Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: расстояние от точки до плоскости и другие задачи

В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.

Задача 1. В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 с боковым ребром AA_1=\sqrt{2} лежит прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 4 и BC = 16. Точка Q -середина ребра A_1B_1, а точка P делит ребро B_1C_1 в отношении 1 : 2 , считая от вершины C_1. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в  точке M .

a) Докажите, что точка M -середина ребра CC_1;

б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ .

Рисунок 1 к задаче 1

Строим плоскость APQ. Найдем точку пересечения прямых PQ и A_1C_1 – точку D. Эта точка принадлежит плоскости грани ACC_1, поэтому можно провести прямую AD. Прямая AD пересечет ребро CC_1 в точке M.

Рисунок 2 к задаче 1

Соединяем точки P, Q, A, M и штрихуем сечение.

Рисунок 3 к задаче 1

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с вершиной прямого угла треугольника, лежащего в основании призмы.  Направим ось X вдоль ребра CA, ось Y – вдоль ребра СB, а ось Z – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Рисунок 4 к задаче 1

Длина отрезка C_1P=\frac{16}{3}, поэтому P (0; 0; \frac{16}{3}). Поскольку точка Q – середина отрезка A_1B_1, то ее координаты Q (2; 8; 4\sqrt{2}). Координаты точки A (4; 0;0).

Определим уравнение плоскости. Коэффициент d \neq 0, так как плоскость не проходит через начало координат.

    \[\begin{Bmatrix}{ \frac{16}{3}b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{2a+8b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{ 4a+1=0}\end{matrix}\]

Вычтем из первого второе уравнение:

    \[\begin{Bmatrix}{ \frac{16}{3}b-2a-8b=0}\\{2a+8b+4\sqrt{2}c+1=0}\\{ a=-\frac{1}{4}}\end{matrix}\]

Тогда из первого уравнения:

    \[-\frac{8}{3}b+\frac{1}{2}=0\]

    \[b=\frac{3}{16}\]

    \[c=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\]

Уравнение плоскости:

    \[-\frac{1}{4}x+\frac{3}{16}y-\frac{1}{2\sqrt{2}}z+1=0\]

Точка M принадлежит плоскости, поэтому ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Координаты этой точки по двум осям известны, так как она принадлежит ребру CC_1: M (0; 0; z_M)

Тогда при подстановке в уравнение плоскости получим:

    \[-\frac{1}{4}\cdot0+\frac{3}{16}\cdot0-\frac{1}{2\sqrt{2}}z_M+1=0\]

    \[z_M=2\sqrt{2}\]

Таким образом, доказано, что точка M – середина ребра CC_1.

Теперь определим расстояние от точки A_1 до плоскости.  Координаты точки A_1: A_1 (4; 0; 4\sqrt{2}). Расстояние определим по формуле

    \[l=\frac{\mid ax_{A_1}+by_{A_1}+cz_{A_1} \mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\mid -4\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{16}\cdot 0-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot 4\sqrt{2} \mid}{\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{16}\right)^2+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}}=\]

    \[=\frac{-1-2+1}{\frac{\sqrt{57}}{16}}=\frac{32}{\sqrt{57}}\]

Ответ: l=\frac{32}{\sqrt{57}}.
Задача 2. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA_1 равно 3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK = 1. Точки M и L -середины ребер A_1C_1 и B_1C_1 соответственно. Плоскость \gamma параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскоcти \gamma.

б) Найдите расстояние  от точки C до плоскости \gamma .

Рисунок 1 к задаче 2

Построим плоскость \gamma. Так как она параллельна AC, то и прямые этой плоскости параллельны AC, поэтому, зная точки, принадлежащие плоскости, построим прямые, проходящие через эти точки и одновременно параллельные ACKN и PL.

Рисунок 2 к задаче 2

Теперь соединяем точки сечения отрезками и штрихуем его:

Рисунок 3 к задаче 2

Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с точкой M.  Направим ось X вдоль ребра A_1C_1, ось Y – вдоль высоты основания MB_1, а ось Z – вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Для этого понадобится знание высот ы основания – длины отрезка MB_1:

    \[MB_1=AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]

Рисунок 4 к задаче 2

Тогда M (0; 0; 0), L(1,5; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0), K(-2; \frac{\sqrt{3}}{2}; 3), P(-1,5; \frac{3\sqrt{3}}{2}; 0)
Определяем коэффициенты уравнения плоскости:

    \[\begin{Bmatrix}{ 1,5 a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+1=0}\\{-2a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+3c+1=0}\\{ -1,5a+\frac{3\sqrt{3}}{2}b+1=0}\end{matrix}\]

Вычитание третьего уравнения из первого дает a=0, следовательно, b=-\frac{2}{3\sqrt{3}}, c=-\frac{2}{9}.

Уравнение плоскости

    \[-\frac{2}{3\sqrt{3}}y-\frac{2}{9}z+1=0\]

Координаты нормали \vec{n} (0; -\frac{2}{3\sqrt{3}}; -\frac{2}{9})

Найдем координаты направляющего вектора прямой MB. Координаты точки B (0; 3\sqrt{3}; 3) – они и будут координатами направляющего вектора прямой.

Так как соответствующие координаты вектора нормали и координаты вектора BM относятся друг к другу с постоянным коэффициентом:

    \[\frac{y_n}{y_{BM}}=\frac{z_n}{z_{BM}}=-\frac{2}{27}\]

То указанные вектора коллинеарны, а следовательно, вектор \vec{BM} перпендикулярен плоскости.

Определим расстояние от  точки C до плоскости.

Координаты точки C: C(3; 0; 3).

    \[l=\frac{\mid n_x\cdotC_x+n_y\cdotC_y+n_z\cdot C_z+d \mid}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}=\frac{\mid 0\cdot3 -\frac{2}{3\sqrt{3}}\cdot0-\frac{2}{9}\cdot 3 +1\mid}{\sqrt{\left(\frac{2}{3\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{12+4}}=\frac{3}{4}\]

Ответ: l=\frac{3}{4}.

 

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно \sqrt{5}, а высота SH пирамиды равна \sqrt{3}. Точки M и N – середины ребер CD и АB соответственно, NT -высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD.

a) докажите, что точка Т -середина отрезка SM;

б) Найдите расстояние между прямыми NT и SC.

Рисунок 1 к задаче 3

Рисунок 2 к задаче 3

Определим апофему пирамиды.

    \[AH^2= AS^2-SH^2=5-3=2\]

    \[AC=2AH=2\sqrt{2}\]

    \[AB =2\]

    \[SN^2=AS^2-AN^2\]

    \[SN=\sqrt{5-1}=2\]

Тогда треугольник NSM – равносторонний со стороной, равной 2. Следовательно, высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD – отрезок NT – его высота, медиана и биссектриса. Пункт а) доказан.

Рисунок 3 к задаче 3

Рассмотрим треугольник DSC. Длина отрезка TK – искомое расстояние.
Для подобных треугольников  SCM и STK запишем отношение сходственных сторон:

    \[\frac{ST}{SC}=\frac{TK}{MC}\]

    \[TK=\frac{ST\cdotMC}{SC}=\frac{1\cdot1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]

Ответ: TK=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Задача 4. На ребре BC = 4 куба ABCDA_1B_1C_1D_1  взята середина M, а на ребре A_1D_1 – такая точка N ‚ что A_1N= 1. Найдите длину кратчайшего пути из точки M в точку N по поверхности куба.

Чтобы найти кратчайший путь из пункта А в пункт В – нужно срезать. То есть в идеале – пройти по гипотенузе. Нарисовать кратчайший путь нам мешает ребро куба – сгиб. Так давайте разогнем – развернем поверхность куба!

Рисунок 1 к задаче 4

В треугольнике MNK катеты MK=8, а NK=1, поэтому искомое расстояние MN:

    \[MN=\sqrt{MK^2+NK^2}=\sqrt{8^2+1}=\sqrt{65}\]

Ответ: MN=\sqrt{65}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *