Стереометрия: расстояние от точки до плоскости и другие задачи

[latexpage]

В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.

Задача 1. В основании прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ с боковым ребром $AA_1=\sqrt{2}$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC = 4$ и $BC = 16$. Точка $Q$ -середина ребра $A_1B_1$, а точка $P$ делит ребро $B_1C_1$ в отношении 1 : 2 , считая от вершины $C_1$. Плоскость $APQ$ пересекает ребро $CC_1$ в  точке $M$ .

a) Докажите, что точка $M$ -середина ребра $CC_1$;

б) Найдите расстояние от точки $A1$ до плоскости $APQ$ .

Рисунок 1 к задаче 1

Строим плоскость $APQ$. Найдем точку пересечения прямых $PQ$ и $A_1C_1$ – точку $D$. Эта точка принадлежит плоскости грани $ACC_1$, поэтому можно провести прямую $AD$. Прямая $AD$ пересечет ребро $CC_1$ в точке $M$.

Рисунок 2 к задаче 1

Соединяем точки $P, Q, A, M$ и штрихуем сечение.

Рисунок 3 к задаче 1

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с вершиной прямого угла треугольника, лежащего в основании призмы.  Направим ось $X$ вдоль ребра $CA$, ось $Y$ – вдоль ребра $СB$, а ось $Z$ – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Рисунок 4 к задаче 1

Длина отрезка $C_1P=\frac{16}{3}$, поэтому $P (0; 0; \frac{16}{3})$. Поскольку точка $Q$ – середина отрезка $A_1B_1$, то ее координаты $Q (2; 8; 4\sqrt{2})$. Координаты точки $A (4; 0;0)$.

Определим уравнение плоскости. Коэффициент $d \neq 0$, так как плоскость не проходит через начало координат.

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{16}{3}b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{2a+8b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{ 4a+1=0}\end{matrix}$$

Вычтем из первого второе уравнение:

$$\begin{Bmatrix}{ \frac{16}{3}b-2a-8b=0}\\{2a+8b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{ a=-\frac{1}{4}}\end{matrix}$$

Тогда из первого уравнения:

$$-\frac{8}{3}b+\frac{1}{2}=0$$

$$b=\frac{3}{16}$$

$$c=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Уравнение плоскости:

$$-\frac{1}{4}x+\frac{3}{16}y-\frac{1}{2\sqrt{2}}z+1=0$$

Точка $M$ принадлежит плоскости, поэтому ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Координаты этой точки по двум осям известны, так как она принадлежит ребру $CC_1$: $M (0; 0; z_M)$

Тогда при подстановке в уравнение плоскости получим:

$$-\frac{1}{4}\cdot0+\frac{3}{16}\cdot0-\frac{1}{2\sqrt{2}}z_M+1=0$$

$$z_M=2\sqrt{2}$$

Таким образом, доказано, что точка $M$ – середина ребра $CC_1$.

Теперь определим расстояние от точки $A_1$ до плоскости.  Координаты точки $A_1$: $A_1 (4; 0; 4\sqrt{2})$. Расстояние определим по формуле

$$l=\frac{\mid ax_{A_1}+by_{A_1}+cz_{A_1} \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\mid -4\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{16}\cdot 0-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 4\sqrt{2} \mid}{\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{16}\right)^2+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}}=$$

$$=\frac{-1-2+1}{\frac{\sqrt{57}}{16}}=\frac{32}{\sqrt{57}}$$

Ответ: $l=\frac{32}{\sqrt{57}}$.
Задача 2. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 3. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 1$. Точки $M$ и $L$ -середины ребер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскоcти $\gamma$.

б) Найдите расстояние  от точки $C$ до плоскости $\gamma$ .

Рисунок 1 к задаче 2

Построим плоскость $\gamma$. Так как она параллельна $AC$, то и прямые этой плоскости параллельны $AC$, поэтому, зная точки, принадлежащие плоскости, построим прямые, проходящие через эти точки и одновременно параллельные $AC$ – $KN$ и $PL$.

