Опять то же – сумма цифр стала меньше после прибавления шестерки. Тогда попробуем подобрать такое число, чтобы при прибавлении шестерки происходил переход через сотню. 192 не подойдет – при прибавлении 6 не происходит перехода через сотню. То же и с числом 291. Если взять 390 – снова нет перехода. Попробуем число 490+n – это числа 491, 492, 493 и т.д., сумма цифр всех таких чисел больше 12, но меньше 24. Не подойдут. То же и с числами 591, 592, 593 и т.д. Зато число 699 подойдет – сумма его цифр 24, делится на 12. Если прибавить 6, получим 705 – делится на 12.

Ответ: 699.

Задача 2. Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 3, и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Число, которое меньше нашего на 3, делится на 6, 5 и 4. То есть оно кратно 4\cdot 5\cdot 3=60. Оно трехзначное, поэтому это может быть 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960 – тогда наше число 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Условию задачи  – цифры по убыванию – соответствуют числа 843, 963.

Ответ: 843, 963.

Задача 3.  Сумма ста натуральных чисел равна 5000. Все эти числа разбили на три группы, причём во всех группах разное в первой группе 29 чисел, их среднее арифметическое равно 21;

– среднее арифметическое чисел второй группы равно 50;

– среднее арифметическое чисел третьей группы – целое число.

Найдите количество чисел в третьей группе.

Решение. Среднее арифметическое всех чисел равно 50. Среднее арифметическое чисел второй группы тоже 50. Поэтому и среднее арифметическое чисел первой и третьей групп обязано быть равно 50.

    \[\frac{(21\cdot 29+mn)}{50}=n+29\]

n – число чисел третьей группы, m – их среднее арифметическое.

    \[21\cdot 29+mn=50n+29\cdot50\]

    \[21\cdot 29 - 29\cdot50=50n - mn\]

    \[21\cdot 29 - 29\cdot50=50n - mn\]

    \[mn -50n =29^2\]

    \[n (m - 50) =29^2\]

Так как 29 – простое число, то правая часть делится на 1, на 29 и на 29^2.

Чисел разное число – поэтому их не может быть 29. И 29^2 их тоже не может быть – это более 100. Поэтому в третьей группе только одно число. Ответ: 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *