Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Свойства чисел – 4

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение: Если число кратно 22, то оно делится на 2 и на 11. Разложим число 24 на множители:

    \[24=3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\]

Также можно добавить в это разложение любое число единиц. Теперь нужно расположить цифры так, чтобы полученное число удовлетворяло признаку делимости на 11 – то есть чтобы суммы цифр на четных и нечетных местах были бы равны. Получим 2134, или 1342.

Ответ: 2134, 1342.

Задача 2. Найдите четырёхзначное число, которое в 3 раза меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. По условию

    \[n<\frac{a^3}{3}\]

Или

    \[a^3>3n\]

То есть куб числа a – четырехзначное число, делящееся на три. 10^3=1000 – то есть подойдет число, большее 10, причем оно должно делиться на три. Попробуем 12.

    \[\frac{12^3}{3}=576\]

Не подходит, трехзначное. Попробуем 15.

    \[\frac{15^3}{3}=1125\]

И 18 подойдет:

    \[\frac{15^3}{3}=1944\]

Ответ: 1125, 1944.

Задача 3. Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение. В нашем числе нет нулей – иначе произведение обратится в ноль. Единиц, наоборот, можно взять любое число. Если само число кратно 4, то две последние его цифры должны образовать число, кратное 4. Возьмем 2 и 4: получим 1124 – сумма цифр равна 8, произведение тоже. Также подойдет 1412.

Ответ: 1124, 1412.

Задача 4. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение. Число должно делиться на 3 и на 8. Значит, оно должно содержать 3 единицы, и заканчиваться тремя нулями – потому что 1000 делится на 8. Это число – 111000.

Ответ: 111000

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *