Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Столкновения в воздухе

Решение этих задач достаточно однотипно: понятно, что, раз тела повстречались в воздухе, значит они оказались в одном и том же месте, в одной точке. То есть координаты по обеим осям должны быть одинаковы. Далее решение строится на приравнивании этих координат и получении из уравнения требуемой величины.

Задача 1. С какой скоростью \upsilon должен вылететь снаряд из пушки в момент старта ракеты, чтобы сбить ее? Ракета стартует вертикально с постоянным ускорением a=4 м/с^2. Расстояние от пушки до места старта ракеты (они находятся на одном высотном уровне) 9 км. Пушка стреляет под углом \alpha=45^{\circ} к горизонту.

Поскольку снаряд и ракета встретились, то, следовательно, оказались на одной высоте. Определим координату по оси ординат для снаряда и для ракеты и приравняем их.

    \[y_{rak}=\frac{at^2}{2}\]

    \[y_{sn}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Приравниваем:

    \[\frac{at^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Разделим на t и перепишем так:

    \[\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}t\]

Осталось найти время и подставить его в полученное выражение. Это можно сделать, зная дальность полета снаряда:

    \[x_{sn}=\upsilon \cos{\alpha} t\]

    \[t=\frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Подставляем:

    \[\upsilon =\frac{a+g}{2\sin{\alpha}}\cdot \frac{ x_{sn}}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

    \[\upsilon^2=\frac{ x_{sn}(g+a)}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}=\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}\]

Теперь можно подставить числа:

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{ x_{sn}(g+a)}{ \sin{2\alpha}}}=\sqrt{\frac{ 9000(10+4)}{ 1}}=355\]

Ответ: 355 м/с

 

Задача 2. Один мальчик бросил вверх мяч с начальной скоростью  \upsilon_1=5м/с. Одновременно с ним второй мальчик, стоящий на расстоянии l=5 м от первого, бросил камень со скоростью \upsilon_2=2\upsilon_1, стараясь попасть в мяч. Под каким углом к горизонту \alpha  должен бросить камень второй мальчик? В какой момент времени t произойдет столкновение?

Задача очень похожа на предыдущую, только найти надо угол.

Определим координату по оси ординат для мяча и для камня и приравняем их.

    \[y_{m}=\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}\]

    \[y_{k}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

Приравниваем:

    \[\upsilon_1t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon_2 \sin{\alpha} t-\frac{gt^2}{2}\]

    \[\upsilon_1t=\upsilon_2 \sin{\alpha} t\]

Откуда

    \[\sin{\alpha}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{1}{2}\]

Тогда \alpha=30^{\circ}.

Осталось найти время столкновения.

    \[x_{k}=\upsilon \cos{\alpha} t\]

    \[t=\frac{ x_{k}}{\upsilon \cos{\alpha}}=\frac{5\cdot2}{5\sqrt{3}}=1,16\]

Ответ: \alpha=30^{\circ}, t=1,16 с

 

Задача 3. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью \upsilon_0=250м/с: первый под углом \alpha_1=60^{\circ} к горизонту, второй –  под углом \alpha_2=45^{\circ}. Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Координаты снарядов по обеим осям должны совпадать. Найдем их. Координаты по оси x:

    \[\upsilon_0 \cos{\alpha_1} t_1=\upsilon_0 \cos{\alpha_2} t_2\]

    \[\cos{\alpha_1} t_1= \cos{\alpha_2} t_2\]

Координаты по оси y:

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha_1} t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\alpha_2} t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

    \[\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)=\frac{g(t_2^2-t_1^2)}{2}\]

    \[\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)=\frac{g(t_2-t_1)(t_2+t_1)}{2}\]

    \[t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} t_1-\sin{\alpha_2} t_2)}{g(t_1+t_2)}\]

Разделим правую часть на t_1, и числитель, и знаменатель:

    \[t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2}\frac{t_2}{t_1})}{g(1+\frac{t_2}{t_1})}\]

Отношение времен получим из \cos{\alpha_1} t_1= \cos{\alpha_2} t_2:

    \[\frac{t_2}{t_1}=\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}}\]

Подставим:

    \[t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1} -\sin{\alpha_2}\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}})}{g(1+\frac{\cos{\alpha_1}}{\cos{\alpha_2}})}\]

Домножим на \cos{\alpha_2} правую часть, и числитель, и знаменатель:

    \[t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha_1}\cos{\alpha_2} -\sin{\alpha_2}\cos{\alpha_1})}{g(\cos{\alpha_2}+\cos{\alpha_1})}\]

    \[t_2-t_1=\frac{2\upsilon_0 \sin(\alpha_1 -\alpha_2)}{g(\cos{\alpha_2}+\cos{\alpha_1})}\]

Подставляем численные данные:

    \[t_2-t_1=\frac{2\cdot 250\sin{15^{\circ}}}{10(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2})}=\frac{100\sin{15^{\circ}}}{(\sqrt{2}+1)}=10,74\]

Ответ: 10,74 с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *