Стереометрия: сферы в различных задачах

Часть задач я взяла из книги Сергеева и Панферова “Задания части 2”, одна же из задач – из сертификационного экзамена для репетиторов. Все задачи объединены одной темой: везде присутствует сфера или шар.

Задача 1. В правильной пирамиде  с высотой 4 сторона основания  равна 6. Точки М и N –  середины ребер и . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду .

Радиус вписанной сферы можно определить по формуле:

   

Определим объем  пирамиды . Для этого понадобится площадь ее основания.

   

Высота пирамиды может быть опущена из точки – . Из подобия треугольников и следует, что

   

   

Объем пирамиды равен:

   

Теперь определим площадь поверхности пирамиды. Нам понадобится площадь боковой грани пирамиды . Найдем ее апофему:

   

Площадь боковой грани равна

   

Так как – средняя линия треугольника , то треугольники и подобны с коэффициентом . Поэтому площадь треугольника в 4 раза меньше площади .

   

Так как – медиана треугольника, то делит она его на два равновеликих треугольника. Тогда  .

Осталось нам определить площадь треугольника . Определим для этого его стороны.

   

   

   

Найдем через площадь треугольника .

   

Откуда

   

   

Тогда косинус равен

   

Тогда по теореме косинусов

   

   

Применим теорему косинусов уже к треугольнику .

   

   

Тогда по основному тригонометрическому тождеству

   

Площадь треугольника :

   

Площадь полной поверхности пирамиды равна:

   

Радиус вписанной сферы равен:

   

Ответ: .
Задача 2. Какими должны быть радиусы четырех одинаковых шаров, чтобы их можно было разместить внутри данной сферы радиуса и при этом каждый шар касался сферы и трех других шаров?
Шары надо расположить так: уложить на плоскость три шарика, а сверху на них положить четвертый, тогда мы выполним условие задачи.

Центры шариков образуют правильный  тетраэдр с длиной ребра .

Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром выражается формулой:

   

Но искомый радиус сферы больше на радиус шарика , поэтому:

   

   

Ответ: .

Задача 3. Два шара радиуса касаются друг друга и боковой поверхности конуса, а также его основания  – в точках, симметричных относительно центра. Найдите объем конуса, если его высота в 4/3 раза больше радиуса основания.

Объем конуса равен , а с учетом данных задачи,

   

Отношение .

Тогда

   

   

Получили квадратное уравнение:

   

   

Или

   

Так как угол острый, то второе значение тангенса неактуально. Радиус основания конуса ,

   

Откуда , .

Тогда

   

Ответ: .

Задача 4.  Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен . Чему равен объем второй пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания – в точках касания шара с боковыми гранями этой пирамиды, если двугранный угол, образованный соседними боковыми гранями второй пирамиды, равен ? Ответ округлите до целых.

Изобразим всю конструкцию:

 

Теперь перевернем маленькую пирамиду на основание.

Проведем перпендикуляры из вершин и к ребру . Угол – линейный угол двугранного угла, который равен . Обозначим длину стороны основания , а боковые ребра – это радиусы шара.  Диагональ основания пирамиды равна . Запишем теорему косинусов для диагонали основания из треугольника .

   

Если обозначить , а апофему пирамиды – , то

   

Площадь треугольника можно определить двумя способами: через и основание , и через и основание :

   

   

   

Тогда:

   

Тогда

   

Подставим в ранее составленную теорему косинусов:

   

   

Сократим на , домножим на , изменим знак перед косинусом с учетом того, что угол тупой и знак косинуса – отрицательный. Далее под будем иметь в виду модуль косинуса этого угла.

   

Определим длину из равнобедренного треугольника , в котором она является высотой и медианой:

   

Снова подставим:

   

Раскрываем скобки:

   

Откуда

   

Это ни что иное, как площадь основания.

Зная длину ребра основания, найдем высоту пирамиды:

   

   

   

   

   

Определяем объем пирамиды:

   

Ответ: с округлением .

Задача 5.  Три параллельные прямые касаются в точках А, В и С сферы с центром О и радиусом 4. Найдите , если площадь треугольника равна 4, а площадь треугольника больше 16.

Три прямые, если они параллельны, должны касаться сферы в точках, принадлежащих одной окружности, а именно – окружности, ограничивающей осевое сечение сферы. Тогда задача имеет два решения в зависимости от расположения точек и . При первом расположении

   

   

То есть , или, что более вероятно (из условия о площади), .

Тогда угол, дополняющий данный до , равен , а угол , как вписанный, равен .

Но в задаче есть еще одно условие, о том, что площадь треугольника больше 16. По нашей картинке так не получается. Это наводит на мысль об ином расположении точек и .

Нарисуем по-другому. В этом случае  условие о площади соблюдено, а угол тогда равен .

Ответ: .