Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия. Площадь сечения через площадь проекции сечения.

Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь “в лоб”. Умный гору обойдет… И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом – дальше.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами AB=4BC=З и AA1=2 точки P и Q -середины ребер A1B1 и CC1 соответственно. Плоскость APQ пересекает ребро B1C1 в точке W.

а) Докажите, что B_1W: WC_1 = 2 : 1;

б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью APQ.

Рисунок 1 – к задаче 1

Построим сечение. Построим прямую AP – ведь точки A и P принадлежат одной грани. Построим прямую BB_1 и найдем точку пересечения прямой AP и прямой BB_1 – точку V.

Рисунок 2 – к задаче 1

Эта точка принадлежит как плоскости грани ABB_1, так и плоскости грани B_1BC. Проведем прямую VQ и определим точку пересечения этой прямой с ребром B_1C_1 – точку W.

Рисунок 3 – к задаче 1

Построим линии, по которым сечение «режет» грани параллелепипеда: AP, PW, WQ.

Рисунок 4 – к задаче 1

Теперь построим прямую BC и определим точку ее пересечения с прямой WQ – точка X пересечения лежит в плоскости верхней грани, и это позволяет соединить ее с точкой A. Теперь найдем место пересечения отрезка AX с ребром DC – точку Y, и можно обводить и штриховать сечение:

Рисунок 5 – к задаче 1

Докажем пункт а). Рассмотрим треугольники A_1AP и YCQ. Они подобны, так как образованы параллельными прямыми: AP\parallel YQ. Так как CQ=\frac{1}{2}CC_1, то коэффициент подобия этих треугольников – \frac{1}{2}. Тогда YC=\frac{1}{2}A_1P=\frac{1}{4}DC. Так как треугольники ABX и YCX также подобны с коэффициентом \frac{1}{4}, то CX=\frac{1}{4}BX=\frac{1}{3}BC.  Но треугольники CXQ и QWC_1 равны по 2 признаку, следовательно, CX=WC_1, или WC_1=\frac{1}{3}B_1C_1, то есть B_1W : WC_1 = 2 : 1.

б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник A_1PWC_1Z – выделено голубым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 1

Площадь основания параллелепипеда равна 12, отрезаем треугольник PB_1W: PB_1=2 по условию, B_1W=2 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

    \[S_{PB_1W}=\frac{PB_1 \cdot B_1W}{2}=2\]

Отрезаем треугольник A_1ZD_1: A_1D_1=3 по условию, D_1Z=3 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

    \[S_{ A_1ZD_1}=\frac{PB_1 \cdot B_1W}{2}=4,5\]

Тогда площадь проекции равна

    \[S_{pr}=12-2-4,5=5,5\]

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла  – или любую другую тригонометрическую функцию – угла YWZ. Рассмотрим треугольник YWZ. Он прямоугольный, катет YZ=2 (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка WZ может быть найдена из треугольника WC_1Z:

    \[WZ^2=WC_1^2+C_1Z^2\]

По ранее доказанному WC_1=1, ZC_1=YC=\frac{1}{2}A_1P=\frac{1}{4}DC=1.

    \[WZ=\sqrt{ WC_1^2+C_1Z^2}=\sqrt{2}\]

    \[WY^2=WZ^2+ZY^2=2^2+2=6\]

Тогда

    \[\cos{\angle YWZ}=\frac{WZ}{WY}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

Площадь сечения равна

    \[S=\frac{ S_{pr}}{\cos{\angle YWZ}}=5,5\sqrt{3}\]

Ответ: S=5,5\sqrt{3}.

Задача 2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 4\sqrt{3}. На ребрах AB, A1C1 и C1D1  отмечены точки M, N и K  соответственно, причем AM=A1N=C1K=1.

а) Пусть L –  точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL –  квадрат;

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Рисунок 1 – к задаче 2

Проведем прямую NK и через точку M – параллельную ей прямую, так как плоскость сечет противоположные грани параллелепипеда (прямой призмы) по параллельным прямым:

Рисунок 2 – к задаче 2

Найдем точку пересечения прямой DC и ML – точку E. Эта точка принадлежит плоскости грани DCC_1. Поэтому ее можно соединить с  точкой K отрезком, который пересечет ребро CC_1 в точке G. Найдем точку пересечения прямой NK и A_1B_1 – точку F. Эта точка принадлежит плоскости грани ABB_1. Поэтому ее можно соединить с  точкой M отрезком, который пересечет ребро AA_1 в точке H.

Рисунок 3 – к задаче 2

Рисунок 4 – к задаче 2

Соединяя точки N, H, M, L, G, K, получим искомое сечение.

Докажем, что MNKL –  квадрат.

Рисунок 5 – к задаче 2

Так как отрезки ML и NK принадлежат одной плоскости (плоскости сечения) и одновременно параллельным плоскостям верхнего и нижнего оснований призмы, то они параллельны. Также ML=NK=5\sqrt{2}.

MN и LK – диагонали прямых правильных призм со стороной основания 1 и высотой 4\sqrt{3}. Тогда

    \[MN=LK=\sqrt{AM^2+A_1N^2+AA_1^2}=\sqrt{1^2+1^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{50}\]

Получается, MNKL – как минимум, ромб. И по признаку параллелограмма, так как противоположные стороны попарно равны, то MNKL – квадрат.

б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник JIC_1KNA_1 – выделено фиолетовым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 2

Площадь основания призмы равна 36, отрезаем треугольник NKD_1: KD_1=5 по условию, D_1N=5 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

    \[S_{PB_1W}=\frac{KD_1\cdot D_1N}{2}=12,5\]

Отрезаем треугольник JB_1I: JB_1=5 по условию, B_1I=5 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

    \[S_{ JB_1I}=\frac{JB_1 \cdot B_1I}{2}=12,5\]

Тогда площадь проекции равна

    \[S_{pr}=36-12,5-12,5=11\]

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла  – или любую другую тригонометрическую функцию – угла LKI. Рассмотрим треугольник LKI. Он прямоугольный, катет LI=4\sqrt{3} (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка IK может быть найдена из треугольника IC_1K:

    \[IK^2=IC_1^2+C_1K^2\]

По ранее доказанному IC_1=1, C_1K=1.

    \[IK=\sqrt{ IC_1^2+C_1K^2}=\sqrt{2}\]

    \[LK^2=IL^2+IK^2=(4\sqrt{3})^2+2=50\]

Тогда

    \[\cos{\angle LKI}=\frac{KI}{LK}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5}\]

Площадь сечения равна

    \[S=\frac{ S_{pr}}{\cos{\angle LKI}}=55\]

Ответ: S=55.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *