В этой статье будем определять различные расстояния: от точки до плоскости, между прямыми, и даже будем определять кратчайшее расстояние от точки до точки по поверхности куба.
Задача 1. В основании прямой треугольной призмы с боковым ребром
лежит прямоугольный треугольник
с катетами
и
. Точка
-середина ребра
, а точка
делит ребро
в отношении 1 : 2 , считая от вершины
. Плоскость
пересекает ребро
в точке
.
a) Докажите, что точка -середина ребра
;
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
.

Рисунок 1 к задаче 1
Строим плоскость . Найдем точку пересечения прямых
и
– точку
. Эта точка принадлежит плоскости грани
, поэтому можно провести прямую
. Прямая
пересечет ребро
в точке
.

Рисунок 2 к задаче 1
Соединяем точки и штрихуем сечение.

Рисунок 3 к задаче 1
Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с вершиной прямого угла треугольника, лежащего в основании призмы. Направим ось вдоль ребра
, ось
– вдоль ребра
, а ось
– вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.

Рисунок 4 к задаче 1
Длина отрезка , поэтому
. Поскольку точка
– середина отрезка
, то ее координаты
. Координаты точки
.
Определим уравнение плоскости. Коэффициент , так как плоскость не проходит через начало координат.
Вычтем из первого второе уравнение:
Тогда из первого уравнения:
Уравнение плоскости:
Точка принадлежит плоскости, поэтому ее координаты должны удовлетворять полученному уравнению. Координаты этой точки по двум осям известны, так как она принадлежит ребру
:
Тогда при подстановке в уравнение плоскости получим:
Таким образом, доказано, что точка – середина ребра
.
Теперь определим расстояние от точки до плоскости. Координаты точки
:
. Расстояние определим по формуле
Ответ: .
Задача 2. В правильной треугольной призме сторона
основания равна 6, а боковое ребро
равно 3. На ребре
отмечена точка
так, что
. Точки
и
-середины ребер
и
соответственно. Плоскость
параллельна прямой
и содержит точки
и
.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскоcти .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости
.

Рисунок 1 к задаче 2
Построим плоскость . Так как она параллельна
, то и прямые этой плоскости параллельны
, поэтому, зная точки, принадлежащие плоскости, построим прямые, проходящие через эти точки и одновременно параллельные
–
и
.

Рисунок 2 к задаче 2
Теперь соединяем точки сечения отрезками и штрихуем его:

Рисунок 3 к задаче 2
Решим эту задачу координатно-векторным способом. Введем систему координат так, что ее начало совпадет с точкой . Направим ось
вдоль ребра
, ось
– вдоль высоты основания
, а ось
– вверх. Определим координаты точек, принадлежащих плоскости сечения.
Для этого понадобится знание высот ы основания – длины отрезка :

Рисунок 4 к задаче 2
Тогда
Определяем коэффициенты уравнения плоскости:
Вычитание третьего уравнения из первого дает , следовательно,
,
.
Уравнение плоскости
Координаты нормали
Найдем координаты направляющего вектора прямой . Координаты точки
– они и будут координатами направляющего вектора прямой.
Так как соответствующие координаты вектора нормали и координаты вектора относятся друг к другу с постоянным коэффициентом:
То указанные вектора коллинеарны, а следовательно, вектор перпендикулярен плоскости.
Определим расстояние от точки до плоскости.
Координаты точки :
.
Ответ: .
Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро
равно
, а высота
пирамиды равна
. Точки
и
– середины ребер
и
соответственно,
-высота пирамиды с вершиной
и основанием
.
a) докажите, что точка Т -середина отрезка ;
б) Найдите расстояние между прямыми и
.

Рисунок 1 к задаче 3

Рисунок 2 к задаче 3
Определим апофему пирамиды.
Тогда треугольник – равносторонний со стороной, равной 2. Следовательно, высота пирамиды с вершиной
и основанием
– отрезок
– его высота, медиана и биссектриса. Пункт а) доказан.

Рисунок 3 к задаче 3
Рассмотрим треугольник . Длина отрезка
– искомое расстояние.
Для подобных треугольников и
запишем отношение сходственных сторон:
Ответ: .
Задача 4. На ребре куба
взята середина
, а на ребре
– такая точка
‚ что
. Найдите длину кратчайшего пути из точки
в точку
по поверхности куба.
Чтобы найти кратчайший путь из пункта А в пункт В – нужно срезать. То есть в идеале – пройти по гипотенузе. Нарисовать кратчайший путь нам мешает ребро куба – сгиб. Так давайте разогнем – развернем поверхность куба!

Рисунок 1 к задаче 4
В треугольнике катеты
, а
, поэтому искомое расстояние
:
Ответ: .
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...
В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :)))...
Да, в самом конце ошиблась при подстановке. Исправлено,...
в первой задаче скорость vx в конце равна v0cosa, а косинус равен 0,5 а у вас корень из 3...