Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Свободное падение

В статье собраны задачи, связанные с падением тел. При падении ускорение постоянно и равно 9,8 м/c^2. Свободно падающее тело – тело, падающее без начальной скорости, как оторвавшаяся сосулька.

Задача 1. Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте h_1=1100 м, а спустя время t=10 с – на высоте h_2=120 м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?

Итак, за 10 с тело прошло путь, равный 1100-120=980 м с известным ускорением, равным 9,8 м/c^2. Тогда можно записать:

    \[S=h_1-h_2=\upsilon t+\frac{gt^2}{2}=980\]

Здесь \upsilon – скорость, которую тело приобрело к моменту, когда оно оказалось на высоте 1100 м. Эта скорость нам неизвестна, и ее можно определить из последнего уравнения. Так как тело падало свободно, следовательно, у него не было начальной скорости в самом начале падения. Тогда, узнав, какая скорость была им приобретена, мы легко установим, сколько оно пролетело до этого момента (до высоты 1100 м).

    \[\upsilon t=S-\frac{gt^2}{2}\]

    \[10\upsilon =980-\frac{9,8\cdot100}{2}=490\]

    \[\upsilon =49\]

Изначально тело двигалось без начальной скорости:

    \[\upsilon=gt_1\]

    \[t_1=\frac{\upsilon }{g}=\frac{49}{9,8}=5\]

Таким образом, тело всего падало t+t_1=15 c. Следовательно, за указанное время прошло путь

    \[S_1=\frac{g(t+t_1)^2}{2}=\frac{9,8 \cdot 25}{2}=1102,5\]

При этом тело не долетело до земли 120 м, а значит, падало оно с высоты 1102,5+120=1222,5 м.

Ответ: 1222,5 м

 

Задача 2. Тело свободно падает с высоты h=100 м. За какое время тело проходит первый и последний метр своего пути? Какой путь проходит тело за первую секунду своего движения? За последнюю секунду?

    \[S_1=\frac{gt_1^2}{2}\]

Тогда время прохождения первого метра:

    \[t_1=\sqrt{\frac{2S_1}{g}}=\sqrt{\frac{2}{9,8}}=0,45\]

Время прохождения первого метра – 0,45 с.

Чтобы найти время движения на последнем метре, придется найти общее время падения, а также время прохождения телом 99 метров пути, после чего вычесть из первого второе:

    \[S_2=\frac{gt_2^2}{2}=100\]

    \[t_2=\sqrt{\frac{2S_2}{g}}=\sqrt{\frac{200}{9,8}}=4,5\]

    \[S_3=\frac{gt_3^2}{2}=99\]

    \[t_3=\sqrt{\frac{2S_3}{g}}=\sqrt{\frac{198}{9,8}}=4,49\]

    \[t_2-t_3=0,01\]

Время прохождения последнего метра – 0,01 с.

Путь, который тело проходит за первую секунду:

    \[S_4=\frac{gt_4^2}{2}=4,9\]

А за последнюю секунду… Найдем, сколько тело пролетело за время t_5=t_2-1=3,5 c:

    \[S_5=\frac{gt_5^2}{2}=60\]

Тогда оставшиеся 40 метров тело прошло за последнюю секунду.

Ответ: первый метр – за 0,45 с, последний – за 0,01 с, 4,9 м – за первую секунду полета, 40 м – за последнюю.

 

Задача 3. С крыши дома сорвалась сосулька и за t=0,2 с пролетела мимо окна, высота которого h=1,5 м. С какой высоты относительно верхнего края окна  она оторвалась?

Эту задачу можно решить по-разному.

Первый способ.

Запишем путь, пройденный сосулькой до нижнего края окна:

    \[S_1=\frac{gt_1^2}{2}\]

Здесь t_1 – общее время полета сосульки с крыши до нижнего края окна.

Так как окно сосулька пролетела за 0,2 с, то до его верхнего края она летела t_1-t c. Тогда искомая высота от верхнего края окна до крыши равно:

    \[S=S_1-h=\frac{g(t_1-t)^2}{2}\]

Разность этих двух расстояний – как раз высота окна:

    \[S_1-S=h=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1-t)^2}{2}\]

Раскроем скобки и решим:

    \[h=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_1^2}{2}+\frac{2g t t_1}{2}-\frac{gt^2}{2}\]

    \[h=gt t_1-\frac{t^2}{2}\]

    \[1,5=9,8 \cdot0,2 t_1-0, 196\]

    \[t_1=0,86\]

Решив уравнение, мы нашли общее время полета сосульки, которое дает нам возможность определить высоту, с которой она упала:

    \[S_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{9,8 \cdot0,86^2}{2}=3,67\]

Вычтем высоту окна – и ответ готов: S=S_1-h=3,67-1,5=2,17 м.

Второй способ:

Найдем скорость, с которой сосулька подлетела к верхнему краю окна:

    \[\upsilon_0=gt_2\]

Здесь t_2 – время полета сосульки до окна.

Эта скорость будет служить нам начальной скоростью, когда мы будем рассматривать собственно пролет сосулькой окна. Тогда h можно записать так:

    \[h=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}\]

    \[h=g t_2 t+\frac{gt^2}{2}\]

    \[1,5=9,8\cdot 0,2 t_2+\frac{9,8\cdot 0,2^2}{2}=0,196t_2+0,196\]

    \[t_2=0,665\]

Тогда искомое расстояние равно:

    \[S_1=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{9,8\cdot 0,665^2}{2}=2,17\]

Ответ: от верхнего края окна до крыши 2,17 м.

Задача 4. Мячик, отскочивший от поверхности земли вертикально вверх со скоростью \upsilon_0=10 м/c, пролетел мимо окна, высота которого h=1,5 м, за время t=0,2 с. На какой высоте относительно поверхности земли находится подоконник?

Решим эту задачу вторым способом (смотри предыдущую задачу). Пусть время полета от пола до подоконника – t_1. Тогда мячик подлетел к окну со скоростью \upsilon_1=\upsilon_0-gt_1.

Высота окна h может быть записана так:

    \[h=\upsilon_1 t-\frac{gt^2}{2}\]

    \[\upsilon_1=\frac{h}{t}+\frac{gt}{2}\]

Подставим \upsilon_1:

    \[\upsilon_0-gt_1=\frac{h}{t}+\frac{gt}{2}\]

Откуда t_1

    \[t_1=\frac{\upsilon_0}{g}-\frac{h}{gt}-\frac{t}{2}\]

    \[t_1=\frac{10}{9,8}-\frac{1,5}{9,8\cdot0,2}-\frac{0,2}{2}=0,155\]

Тогда путь до подоконника равен:

    \[h_1=\upsilon_0 t_1-\frac{gt_1^2}{2}=1,55-\frac{9,8\cdot0,155^2}{2}=1,43\]

Ответ: h_1=1,43 м

 

Задача 5. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время t, а такой же последний – за время \frac{t}{2}. Найти высоту, с которой падало тело.

Первый участок:

    \[S_1=\frac{gt^2}{2}\]

Пусть участков – n штук. Тогда высота, с которой падало тело, равна nS_1, а общее время полета – t_1.

    \[nS_1=\frac{gt_1^2}{2}\]

Тело пролетело n-1 участков:

    \[(n-1)S_1=\frac{g(t_1-\frac{t}{2})^2}{2}\]

Подставим в последнее уравнение то, что записали выше:

    \[nS_1-S_1=\frac{g(t_1^2-t_1 t+\frac{t^2}{4})}{2}\]

    \[\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt^2}{2}=\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g t_1 t }{2} +\frac{gt^2}{8}\]

Сокращаем и приводим подобные слагаемые:

    \[\frac{5gt^2}{8}=\frac{g t t_1}{2}\]

    \[t_1=\frac{10t}{8}\]

t_1 – полное время падения, поэтому пройденный путь равен:

    \[nS_1=\frac{100gt^2}{64\cdot 2}=\frac{100}{128}S_1=1,56S_1\]

Откуда n=1,56.

Ответ: n=1,56 или nS_1=0,78gt^2.

 

Задача 6. Камень падает в ущелье. Через t=6 с слышен звук удара камня о землю. Определить глубину ущелья h. Скорость звука \upsilon=330 м/с.

Сначала наш камень падает, а потом звук идет со дна ущелья до наблюдателя – из этих двух времен складывается t. Скорость звука известна, поэтому время его распространения равно t_{zv}=\frac{h}{\upsilon}.

Найдем время падения камня.

    \[h=\frac{gt_k^2}{2}\]

    \[t_k=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

    \[t_k+t_{zv}=6\]

    \[\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\upsilon}=6\]

Введем новую переменную: a=\sqrt{h} и решим получившееся квадратное уравнение:

    \[\sqrt{\frac{2}{g}}a+\frac{a^2}{\upsilon}=6\]

    \[\sqrt{\frac{2}{9,8}}a+\frac{a^2}{330}=6\]

Домножим на 330:

    \[149a+a^2=1980\]

    \[a=12\]

Тогда h=a^2=144 м

Ответ: 144 м.

Комментариев - 2

  • Илья
    |

    Добрый день. Скажите какого класса эти задачи?

    Ответить
    • Анна
      |

      Это задачи для 9-го класса. Кроме, может быть, последней. И то – продвинутый девятиклассник справится. А вообще такие задачи часто выступают в качестве 29-той задачи ЕГЭ.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *