Задача 1. В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми
и
.

Призма и секущая плоскость
Так как прямые и
не принадлежат одной плоскости, то найдем прямую, которая бы лежала в одной плоскости с прямой
. Такой прямой может послужить
, так как она параллельна
. То есть ищем косинус угла между прямыми
и
– угла
. Обе упомянутые прямые принадлежат плоскости
. Если повернуть картинку, то видна становится форма сечения и нужный угол:

Вид спереди
Найдем косинус угла по теореме косинусов из треугольника
. Длина
, длина
, так как боковые грани призмы – квадраты со стороной 1. Тогда:
Ответ:
Задача 2. В единичном кубе найдите тангенс угла между прямой
и плоскостью
.

Чертеж к задаче
Так как параллельна
, то будем искать угол
, где Н – середина
.

Дополнительное построение
Треугольник – прямоугольный. Длина отрезка
равна половине диагонали грани куба, длина диагонали квадратной грани со стороной 1 –
,
. Искомый угол –
.
Ответ: .
Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой
и плоскостью
.

Чертеж к задаче
Проведем прямую , параллельную
, через центр основания пирамиды. Так как грань пирамиды – правильный треугольник, то угол между высотой грани, или апофемой
, и прямой
как раз и будет искомым. Треугольник
– прямоугольный,
.

Дополнительные построения
– высота правильного треугольника, она равна
, где
– длина стороны правильного треугольника, у нас 1. Но если формулу эту вы не помните – то можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника
. Искомый косинус:
Ответ:
Задача 4. В правильной шестиугольной пирамиде , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания 1, найдите косинус угла между прямой
и плоскостью
.

Правильная шестиугольная пирамида
Угол, который нам нужен, это, по сути, двугранный угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью грани . Заменим его линейным углом между апофемой грани
и прямой
, принадлежащей основанию и параллельной
. Отрезок
– высота пирамиды. Нужный нам угол будем искать в прямоугольном треугольнике
.

Плоскость и ее проекция
Можем записать:
Так как проекция грани на основание, треугольник
– правильный, то
– его высота – равна
, как высота правильного треугольника со стороной 1.
найдем по теореме Пифагора для треугольника
:
Тогда
Ответ:
Задача 5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми
и
.

Чертеж к задаче
Перенесем параллельно самой себе так, чтобы отрезок такой же длины и с таким же наклоном проходил через точку
. Также потребуется продлить
до пересечения с нашей перенесенной прямой. Пересекутся два данных отрезка в точке К, лежащей в плоскости основания призмы. Для наглядности я залила зеленым цветом плоскость получившегося треугольника
.

Вид спереди
Искомый угол – – хорошо виден на следующем рисунке в желтом треугольнике.

Решение
Найти данный угол предлагаю по теореме косинусов, а для этого потребуется знать все стороны треугольника . Поэтому потребуется сначала решить треугольник
. Рассмотрим все с другой точки зрения:

Вид сверху
В треугольнике найдем
. Угол при его вершине равен
, длина
, тогда по теореме косинусов:
Теперь в зеленом треугольнике найдем
:
Длина стороны , так как это диагональ квадрата со стороной 1.
Составляем теорему косинусов для желтого треугольника :
– можно даже не решать дальше, понятно, что равенство будет выполняться лишь при
, или
Ответ:
Задача 6. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольнгой пирамиды равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
А) Постройте прямую пересечения плоскости и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Построить обе плоскости совсем несложно, обе они и линия их пересечения изображены на рисунке.

Правильная четырехугольная пирамида – чертеж к задаче
Чтобы найти площадь сечения, нужно определить основание треугольника и высоту пирамиды (и сечения)
.
Найдем площадь основания, для этого вычтем из общей площади поверхности площадь боковой:
.
Так как пирамида правильная и в ее основании – квадрат, то сторона этого квадрата равна 6 – это сторона основания пирамиды. Тогда диагональ квадрата равна – это длина
.
Разделим площадь боковой поверхности на 4 грани: площадь одной грани равна 27. Высота грани тогда (апофема):
Длина отрезка равна половине длины ребра основания, то есть 3. Тогда
.
Находим, наконец, площадь сечения:
.
Ответ: 36.
Задача 7. Дана правильная четырехугольная пирамида , ребра основания которой равны
. Точка L – середина ребра МВ. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен
.
a) Пусть О – центр основания пирамиды, докажите, что прямые АО и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида – чертеж
а) Так как пирамида правильная, то плоскость перпендикулярна плоскости основания, а прямая
принадлежит плоскости
, следовательно, она перпендикулярна прямой
, принадлежащей плоскости основания.
б) Так как – средняя линия треугольника
, то она параллельна
. Поэтому данный нам тангенс – это и тангенс угла
.
. Поскольку
, то
вдвое больше:
, а
, откуда высота пирамиды
.
Ответ: 5
Все верно, Антон. Ошибок...
2 задача- во втором случае чашка a не весит НИЧЕГО!...
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...