Свободное падение и встречи в воздухе

Задачи, представленные в этой статье, несложные, однако требуют умения анализировать ситуацию. Поэтому нужно хорошо представлять себе, что происходит, и как происходящие события зависят от данных задачи.

Задача 1. Мяч свободно падает с высоты $h=15$ м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в $n=2$ раза. Найти путь, пройденный мячом до полной остановки.

К задаче 1

Мячик падает с высоты $h$ , следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

$\upsilon_1=\sqrt{2gh}$

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна $\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}$ , и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже $\upsilon_3=\frac{\upsilon_2}{2}$ , и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

$S=h+2h_2+2h_3+\ldots$

$h_2$ – высота, на которую поднимется мячик после первого удара, $h_3$ – после второго и т.д. Тогда:

$h_2=\frac{\upsilon_2^2}{2g}$

$h_3=\frac{\upsilon_3^2}{2g}$

$S=h+\frac{\upsilon_2^2}{2g}+\frac{\upsilon_3^2}{2g}+\ldots$

Или, если везде перейти к скорости $\upsilon_1$ , то

$S=h+\frac{1}{g}\cdot \left(\left(\frac{\upsilon_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\upsilon_1}{4}\right)^2+\ldots \right)$

Или, вынося за скобку $\upsilon_1^2$ , получим:

$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\ldots \right)$

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

$S_q=\frac{b_1}{1-q}$

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot S_q=h+2h\cdot \frac{b_1}{1-q}$

Подставляем данные:

$S= 15+30\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=15+10=25$

Ответ: $S=25$ м.

Задача 2. Камень сбрасывают с высоты $H$ . В то же время с земли бросают вертикально вверх шарик с начальной скоростью $\upsilon_0$ . Определить время $t$ через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости $\upsilon_0$ возможна их встреча? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?

Давайте разбираться. Шарик подбросили вверх. Если его начальная скорость была изначально небольшой, то он быстро упадет обратно на землю, когда камень еще не успеет до нее долететь, и в этом случае встреча камня и шарика невозможна. Определим время полета шарика до наивысшей точки траектории $t_{sh}$ :

$\upsilon_0-gt_{sh}=0$

$t_{sh}=\frac{\upsilon_0}{g}$

Еще точно такое же время шарик будет падать обратно, поэтому общее время его движения – $2t_{sh}=\frac{2\upsilon_0}{g}$ . Тогда встреча возможна, если $t_k \leqslant 2t_{sh}$ (если шарик уже приземлился, а камень еще летит – они не встретятся). Определим время падения камня $t_k$ :

$H=\frac{gt_k^2}{2}$

$t_k=\sqrt{\frac{2H}{g}}$

Тогда условие встречи можно записать так:

$\sqrt{\frac{2H}{g}} \leqslant \frac{2\upsilon_0}{g}$

$\frac{2H}{g} \leqslant \frac{4\upsilon_0^2}{g^2}$

$4\upsilon_0^2 \geqslant 2gH$

$\upsilon_0^2 \geqslant \frac{gH}{2}$

Предположим, шарик и камень встретились в тот момент, когда шарик достиг максимальной высоты. Так как камень и шарик покрыли все расстояние $H$ , то можно записать:

$\frac{gt^2}{2}+\upsilon_0 t-\frac{gt^2}{2}=H$