Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Равнопеременное движение

Свободное падение и встречи в воздухе

Задачи, представленные в этой статье, несложные, однако требуют умения анализировать ситуацию. Поэтому нужно хорошо представлять себе, что происходит,  и как происходящие события зависят от данных  задачи.

Задача 1. Мяч свободно падает с высоты h=15 м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в n=2 раза. Найти путь, пройденный мячом до полной остановки.

К задаче 1

Мячик падает с высоты h, следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

    \[\upsilon_1=\sqrt{2gh}\]

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна \upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}, и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  \upsilon_3=\frac{\upsilon_2}{2}, и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

    \[S=h+2h_2+2h_3+\ldots\]

h_2 – высота, на которую поднимется мячик после первого удара, h_3 – после второго и т.д. Тогда:

    \[h_2=\frac{\upsilon_2^2}{2g}\]

    \[h_3=\frac{\upsilon_3^2}{2g}\]

    \[S=h+\frac{\upsilon_2^2}{2g}+\frac{\upsilon_3^2}{2g}+\ldots\]

Или, если везде перейти к скорости \upsilon_1, то

    \[S=h+\frac{1}{g}\cdot \left(\left(\frac{\upsilon_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\upsilon_1}{4}\right)^2+\ldots \right)\]

Или, вынося за скобку \upsilon_1^2, получим:

    \[S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\ldots \right)\]

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

    \[S_q=\frac{b_1}{1-q}\]

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

    \[S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot S_q=h+2h\cdot \frac{b_1}{1-q}\]

Подставляем данные:

    \[S= 15+30\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=15+10=25\]

Ответ: S=25 м.

Задача 2. Камень сбрасывают с высоты H. В то же время с земли бросают вертикально вверх шарик с начальной скоростью \upsilon_0. Определить время t через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости  \upsilon_0 возможна их встреча? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?

Давайте разбираться. Шарик подбросили вверх. Если его начальная  скорость была изначально небольшой, то он быстро упадет обратно на землю, когда камень еще не успеет до нее долететь, и в этом случае встреча камня и шарика невозможна. Определим время полета шарика до наивысшей точки траектории t_{sh}:

    \[\upsilon_0-gt_{sh}=0\]

    \[t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}\]

Еще точно такое же время шарик будет падать обратно, поэтому общее время его движения – 2t_{sh}=\frac{2\upsilon_0}{g}. Тогда встреча возможна, если t_k \leqslant 2t_{sh} (если шарик уже приземлился, а камень еще летит – они не встретятся). Определим время падения камня t_k:

    \[H=\frac{gt_k^2}{2}\]

    \[t_k=\sqrt{\frac{2H}{g}}\]

Тогда условие встречи можно записать так:

    \[\sqrt{\frac{2H}{g}} \leqslant \frac{2\upsilon_0}{g}\]

    \[\frac{2H}{g} \leqslant \frac{4\upsilon_0^2}{g^2}\]

    \[4\upsilon_0^2 \geqslant 2gH\]

    \[\upsilon_0^2 \geqslant  \frac{gH}{2}\]

Предположим, шарик и камень встретились в тот момент, когда шарик достиг максимальной высоты. Так как камень и шарик покрыли все расстояние H, то можно  записать:

    \[\frac{gt^2}{2}+\upsilon_0 t-\frac{gt^2}{2}=H\]

    \[\upsilon_0 t=H\]

    \[t=\frac{H}{\upsilon_0}\]

Время движения в этом случае равно t=t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}, подставим:

    \[\frac{\upsilon_0}{g}=\frac{H}{\upsilon_0}\]

    \[\upsilon_0^2=gH\]

А если шарик находится еще на взлете в момент встречи, то t<t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}  (\upsilon_{sh}>0):

    \[\frac{H}{\upsilon_0}<\frac{\upsilon_0}{g}\]

    \[\upsilon_0^2>gH\]

Если в момент встречи шарик падает, то t_{sh}<t<2t_{sh}, (\upsilon_{sh}<0):

    \[\frac{\upsilon_0}{g}<t<\frac{2\upsilon_0}{g}\]

    \[\frac{\upsilon_0}{g}<\frac{H}{\upsilon_0}<\frac{2\upsilon_0}{g}\]

    \[\frac{gH}{2}<\upsilon_0^2<gH\]

Если t=2t_{sh}, то встреча произойдет на земле: камень и шарик одновременно плюхнутся в одну точку. Тогда

    \[\frac{ H}{\upsilon_0}=\frac{2\upsilon_0}{g}\]

    \[\upsilon_0^2 =  \frac{gH}{2}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *