Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: три способа решения

Задача, предложенная в статье, решена несколькими способами. На экзамене надо выбирать тот, который вам кажется наиболее простым, но владеть нужно уметь всеми.

Задача. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью \alpha, содержащей прямую BD_1 и параллельной прямой AC, является ромб.

Докажите, что грань ABCD – квадрат.

Найдите угол между плоскостями \alpha и BCC_1, если AA_1=6, AB=4.

Рисунок 1

Решение. Для начала построим сечение. Так как оно содержит прямую BD_1, проведем эту прямую. Поскольку плоскость параллельна прямой AC, следовательно, она будет содержать прямую, параллельную AC.

Рисунок 2

Да еще такая параллельная должна пересекать прямую BD_1. Тогда, если мысленно провести такие прямые, можно убедиться, что пересечение ее с BD_1 будет обязательно лежать на середине BD_1. А следовательно, она будет средней линией трапеции AA_1C_1C. Таким образом, разделим ребра AA_1 и CC_1 пополам и проведем нужную прямую.

Рисунок 3

Середины ребер AA_1 и CC_1  –  точки T и U – будут вершинами ромба сечения. Построим само сечение:

Рисунок 5

Докажем пункт а). Поскольку BUD_1T – ромб, его диагонали перпендикулярны. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах BD \perp AC, т.к. AC \parallel UT. Тогда ABCD – прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, а следовательно – квадрат.

Пункт б). Определим искомый угол тремя способами: классическим (через любую тригонометрическую функцию), через площадь сечения и ее проекцию, и координатным.

Начнем со второго, он представляется наиболее очевидным и простым. Построим проекцию сечения на плоскость BCC_1BUC_1X.

Рисунок 6

Определяем площадь проекции:

    \[S_{pr}=UC_1 \cdot BC=3\cdot4=12\]

Определяем площадь ромба сечения по диагоналям:

    \[S=\frac{1}{2}\cdot BD_1\cdot TU\]

Диагональ TU=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}, диагональ BD_1:

    \[BD_1=\sqrt{AB^2+BC^2+AA_1^2}=\sqrt{4^2+4^2+6^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\]

    \[S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot 4\sqrt{2}=4\sqrt{34}\]

Тогда косинус искомого угла равен

    \[\cos{\alpha}=\frac{S_{pr}}{S}=\frac{12}{4\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}\]

Теперь определим этот же угол, но иначе. Линия пересечения плоскостей – BU. Чтобы найти интересующий нас угол, нужно провести к ней перпендикуляры в плоскостях BCC_1 и BUD_1.  В плоскости сечения это может быть  высота ромба. Определим ее: разделим площадь сечения на основание параллелограмма.

Рисунок 7

    \[BU=\sqrt{BC^2+CU^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\]

    \[ZU=\frac{S}{BU}=\frac{4\sqrt{34}}{5}\]

В плоскости BCC_1 такой прямой может быть UN – высота параллелограмма BUC_1X.

    \[UN=\frac{S_{pr}}{BU}=\frac{12}{5}\]

Тогда косинус искомого угла наклона равен:

    \[\cos{\alpha}=\frac{UN}{ZU}=\frac{12\cdot5}{5\cdot4\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}\]

Наконец, найдем данный угол с помощью координатного метода.

Введем систему координат и определим уравнение плоскости сечения. Совместим начало координат с точкой A_1. Направим ось x вдоль ребра A_1D_1, ось y – вдоль ребра A_1B_1, ось z – вдоль A_1A.

Рисунок 8

Тогда координаты точек плоскости:

    \[T(0; 0; 3), D_1(4; 0; 0), B(0; 4; 6)\]

Составляем систему уравнений для отыскания коэффициентов уравнения плоскости, плоскость не проходит через начало координат, d=1:

    \[\begin{Bmatrix} {3c+1=0}\\{4a+1=0}\\{4b+6c+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix} {c=-\frac{1}{3}}\\{a=-\frac{1}{4}}\\{4b+6\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+1=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix} {c=-\frac{1}{3}}\\{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{4}}\end{matrix}\]

То есть уравнение плоскости -\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y-\frac{1}{3}z+1=0, или

    \[-3x+3y-4z+12=0\]

Тогда нормаль к плоскости имеет координаты: \vec{n}(-3; 3; -4). Нормаль к плоскости BCC_1 \vec{n_1} (0; -1; 0).

Находим косинус угла наклона плоскости:

    \[\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n_1}}{\mid \vec{n_1}\mid\cdot \mid\vec{n}\mid}\]

    \[\cos{\alpha}=\frac{\mid -3\cdot0+3\cdot(-1)-4\cdot0 \mid}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{3^2+3^2+4^2}}=\frac{3}{\sqrt{34}}\]

Ответ: б) \cos{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{34}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *