Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Давление, Изопроцессы, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Столбики ртути и пузырьки воздуха в трубках

Сегодняшняя статья посвящена довольно сложным задачам. Их можно отнести и к изопроцессам, и к гидростатике, и к задачам, связанным с использованием уравнения Менделеева-Клапейрона.

Задача 1. Пробирка, расположенная горизонтально, заполнена ртутью так, что между дном пробирки и ртутью имеется пузырек воздуха. Когда пробирка ставится вертикально открытым концом вверх, объем пузырька уменьшается втрое. Чему равно атмосферное давление, если известно, что диаметр пробирки d=1 мм и содержит она m=16 г ртути?

К задаче 1

Давайте запишем закон Бойля-Мариотта, так как очевидно, что температура во время поворотов пробирки одна и та же.

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Можно сразу подставить объемы: если принять первоначальный объем пузырька воздуха за 3V, тогда после поворота объем станет V:

    \[p_1\cdot 3V=p_2\cdotV\]

Откуда

    \[p_1=\frac{p_2}{3}\]

Теперь подумаем о давлениях. Вначале давление пузырька на ртутный столбик равно атмосферному, иначе бы столбик ртути начал бы перемещаться из-за разности давлений на него внутри и снаружи. Затем, когда пробирку поставили вертикально, давление пузырька увеличилось на величину давления столбика ртути – \rho g h. Поэтому

    \[p_1=\frac{p_1+\rho g h }{3}\]

    \[\frac{2p_1}{3}=\frac{\rho g h }{3}\]

Домножаем на 3:

    \[2p_1=\rho g h\]

    \[p_1=\frac{\rho g h}{2}\]

Определим теперь, какова же длина столбика ртути в пробирке.

    \[m=\rho V=\rho\cdot Sh=\rho\cdot \frac{\pi d^2}{4}\cdot h\]

    \[h=\frac{4m}{\pi d^2 \rho}\]

    \[p_1=\frac{4\rho g m}{2\pi d^2 \rho }=\frac{2g m}{\pi d^2}=\frac{10\cdot 2\cdot0,016}{\pi \cdot 10^{-6}}=101859\]

Ответ: 101859 Па или 102 кПа.

 

Задача 2. Посередине запаянной с обоих концов горизонтальной трубки находится столбик ртути длиной 10 см. В обеих половинах трубки находится воздух под давлением p_0=760 мм.рт.ст. Длина трубки l=1 м. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку поставить вертикально?

К задаче 2

Ртуть занимает 10 см, следовательно, воздух – 90 см. По 45 см с обеих сторон. Тогда по закону Бойля-Мариотта

    \[p_0V_0=p_1V_1\]

И

    \[p_0V_0=p_2V_2\]

Преобразуем:

    \[p_1=\frac{ p_0V_0}{V_1}=\frac{p_0Sh_0}{Sh_1}=\frac{p_0h_0}{h_1}\]

    \[p_2=\frac{ p_0V_0}{V_2}=\frac{p_0Sh_0}{Sh_2}=\frac{p_0h_0}{h_2}\]

Где p_1 – давление в верхней части трубки над столбиком ртути после поворота, p_2 – давление в нижней части трубки под столбиком ртути после поворота, V_1 и V_2 – новые объемы, занимаемые воздушными пузырями.

Для новых установившихся давлений можно записать:

    \[p_2=p_1+\rho g h\]

Подставим ранее выраженные давления:

    \[\frac{p_0h_0}{h_2}=\frac{p_0h_0}{h_1}+\rho g h\]

    \[p_0h_0\left(\frac{1}{h_2}-\frac{1}{h_1}\right)= \rho g h\]

    \[p_0h_0\left(\frac{h_1-h_2}{h_1 h_2}\right)= \rho g h\]

Теперь вспомним, что h_1+h_2=l-h=0,9 м.

Тогда

    \[p_0h_0\left(\frac{ l-h -2h_2}{h_1(l-h- h_2)}\right)= \rho g h\]

После подстановки всех известных данных и преобразований получим

    \[10^5\cdot0,45(0,9-2h_2)=13600\cdot10\cdot0,1(0,9-h_2)h_2\]

    \[h_2^2-7,5h_2+3=0\]

Корни 0,42 и 7,075 – второй, очевидно, смыслу задачи не соответствует.

Итак, получили, что столбик ртути сместился на 3 см – так как воздух в нижней части трубки теперь занимает 42 см по высоте, а не 45.

Ответ: на 3 см.

Задача 3. В стеклянной трубке находится воздух, закрытый столбиком ртути длиной l_1=8 см. Если держать трубку открытым концом вверх, то длина воздушного столбика l_2=4 см. Если держать трубку открытым концом вниз, то длина воздушного столбика h=5 см. Определить атмосферное давление.

К задаче 3

Запишем уравнения равновесия давлений для обоих положений трубки:

    \[p_0+p_{Hg}=p_1\]

    \[p_2+ p_{Hg}=p_0\]

Давление столбика ртути посчитать несложно:

    \[p_{Hg}=\rho g h=13600\cdot10\cdot0,08= 10880\]

Согласно уравнению Бойля-Мариотта

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

То есть

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{h_2}{h_1}=1,25\]

Вычитание двух первых уравнений дает:

    \[p_0-p_2=p_1-p_0\]

    \[2p_0=p_1+p_2=1,25p_2+p_2=2,25p_2\]

    \[p_0=1,125p_2\]

Тогда, возвращаясь ко второму уравнению, имеем:

    \[p_2+ p_{Hg}=p_0\]

    \[\frac{p_0}{1,125}+ p_{Hg}=p_0\]

    \[p_{Hg}=\frac{p_0}{9}\]

    \[p_0=9 p_{Hg}=9\cdot10880=97920\]

Ответ: 97920 Па.

Задача 4. Открытую с обеих сторон узкую трубку погружают в ртуть так, что над ртутью выступает конец l_1=8 см. Трубку закрывают и поднимают еще на расстояние l_2=44 см. Какую часть трубки при этом занимает воздух? Атмосферное давление p_0=760 мм.рт.ст.

Сначала воздух занимал объем l_1S, затем – больший. Давление его вначале равно атмосферному. Затем из-за изменения объема оно станет меньше. Соблюдается закон Бойля-Мариотта:

    \[p_0V_0=pV\]

Условие равновесия давлений таково: вниз давит воздух и столбик ртути, снизу вверх – атмосфера:

    \[p+\rho g h=p_0\]

Подставляем давление p, выраженное из закона Бойля-Мариотта:

    \[\frac{ p_0V_0}{V}+\rho g h=p_0\]

    \[\frac{ p_0l_1}{h}+\rho g h=p_0\]

    \[p_0\left(1-\frac{l_1}{h}\right)= \rho g h_{Hg}\]

Высота столбика ртути в трубке равна h_{Hg}=l_1+l_2-h.

Подставим численные данные:

    \[10^5h-10^5\cdot0,08=13600h(0,52-h)\]

    \[136h^2+29,3h-8=0\]

Корнем этого уравнения является h=0,157. Воздух займет, таким образом, 15,7 см. Или 30,2%.

Ответ: 30,2% (15,7 см).

Задача 5. В мензурке высотой h=0,4 м и сечением S=12 см^2, закрытой тонким невесомым поршнем, находится газ, молярная масса которого M=0,029 кг/моль. Поршень опускают и освободившуюся часть мензурки до краев заливают ртутью. При каких значениях температуры газа можно найти такое положение поршня, при котором поршень будет находиться в равновесии (т.е. ртуть, налитая в мензурку, не будет выбрасываться давлением газа)? Масса газа в мензурке m_1=0,07 г, внешним атмосферным давлением пренебречь.

Чтобы ртуть не выплеснулась, давление газа должно быть меньшим или равным давлению ее столба. Пусть газ занял объем Sh_1, а ртуть – Sh_2:

    \[p \leqslant \rho g h_2\]

Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

    \[pV= \frac{m}{M}RT\]

Подставим:

    \[\rho g h_2V= \frac{m_1}{M}RT\]

    \[\rho g h_2Sh_1\geqslant \frac{m_1}{M}RT\]

Таким образом,

    \[T\leqslant \frac{\rho g h_2Sh_1 M}{ m_1R }\]

Но! У нас в правой части произведение двух взаимозависимых, но неизвестных нам величин: h_2h_1. Чтобы их найти (или их произведение), предположим, что поршень сдвинулся вверх на малую величину \Delta h. Тогда можно для такого малого изменения записать:

    \[pV_1=p_2(V_1+\Delta V)\]

    \[p h_1=p_2(h_1+\Delta h)\]

Здесь

    \[p=\rho g h_2\]

А

    \[p_2=\rho g (h_2-\Delta h)\]

Следовательно,

    \[\rho g h_2h_1=\rho g (h_2-\Delta h)( h_1+\Delta h)\]

    \[h_2h_1=(h_2-\Delta h)( h_1+\Delta h)\]

    \[h_2h_1=h_2h_1-\Delta h h_1+\Delta hh_2-\Delta h^2\]

Последним слагаемым можно пренебречь  в силу его малости. Поэтому

    \[\Delta h h_1=\Delta hh_2\]

    \[h_1=h_2=\frac{h}{2}\]

Вернемся к температуре:

    \[T\leqslant \frac{\rho g h^2S M}{4 m_1R }=\frac{13600\cdot10\cdot0,4^2\cdot12\cdot10^{-4}\cdot0,029}{4 \cdot 7\cdot10^{-5}\cdot8,31}=319\]

Ответ: T\leqslant 319 К.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *