Свободное падение: разные задачи

В статье рассмотрены задачи, предложенные одному из учеников на контрольной работе. Такие же задачи, как первая, могут встретиться в блоке С ЕГЭ по физике. Задача не очень сложная, но тактика решения более сложной задачи будет аналогичная.

Задача 1. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения проходит половину пути. Определить время и высоту падения.

Обозначим время движения тела на первой половине пути $t_0$ , а на второй – $t$ . Тогда можно записать для первой половины пути

$\frac{S}{2}=\frac{gt_0^2}{2}$

За время движения $t_0$ тело набрало скорость $\upsilon_0=gt_0$ . Поэтому для второй половины запишем:

$\frac{S}{2}=\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}$

Или, подставив скорость,

$\frac{S}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}$

Так как половинку пути совершенно одинаковые, то

$\frac{gt_0^2}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}$

Или, деля на $g$ и домножая на 2, получим:

$t_0^2=2 t_0 t+t^2$

Решим это квадратное уравнение относительно $t_0$ :

$D=(2t)^2+4t^2=8t^2$

$t_0=\frac{2t \pm \sqrt{8t^2}}{2}=t(1 \pm \sqrt{2})=1+\sqrt{2}$

Отрицательный корень отбросили – он посторонний. Таким образом, $t_0=2,41$ с.

Тогда общее время падения равно $t_{ob}=t_0+t=3,41$ с, а высота падения тела

$S=\frac{g t_{ob}^2}{2}=58,14$

Ответ: время падения $t_{ob}=3,41$ с, высота падения – $S=58,14$ м.

К задаче 2

Задача 2. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с, равна высоте бросания. С какой высоты было брошено тело?

Тело, брошенное горизонтально, так и будет лететь вдоль оси $x$ с той скоростью, которую ему сообщили. Если время полета – $t$ , то оно улетит на расстояние

$S=\upsilon_0 t$

Падение тела тоже будет происходить время $t$ , поэтому

$H=\frac{gt^2}{2}$

По условию $S=H$ , следовательно,

$\upsilon_0 t=\frac{gt^2}{2}$

$2\upsilon_0=gt$

$t=\frac{2\upsilon_0}{g}$

И тогда высота, с которой оно падало:

$H=\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon_0}{g}\right)^2=\frac{2\upsilon_0^2}{g}=20$

Ответ: высота падения тела – 20 м.

К задаче 3

Задача 3. С некоторой высоты свободно падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько времени с момента падения второго тела расстояние между телами удвоится?

Первое тело прошло за первую секунду (если принять $g=10$ )

$H_1=\frac{gt^2}{2}=5$

Так как пути, пройденные за последовательные промежутки времени, относятся как ряд последовательных нечетных чисел, то за вторую секунду первое тело прошло 15 м, а всего за 2 секунды – 20. То есть расстояние, разделяющее тела к моменту падения второго тела – 20 м, а нас интересует, когда оно станет равно 40. За третью секунду первое тело пройдет еще 25 м, а первое – 5, и расстояние между телами удвоится, став равным 40 м. Подтвердим расчетом эти доводы:

$S_1=\frac{gt_1^2}{2}$