Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Свойства чисел – 2

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются в ВПР, базовом ЕГЭ. Статей будет несколько – и в более поздних появятся задачи профильного ЕГЭ.

Задача 1. На карточках написаны двузначные числа. Сколько карточек нужно взять не глядя, чтобы по крайней мере одно из чисел делилось на 2 или на 7?

Решение. Предположим, нам не везет и все время попадаются нечетные числа. Всего карточек 90, поэтому в самом худшем случае мы вытянем 45 карточек, числа на которых не делятся на 2. Но! Среди нечетных чисел попадаются те, что делятся на 7. Сколько их? 21, 35, 49, 63, 77 и 91. Пусть при вытаскивании карточек они нам не попались – значит, вытянуто 45-6=39 карточек. 40-я карточка будет  обязательно либо содержать нечетное число, которое делится на 7, либо четное.

Ответ: 40 карточек.

Задача 2. На доске написано число. Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат, стерев предыдущее число. Может ли Олег, действуя таким образом, в конце концов получить число 1? Если да, покажите, как; если нет, объясните, почему.

Решение: если число начинается с 1, то просто стираем по очереди все последние цифры, пока не останется 1. Если число не начинается с 1, то прибавляем к нему 2018 до тех пор, пока не получим 1 первой: если исходное число однозначное, двузначное или трехзначное, то 5 раз добавив к нему 2018, получим первой 1. Затем стираем все последние по одной.

Задача 3. Мужчина может выпить кадь пития за 14 дней, а с женой – за 10. За какое время жена выпьет кадь пития?

Решение. НОК 14 и 10 – 70. За 70 дней мужик выпьет 5 кадей, а с женой – 7. Значит, жена выпьет 2 кади за 70 дней. И одну – за 35.

Ответ: 35 дней.

Задача 4.  Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь за 30 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение. Эту задачу можно решать, как задачу в целых числах. Для этого определим НОК чисел 20, 24 и 30 – это число 120. Таким образом, Игорь и Паша покрасят 6 заборов за 120 часов, Паша и Володя – 5 заборов, а Володя и Игорь – 4 забора. Будь у нас два Володи, два Игоря и два Паши, мальчики покрасили бы 15 заборов за 120 часов, или 1 забор за 8 часов. Но это – вшестером, а втроем – 1 забор за 16 часов.

Ответ: за 16 часов.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *