Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 14 (С2)

Стереометрия. Решение задачи 14.

 

В статье представлены задачи, решенные “классическим” способом: поэтапно-расчетным. Многие задачи таким способом решаются проще, чем если бы мы захотели вводить систему координат. Каждый раз нужно выбирать, что применить проще и выгоднее по времени.

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен .

а) Пусть O – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Дано

Решение.

а) Прямая LO принадлежит плоскости ASC, перпендикулярной плоскости основания. Проекцией прямой LO на плоскость основания является прямая AC. Так как пирамида правильная и в основании ее лежит квадрат, то его диагонали перпендикулярны, и таким образом проекция LO перпендикулярна BO. По теореме о трех перпендикулярах прямая перпендикулярна прямой плоскости, если ее проекция перпендикулярна прямой плоскости. То есть , ч.т.д.

 

Пункт а) задачи

 

 

Треугольник BLO, вид сбоку

б) Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Второе найти совсем легко: площадь квадрата равна , а вот чтобы найти площадь боковой поверхности, понадобится знать апофему пирамиды. Что можно «выловить» из знания тангенса угла между прямыми BL и SA? И кстати, пока мы вообще этот угол не видим, попробуем его визуализировать. Так как точка L – середина SC, а точка O – середина AC, то LO – средняя линия треугольника SCA, и параллельна SA, поэтому угол между BL и SA – это угол между BL и LO, а это уже видимый угол, угол в треугольнике BLO, который, кстати, является прямоугольным (по пункту а). Тогда имеем в этом треугольнике отношение катетов:

   

BO – половина диагонали квадрата, диагональ равна , .

Тогда длина LO

   

 

LK – перпендикуляр к основанию

LK – средняя линия треугольника SCO.

Из точки L проведем перпендикуляр к плоскости основания пирамиды.

Так как LK – средняя линия треугольника SCO, то точка K – середина OC.

Тогда

   

По теореме Пифагора для треугольника OLK

   

Но, так как KL – средняя линия треугольника SCO и равна половине основания, а основание SO – ни что иное, как высота пирамиды, то .

Теперь, сделав дополнительные построения – а именно, нам понадобится точка на середине стороны основания P – мы сможем найти апофему пирамиды.

 

Дополнительные построения и апофема пирамиды

В прямоугольном треугольнике SOP нам известны катеты. Апофема пирамиды – его гипотенуза. Она равна:

   

Боковая поверхность пирамиды равна:

   

Добавим к боковой поверхности площадь основания:

   

Ответ: 192

 

Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=10, AC=16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P – середина ребра .

а) Найдите тангенс угла между плоскостями и .

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости PAC.

Дано

а) Тангенс угла между плоскостями и будет равен тангенсу угла между плоскостями и , так как плоскости оснований призмы параллельны. Второй найти проще, так и сделаем. Искомый тангенс будет равен (см.рисунок)

Плоскости и угол между ними

   

Где T – середина ребра AC. . Определим BT. Из треугольника TBC

   

   

Искомое расстояние – высота треугольника PBT

б) Расстояние от точки B до плоскости PAC() – это длина перпендикуляра, то есть высоты в треугольнике PBT, проведенной к его гипотенузе PT.

Зная катеты этого треугольника, очень легко определить длину гипотенузы. Кроме того, мы можем записать его площадь через произведение катетов, а также и через произведение гипотенузы на высоту к ней – отсюда и найдем высоту треугольника PBT – то есть искомое расстояние  от точки до плоскости.

   

   

   

   

   

Ответ:

 

Задача 3. Дан куб .

а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

б) Найдите угол между плоскостями и .

Дано

а) Проекция прямой на плоскость верхнего основания куба – прямая BD – перпендикулярна прямой AC, принадлежащей плоскости (так как диагонали квадрата, коим является основание, перпендикулярны). Следовательно, прямая перпендикулярна прямой AC. Проекция прямой на плоскость – прямая – перпендикулярна прямой , принадлежащей плоскости (так как передняя грань – также квадрат). Следовательно, прямая перпендикулярна прямой .Таким образом, прямая перпендикулярна двум прямым плоскости , а следовательно, перпендикулярна и самой плоскости .

Пункт а) задачи

б) Угол между плоскостями –  это всегда острый угол. В данном случае, как видно из рисунка, найти его будет очень трудно, поэтому найдем тупой угол между плоскостями и -а потом найдем и смежный с ним острый.

Вид снизу: пересекающиеся плоскости и треугольник ACZ

Найти угол AZC можно по теореме косинусов.

Определим для этого длины сторон треугольника AZC – это несложно, так как это равнобедренный треугольник, основание которого – диагональ грани куба, а значит, равно , а боковые стороны – это высоты, проведенные к гипотенузе в прямоугольных треугольниках и . Найти последнюю несложно. Площадь треугольника равна

   

   

   

Здесь – ребро куба, – диагональ грани, – это диагональ куба.

   

Тогда можем определить косинус угла из теоремы косинусов для этого треугольника:

   

   

Подставим числа:

   

   

У тупого угла косинус и должен быть отрицательным. У смежного с ним, острого, искомого, угла косинус положителен и равен – следовательно, угол равен . Данная задача решена также координатно-векторным способом и вы можете сравнить, какое из решений проще.

Ответ: .

 

Задача 4. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины ребер , , . Точка К – середина ребра , а точка L делит ребро  в отношении 4:1, считая от вершины .

а) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро , считая от вершины .

б) Найдите косинус угла между плоскостями и .

Начинаем строить секущую плоскость

Построение сечения

а) Построим сначала секущую плоскость. Для этого лучше всего начать построение с точек, лежащих в одной плоскости: их мы можем соединять. Например, точки и обе принадлежат сечению, и, кроме того, лежат в плоскости нижнего основания. Проведем через них прямую. Эта прямая  принадлежит нижнему основанию и обязательно пересечется с другими прямыми, лежащими в нижнем основании призмы, если они ей не параллельны. Такой прямой является, например, прямая . Для чего нам может понадобиться точка пересечения этих прямых ? Очень просто: эта точка принадлежит сечению, но также она принадлежит и плоскости задней грани. А в этой грани у нас имеется точка , которая также принадлежит сечению! Теперь у нас снова есть две точки в одной плоскости – плоскости задней грани, и мы их соединяем.

Прямая пересечет ребро призмы в точке . Точку можно соединить отрезком с точкой , так как обе они принадлежат одной плоскости – плоскости правой боковой грани. Точку , принадлежащую левой боковой грани, можем соединять с точкой , которая также ей принадлежит. И готово наше сечение – это трапеция, поскольку боковые грани параллельны, то плоскость сечет их по параллельным прямым: .

Готовое сечение

Теперь можно попробовать ответить на первый вопрос задачи, так как теперь у нас есть точка . Для этого найдем отрезки и . Отношение их длин 4:1, то есть можно записать: , . Их сумма – длина ребра :

   

   

   

Подобные треугольники в противоположных гранях

Тогда определяем: , . Но ребро тоже равно 12, следовательно, треугольник – прямоугольный и равнобедренный. Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия – так как и точка по условию – середина . Тогда он тоже равнобедренный и . Если , то и .

Поиск косинуса угла между плоскостями

б) Чтобы найти косинус угла между плоскостями, нужно в обеих плоскостях провести перпендикуляры к линии пересечения плоскостей: по построению, по теореме о трех перпендикулярах.

Нам необходимо найти косинус угла ,

   

Найдем – это можно сделать из подобия треугольников и , а можно через площадь треугольника , так и сделаем. Тогда

   

   

   

   

Последнее следует из подобия треугольников и :

   

найдем по теореме Пифагора:

   

   

Тогда определяем:

   

В треугольнике можем теперь определить :

   

   

Наконец, искомый косинус:

   

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *