Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Равнопеременное движение

Свободное и “несвободное” падение. Подготовка к олимпиадам, 9 класс.

В статье предложены задачи на свободное падение тел. Будем использовать среднюю скорость и закон нечетных чисел.

Задача 1. Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью \upsilon_0, падало до земли время t_1=12 с, а тело, брошенное из этой же точки вертикально вниз с такой же по величине начальной скоростью \upsilon_0, падало t_1=3 с. Какое время из этой точки будет падать тело, брошенное без начальной скорости? g=10 м/c^{2}. Ответ дать в секундах. Округлить до целых.

Решение.

Пусть тело бросают с высоты H. Пусть ось x направлена вертикально вверх, а начало координат находится на земле. Тогда начальная координата тела x_0=H. Запишем  уравнения движения для трех случаев движения тела.

Для броска с начальной скоростью вертикально вверх можно записать

    \[x_1(t)=H+\upsilon_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},\]

для броска вертикально вниз выражение будет таким:

    \[x_2(t)=H-\upsilon_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},\]

а для броска без начальной скорости следующим:

    \[x_3(t)=H-\frac{gt^2}{2}.\]

Зная из условия, что x_1(t_1)=x_2(t_2)=0 получим:

    \[H+\upsilon_0\cdot t_1-\frac{gt_1^2}{2}= H+\upsilon_0\cdot t_2-\frac{gt_2^2}{2},\]

откуда выразим начальную скорость

    \[\upsilon_0=\frac{g\cdot (t_1-t_2)}{2}.\]

Подставляя найденную начальную скорость \upsilon_0 в уравнение x_1(t_1)=0 или x_2(t_2)=0 получим высоту, с которой бросают тело

    \[H=\frac{gt_1t_2}{2}.\]

Теперь используем то, что

    \[x_3(t_3)=0=H-\frac{gt_3^2}{2}.\]

подставим в данное уравнение найденную ранее высоту H и получим, что

    \[t_3=\sqrt{t_1\cdot t_2}=6.\]

Ответ: 6 с.

 

Задача 2. Шарик начал падать без начальной скорости с высоты H=20 м. С задержкой в половину времени падения первого шарика из той же точки вдогонку с начальной скоростью бросили другой шарик. Чему должна быть равна минимальная начальная скорость второго, чтобы он успел долететь до земли раньше первого? g=10 м/c^{2} . Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Известно, что тела бросают с высоты H. Направим ось x вертикально вверх и поместим начало координат в точку, расположенную на земле. Тогда начальная координата обоих тел x_0=H. Заметим, что второе тело необходимо бросать вертикально вниз. Пусть его бросают с минимальной скоростью \upsilon_0. Запишем  уравнения движения для обоих тел. Для первого тела

    \[x_1(t)=H-\frac{gt^2}{2}\]

и для второго тела

    \[x_2(t)=H-\upsilon_0\cdot \left(t-\frac{t_1}{2}\right)-\frac{g\cdot \left(t-\frac{t_1}{2}\right)}{2}}\]

Заметим, что второе уравнение справедливо только лишь для моментов времени t>\frac{t_1}{2}, так как до этого второе тело не двигалось.

Первое уравнение, если его записать для момента времени t_1, будет выглядеть так:

    \[x_1(t_1)=0=H-\frac{gt_1^2}{2}\]

откуда время падения первого тела

    \[t_1=\sqrt{\frac{2H}{9}}.\]

Если второй шарик бросают с минимальной скоростью, то он должен долететь до земли хотя бы одновременно с первым. Если его будут бросать с большей скоростью, то он перегонит первый и условие задачи выполнится. Для второго шарика, учитывая это условие, получим

    \[x_2(t_1)=0=H-\frac{\upsilon_0\cdot t_1}{2}-\frac{gt_1^2}{8}\]

Подставив t_1, получаем:

    \[\upsilon_0\sqrt{\frac{h}{2g}}=\frac{3}{4}H\]

и окончательно

    \[\upsilon_0=\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{H\cdot g}=15\]

Ответ: 15 м/с.

Задача 3. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время t=2 с после начала движения проходит путь в n=7 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту h, с которой падало тело g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в метрах, округлив до целых.

Решение.

Конечная скорость при падении с высоты h будет

    \[\upsilon=\sqrt{2gh}\]

Для первого участка

    \[S=\frac{gt^2}{2},\]

для последнего участка путь можно записать как

    \[nS=\upsilon t-\frac{gt^2}{2}.\]

Или

    \[n\cdot \frac{gt^2}{2}=\upsilon t-\frac{gt^2}{2}\]

Получим

    \[(n+1)\frac{gt^2}{2}=\upsilon t\]

Подставляем скорость и находим

    \[h=(n+1)^2\frac{gt^2}{8}=320\]

Ответ: 320 м.

Задача 4. За последнюю секунду падающее тело прошло путь в 2 раза больший, чем за предпоследнюю секунду. С какой скоростью тело ударилось о землю? g=10 м/c^{2}. Ответ дать в м/с.

Решение.

Средние скорости на последней u_2 и предпоследней u_1 секунде отличаются в два раза и на 10 м/с. Следовательно, они равны u_1=10 м/с и u_2=20 м/с. Но скорость u_2 равна скорости тела на середине последней секунды. До конца разгона остается ещё 0,5 с. За это время тело успеет разогнаться ещё на 5 м/с. Конечная скорость 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5. От основания гладкой наклонной плоскости снизу вверх скользит льдинка. Через t_1=1 с и t_2=2 с от начала движения она дважды побывала на расстоянии S=30 см от основания плоскости. Определите начальную скорость льдинки. Ответ дать в см/с. Округлить до целых.

Решение.

Начало координатной оси x поместим в основание наклонной плоскости и направим ось вверх вдоль нее. С учетом направлений векторов перемещения, ускорения и начальной скорости запишем уравнения для перемещения в проекциях на ось x для моментов t_1 и t_2. Получим:

    \[S=\upsilon_0 t_1-\frac{a\cdot t_1^2}{2}\]

и

    \[S=\upsilon_0 t_2-\frac{a\cdot t_2^2}{2}.\]

Решая эту систему относительно \upsilon_0, найдем

    \[\upsilon_0=S\cdot\frac{t_1+t_2}{ t_1\cdot t_2}=45\]

Ответ: 45 см/с

Задача 6. Торможение приближающегося к станции поезда началось на расстоянии L_0=200 м от нее. На каком расстоянии L от станции окажется поезд, идущий со скоростью \upsilon_0=30 м/с через t=7~ с после начала торможения с ускорением a=-5 м/c^2? Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Если предположить, что торможение длилось все 7 секунд, то проекция конечной скорости должна стать отрицательной

    \[\upsilon_x=\upsilon_0-at=-5\]

Поскольку  вряд ли поезд, остановившись, двинулся в обратную сторону, то движение длилось до остановки поезда, а оставшуюся часть времени поезд просто стоял на месте. Тормозной путь поезда при движении с начальной скоростью \upsilon_0 и ускорением a до полной остановки

    \[S=\frac{\upsilon_0^2}{2a}=90.\]

Окончательно, расстояние до станции

    \[L=L_0-S=L_0-\frac{\upsilon_0^2}{2a}=110.\]

Ответ: 110 м.

 

Задача 7. Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 99-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение. Воспользуемся законом “нечетных чисел”. Тогда за N-тую секунду тело проходит путь

    \[S_N=\frac{aN^2}{2}\tau^2-\frac{a(N-1)^2}{2}\tau^2=\frac{a(2N-1)\tau^2}{2}\]

где \tau=1~с — единичный интервал времени.

Тогда отношение путей за N-тую и K-тую секунды

    \[S_N~:~S_K=(2N-1):(2K-1).\]

Откуда получаем ответS_{99}:S_4=197:7\approx 28.

Ответ: 28.

Задача 8. С большой высоты вверх бросают тело с начальной скоростью \upsilon_0=10 м/с. Какой путь S пройдет тело за первые t_0=4~с движения? g=10 м/c^{2}.

Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Найдем время подъема тела t_1=\frac{\upsilon_0}{g}=1 с.

За время подъема тело успеет пройти

    \[S=\frac{\upsilon_0\cdot t_0}{2}=5\]

За оставшееся время оставшийся путь

    \[S=\frac{g\cdot (t_0-t_1)}{2}=45\]

Общий путь

    \[S=S_1-S_2=50.\]

Ответ: 50 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *