Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: три способа решения

Задача, предложенная в статье, решена несколькими способами. На экзамене надо выбирать тот, который вам кажется наиболее простым, но владеть нужно уметь всеми.

Задача. Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой , является ромб.

Докажите, что грань – квадрат.

Найдите угол между плоскостями и , если , .

Рисунок 1

Решение. Для начала построим сечение. Так как оно содержит прямую , проведем эту прямую. Поскольку плоскость параллельна прямой , следовательно, она будет содержать прямую, параллельную .

Рисунок 2

Да еще такая параллельная должна пересекать прямую . Тогда, если мысленно провести такие прямые, можно убедиться, что пересечение ее с будет обязательно лежать на середине . А следовательно, она будет средней линией трапеции . Таким образом, разделим ребра и пополам и проведем нужную прямую.

Рисунок 3

Середины ребер и   –  точки и – будут вершинами ромба сечения. Построим само сечение:

Рисунок 5

Докажем пункт а). Поскольку – ромб, его диагонали перпендикулярны. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах , т.к. . Тогда – прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, а следовательно – квадрат.

Пункт б). Определим искомый угол тремя способами: классическим (через любую тригонометрическую функцию), через площадь сечения и ее проекцию, и координатным.

Начнем со второго, он представляется наиболее очевидным и простым. Построим проекцию сечения на плоскость .

Рисунок 6

Определяем площадь проекции:

   

Определяем площадь ромба сечения по диагоналям:

   

Диагональ , диагональ :

   

   

Тогда косинус искомого угла равен

   

Теперь определим этот же угол, но иначе. Линия пересечения плоскостей – . Чтобы найти интересующий нас угол, нужно провести к ней перпендикуляры в плоскостях и .  В плоскости сечения это может быть  высота ромба. Определим ее: разделим площадь сечения на основание параллелограмма.

Рисунок 7

   

   

В плоскости такой прямой может быть – высота параллелограмма .

   

Тогда косинус искомого угла наклона равен:

   

Наконец, найдем данный угол с помощью координатного метода.

Введем систему координат и определим уравнение плоскости сечения. Совместим начало координат с точкой . Направим ось вдоль ребра , ось – вдоль ребра , ось – вдоль .

Рисунок 8

Тогда координаты точек плоскости:

   

Составляем систему уравнений для отыскания коэффициентов уравнения плоскости, плоскость не проходит через начало координат, :

   

   

   

То есть уравнение плоскости , или

   

Тогда нормаль к плоскости имеет координаты: . Нормаль к плоскости .

Находим косинус угла наклона плоскости:

   

   

Ответ: б)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *