Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Свойства чисел – 3

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1. Маша задумала трёхзначное число. Сумма цифр этого числа равна 7, а сумма квадратов цифр равна 27. Если из задуманного числа вычесть 396, то получится число, записанное теми же цифрами, что и задуманное, но в обратном порядке. Какое число задумала Маша?

Решение. Пусть сумма квадратов 27. Попробуем подобрать эти квадраты: 25, 1, 1. То есть сами цифры – 5,1,1. Их сумма как раз 7. Поскольку из числа, задуманного Машей, можно вычесть 396, то оно больше 396, а значит, это число 511.

Ответ: 511.

Задача 2.  На шахматном турнире каждый из участников должен был сыграть ровно одну партию с каждым из прочих, но два участника выбыли из турнира, сыграв только по 4 партии. Поэтому число партий, сыгранных в турнире, оказалось равным 62. Сколько всего было участников турнира?

Решение. Если бы два участника не выбыли, то матчей состоялось бы \frac{n(n-1)}{2} – каждый играет с каждым, кроме себя самого, но, поскольку в матче участвуют двое – то матчей в два раза меньше, чем n(n-1).

Двое выбывших вместе могли сыграть как 8 партий – если не играли друг с другом, так и 7 – если играли. То есть без партий, сыгранных ими, остается 55 или 54 матча. Тогда

    \[\frac{n(n-1)}{2}=55\]

Или

    \[\frac{n(n-1)}{2}=54\]

То есть

    \[n(n-1)=110\]

Или

    \[n(n-1)=108\]

Произведение двух последовательных чисел не может быть равно 108. Тогда n=11, а в ответ запишем 13 – ведь n – число участников после выбытия двоих.

Ответ: 13.

Задача 3. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение.

    \[20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6\]

Проанализируем все разложения:

81+81+4 – не делится ни на 3, ни на 9.

81+64+9 – не делится ни на 3, ни на 9.

81+49+16 – не делится ни на 3, ни на 9.

81+36+25 – не делится ни на 3, ни на 9.

64+64+16 –  делится и  на 3, и на 9.

64+49+25 – делится  на 3, но не делится на 9. Подходит.

64+36+36 –  не делится ни на 3, ни на 9.

49+49+36 –  не делится ни на 3, ни на 9.

Таким образом, подходят числа 578, 875, 758 и т.д.

Задача 4. Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Число имеет вид 30n+1, 30n+2, 30n+3, 30n+4. Остаток должен быть меньше, чем 5. Подберем подходящие значения n. При n от 1 до 13 полученное число меньше 400.

При n=14 получим 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При n=15 получим 451, 452, 453, 454. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр, кроме числа 453. Оно подходит.

При n=16 получим 481, 482, 483, 484. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При n=17 получим 511, 512, 513, 514. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При n=18 получим 541, 542, 543, 544. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр.

При n=19 получим 571, 572, 573, 574. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр, кроме числа 573. Оно подходит.

Попробуем n=23. Получим 691, 692, 693, 694 – 693 подходит.

Ответ: 453, 573, 693.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *