Столкновения в воздухе

Решение этих задач достаточно однотипно: понятно, что, раз тела повстречались в воздухе, значит они оказались в одном и том же месте, в одной точке. То есть координаты по обеим осям должны быть одинаковы. Далее решение строится на приравнивании этих координат и получении из уравнения требуемой величины.

Задача 1. С какой скоростью $\upsilon$ должен вылететь снаряд из пушки в момент старта ракеты, чтобы сбить ее? Ракета стартует вертикально с постоянным ускорением $a=4$ м/с $^2$ . Расстояние от пушки до места старта ракеты (они находятся на одном высотном уровне) 9 км. Пушка стреляет под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту.

Поскольку снаряд и ракета встретились, то, следовательно, оказались на одной высоте. Определим координату по оси ординат для снаряда и для ракеты и приравняем их.

$y_{rak}=\frac{at^2}{2}$

$y_{sn}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$

Приравниваем:

$\frac{at^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$

Разделим на $t$ и перепишем так:

$\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}t$

Осталось найти время и подставить его в полученное выражение. Это можно сделать, зная дальность полета снаряда:

$x_{sn}=\upsilon \cos{\alpha} t$

$t=\frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}$

Подставляем:

$\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}\cdot \frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}$

$\upsilon^2=\frac{ x_{sn}(g+a)}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}$

Теперь можно подставить числа:

$\upsilon=\sqrt{\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}}=\sqrt{\frac{ 9000(10+4)}{ 1}}=355$

Ответ: 355 м/с

Задача 2. Один мальчик бросил вверх мяч с начальной скоростью $\upsilon_1=5$ м/с. Одновременно с ним второй мальчик, стоящий на расстоянии $l=5$ м от первого, бросил камень со скоростью $\upsilon_2=2\upsilon_1$ , стараясь попасть в мяч. Под каким углом к горизонту $\alpha$ должен бросить камень второй мальчик? В какой момент времени $t$ произойдет столкновение?

Задача очень похожа на предыдущую, только найти надо угол.

Определим координату по оси ординат для мяча и для камня и приравняем их.

$y_{m}=\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}$

$y_{k}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$

Приравниваем:

$\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}$

$\upsilon_1t=\upsilon_2 \sin{\alpha} t$

Откуда

$\sin{\alpha}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{1}{2}$

Тогда $\alpha=30^{\circ}$ .

Осталось найти время столкновения.

$x_{k}=\upsilon \cos{\alpha} t$

$t=\frac{ x_{k}}{\upsilon \cos{\alpha}}=\frac{5\cdot2}{5\sqrt{3}}=1,16$

Ответ: $\alpha=30^{\circ}$ , $t=1,16$ с

Задача 3. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью $\upsilon_0=250$ м/с: первый под углом $\alpha_1=60^{\circ}$ к горизонту, второй – под углом $\alpha_2=45^{\circ}$ . Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.