Стереометрия: расстояние от точки до плоскости и другие задачи

В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.

Задача 1. В основании прямой треугольной призмы с боковым ребром лежит прямоугольный треугольник  с катетами и . Точка -середина ребра , а точка делит ребро в отношении 1 : 2 , считая от вершины . Плоскость пересекает ребро в  точке .

a) Докажите, что точка  -середина ребра ;

б) Найдите расстояние от точки до плоскости .

Рисунок 1 к задаче 1

Строим плоскость . Найдем точку пересечения прямых и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани , поэтому можно провести прямую . Прямая пересечет ребро в точке .

Рисунок 2 к задаче 1

Соединяем точки и штрихуем сечение.

Рисунок 3 к задаче 1

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с вершиной прямого угла треугольника, лежащего в основании призмы.  Направим ось вдоль ребра , ось – вдоль ребра , а ось – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Рисунок 4 к задаче 1

Длина отрезка , поэтому . Поскольку точка – середина отрезка , то ее координаты . Координаты точки .

Определим уравнение плоскости. Коэффициент , так как плоскость не проходит через начало координат.

Вычтем из первого второе уравнение:

Тогда из первого уравнения:

Уравнение плоскости:

Точка принадлежит плоскости, поэтому ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Координаты этой точки по двум осям известны, так как она принадлежит ребру :

Тогда при подстановке в уравнение плоскости получим:

Таким образом, доказано, что точка – середина ребра .

Теперь определим расстояние от точки до плоскости.  Координаты точки : . Расстояние определим по формуле

Ответ: .
Задача 2. В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На ребре отмечена точка так, что . Точки и -середины ребер и соответственно. Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскоcти .

б) Найдите расстояние  от точки до плоскости .

Рисунок 1 к задаче 2

Построим плоскость . Так как она параллельна , то и прямые этой плоскости параллельны , поэтому, зная точки, принадлежащие плоскости, построим прямые, проходящие через эти точки и одновременно параллельные – и .

Рисунок 2 к задаче 2

Теперь соединяем точки сечения отрезками и штрихуем его:

Рисунок 3 к задаче 2

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с точкой .  Направим ось вдоль ребра , ось – вдоль высоты основания , а ось – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Для этого понадобится знание высот ы основания – длины отрезка :

Рисунок 4 к задаче 2

Тогда
Определяем коэффициенты уравнения плоскости:

Вычитание третьего уравнения из первого дает , следовательно, , .

Уравнение плоскости

Координаты нормали

Найдем координаты направляющего вектора прямой . Координаты точки – они и будут координатами направляющего вектора прямой.

Так как соответствующие координаты вектора нормали и координаты вектора относятся друг к другу с постоянным коэффициентом:

То указанные вектора коллинеарны, а следовательно, вектор перпендикулярен плоскости.

Определим расстояние от  точки до плоскости.

Координаты точки : .

Ответ: .

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно , а высота пирамиды равна . Точки и – середины ребер и соответственно, -высота пирамиды с вершиной и основанием .

a) докажите, что точка Т -середина отрезка ;

б) Найдите расстояние между прямыми и .

Рисунок 1 к задаче 3

Рисунок 2 к задаче 3

Определим апофему пирамиды.

Тогда треугольник – равносторонний со стороной, равной 2. Следовательно, высота пирамиды с вершиной и основанием – отрезок – его высота, медиана и биссектриса. Пункт а) доказан.

Рисунок 3 к задаче 3

Рассмотрим треугольник . Длина отрезка – искомое расстояние.
Для подобных треугольников   и запишем отношение сходственных сторон:

Ответ: .

Задача 4. На ребре куба  взята середина , а на ребре – такая точка ‚ что . Найдите длину кратчайшего пути из точки в точку по поверхности куба.

Чтобы найти кратчайший путь из пункта А в пункт В – нужно срезать. То есть в идеале – пройти по гипотенузе. Нарисовать кратчайший путь нам мешает ребро куба – сгиб. Так давайте разогнем – развернем поверхность куба!

Рисунок 1 к задаче 4

В треугольнике катеты , а , поэтому искомое расстояние :

Ответ: .