Рисунок 2 к задаче 2

Теперь соединяем точки сечения отрезками и штрихуем его:

Рисунок 3 к задаче 2

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с точкой $M$.  Направим ось $X$ вдоль ребра $A_1C_1$, ось $Y$ – вдоль высоты основания $MB_1$, а ось $Z$ – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Для этого понадобится знание высот ы основания – длины отрезка $MB_1$:

$$MB_1=AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

Рисунок 4 к задаче 2

Тогда $M (0; 0; 0), L(1,5; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0), K(-2; \frac{\sqrt{3}}{2}; 3), P(-1,5; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0)$
Определяем коэффициенты уравнения плоскости:

$$\begin{Bmatrix}{ 1,5 a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+1=0}\\{-2a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+3c+1=0}\\{ -1,5a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+1=0}\end{matrix}$$

Вычитание третьего уравнения из первого дает $a=0$, следовательно, $b=-\frac{2}{3\sqrt{3}}$, $c=-\frac{2}{9}$.

Уравнение плоскости

$$-\frac{2}{3\sqrt{3}}y-\frac{2}{9}z+1=0$$

Координаты нормали $\vec{n} (0; -\frac{2}{3\sqrt{3}}; -\frac{2}{9})$

Найдем координаты направляющего вектора прямой $MB$. Координаты точки $B (0; 3\sqrt{3}; 3)$ – они и будут координатами направляющего вектора прямой.

Так как соответствующие координаты вектора нормали и координаты вектора $BM$ относятся друг к другу с постоянным коэффициентом:

$$\frac{y_n}{y_{BM}}=\frac{z_n}{z_{BM}}=-\frac{2}{27}$$

То указанные вектора коллинеарны, а следовательно, вектор $\vec{BM}$ перпендикулярен плоскости.

Определим расстояние от  точки $C$ до плоскости.

Координаты точки $C$: $C(3; 0; 3)$.

$$l=\frac{\mid n_x\cdotC_x+n_y\cdotC_y+n_z\cdot C_z+d \mid}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}=\frac{\mid 0\cdot3 -\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot0-\frac{2}{9}\cdot 3 +1\mid}{\sqrt{\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{12+4}}=\frac{3}{4}$$

Ответ: $l=\frac{3}{4}$.

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{5}$, а высота $SH$ пирамиды равна $\sqrt{3}$. Точки $M$ и $N$ – середины ребер $CD$ и $АB$ соответственно, $NT$ -высота пирамиды с вершиной $N$ и основанием $SCD$.

a) докажите, что точка Т -середина отрезка $SM$;

б) Найдите расстояние между прямыми $NT$ и $SC$.

Рисунок 1 к задаче 3

Рисунок 2 к задаче 3

Определим апофему пирамиды.

$$AH^2= AS^2-SH^2=5-3=2$$

$$AC=2AH=2\sqrt{2}$$

$$AB =2$$

$$SN^2=AS^2-AN^2$$

$$SN=\sqrt{5-1}=2$$

Тогда треугольник $NSM$ – равносторонний со стороной, равной 2. Следовательно, высота пирамиды с вершиной $N$ и основанием $SCD$ – отрезок $NT$ – его высота, медиана и биссектриса. Пункт а) доказан.

Рисунок 3 к задаче 3

Рассмотрим треугольник $DSC$. Длина отрезка $TK$ – искомое расстояние.
Для подобных треугольников  $SCM$ и $STK$ запишем отношение сходственных сторон:

$$\frac{ST}{SC}=\frac{TK}{MC}$$

$$TK=\frac{ST\cdotMC}{SC}=\frac{1\cdot1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Ответ: $TK=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Задача 4. На ребре $BC = 4$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$  взята середина $M$, а на ребре $A_1D_1$ – такая точка $N$ ‚ что $A_1N= 1$. Найдите длину кратчайшего пути из точки $M$ в точку $N$ по поверхности куба.

Чтобы найти кратчайший путь из пункта А в пункт В – нужно срезать. То есть в идеале – пройти по гипотенузе. Нарисовать кратчайший путь нам мешает ребро куба – сгиб. Так давайте разогнем – развернем поверхность куба!

Рисунок 1 к задаче 4

В треугольнике $MNK$ катеты $MK=8$, а $NK=1$, поэтому искомое расстояние $MN$:

$$MN=\sqrt{MK^2+NK^2}=\sqrt{8^2+1}=\sqrt{65}$$

Ответ: $MN=\sqrt{65}$.