Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Равнопеременное движение

Свободное падение: разные задачи

В статье рассмотрены задачи, предложенные одному из учеников на контрольной работе. Такие же задачи, как первая, могут встретиться в блоке С ЕГЭ по физике. Задача не очень сложная, но тактика решения более сложной задачи будет аналогичная.

Задача 1. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего движения проходит половину пути. Определить время и высоту падения.

Обозначим время движения тела на первой половине пути t_0, а на второй – t. Тогда можно записать для первой половины пути

    \[\frac{S}{2}=\frac{gt_0^2}{2}\]

За время движения t_0 тело набрало  скорость \upsilon_0=gt_0. Поэтому для второй половины запишем:

    \[\frac{S}{2}=\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}\]

Или, подставив скорость,

    \[\frac{S}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}\]

Так как половинку пути совершенно одинаковые, то

    \[\frac{gt_0^2}{2}= g t_0 t+\frac{gt^2}{2}\]

Или, деля на g и домножая на 2, получим:

    \[t_0^2=2 t_0 t+t^2\]

Решим это квадратное уравнение относительно t_0:

    \[D=(2t)^2+4t^2=8t^2\]

    \[t_0=\frac{2t \pm \sqrt{8t^2}}{2}=t(1 \pm \sqrt{2})=1+\sqrt{2}\]

Отрицательный корень отбросили – он посторонний. Таким образом, t_0=2,41 с.

Тогда общее время падения равно t_{ob}=t_0+t=3,41 с, а высота падения тела

    \[S=\frac{g t_{ob}^2}{2}=58,14\]

Ответ: время падения t_{ob}=3,41 с, высота падения – S=58,14 м.

 

К задаче 2

Задача 2. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью \upsilon_0=10 м/с, равна высоте бросания. С какой высоты было брошено тело?

Тело, брошенное горизонтально, так и будет лететь вдоль оси x с той скоростью, которую ему сообщили. Если время полета – t, то оно улетит на расстояние

    \[S=\upsilon_0 t\]

Падение тела тоже будет происходить время t, поэтому

    \[H=\frac{gt^2}{2}\]

По условию S=H, следовательно,

    \[\upsilon_0 t=\frac{gt^2}{2}\]

    \[2\upsilon_0=gt\]

    \[t=\frac{2\upsilon_0}{g}\]

И тогда высота, с которой оно падало:

    \[H=\frac{g}{2}\cdot \left(\frac{2\upsilon_0}{g}\right)^2=\frac{2\upsilon_0^2}{g}=20\]

Ответ: высота падения тела – 20 м.

 

К задаче 3

Задача 3. С некоторой высоты свободно падает тело. Через 2 с с той же высоты падает второе тело. Через сколько времени с момента падения второго тела расстояние между телами удвоится?

Первое тело прошло за первую секунду (если принять g=10)

    \[H_1=\frac{gt^2}{2}=5\]

Так как пути, пройденные за последовательные промежутки времени, относятся как ряд последовательных нечетных чисел, то  за вторую секунду первое тело прошло  15 м, а всего за 2 секунды – 20. То есть расстояние, разделяющее тела к моменту падения второго тела – 20 м, а нас интересует, когда оно станет равно 40. За третью секунду первое тело пройдет еще 25 м, а первое – 5, и расстояние между телами удвоится, став равным 40 м. Подтвердим расчетом эти доводы:

    \[S_1=\frac{gt_1^2}{2}\]

    \[S_2=\frac{gt_2^2}{2}\]

Тогда S_1-S_2=40, и

    \[\frac{gt_1^2}{2}-\frac{gt_2^2}{2}=40\]

    \[\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1-2)^2}{2}=40\]

    \[\frac{gt_1^2}{2}-\frac{g(t_1^2-4t_1+4)}{2}=40\]

    \[2gt_1-2g=40\]

    \[t_1=3\]

С момента падения второго тела пройдет t_2=t-1-2=1 с.

Ответ: 1 с.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *