Свободное падение и встречи в воздухе

Задачи, представленные в этой статье, несложные, однако требуют умения анализировать ситуацию. Поэтому нужно хорошо представлять себе, что происходит,  и как происходящие события зависят от данных  задачи.

Задача 1. Мяч свободно падает с высоты м на горизонтальную поверхность. При каждом отскоке его скорость уменьшается в раза. Найти путь, пройденный мячом до полной остановки.

К задаче 1

Мячик падает с высоты , следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна , и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  , и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

– высота, на которую поднимется мячик после первого удара, – после второго и т.д. Тогда:

Или, если везде перейти к скорости , то

Или, вынося за скобку , получим:

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

Подставляем данные:

Ответ: м.

Задача 2. Камень сбрасывают с высоты . В то же время с земли бросают вертикально вверх шарик с начальной скоростью . Определить время через которое встретятся камень и шарик. При какой скорости   возможна их встреча? В каком направлении (вверх или вниз) движется шарик в момент встречи?

Давайте разбираться. Шарик подбросили вверх. Если его начальная  скорость была изначально небольшой, то он быстро упадет обратно на землю, когда камень еще не успеет до нее долететь, и в этом случае встреча камня и шарика невозможна. Определим время полета шарика до наивысшей точки траектории :

Еще точно такое же время шарик будет падать обратно, поэтому общее время его движения – . Тогда встреча возможна, если (если шарик уже приземлился, а камень еще летит – они не встретятся). Определим время падения камня :

Тогда условие встречи можно записать так:

Предположим, шарик и камень встретились в тот момент, когда шарик достиг максимальной высоты. Так как камень и шарик покрыли все расстояние , то можно  записать:

Время движения в этом случае равно , подставим:

А если шарик находится еще на взлете в момент встречи, то  ():

Если в момент встречи шарик падает, то , ():

Если , то встреча произойдет на земле: камень и шарик одновременно плюхнутся в одну точку. Тогда