Стереометрия. Площадь сечения через площадь проекции сечения.

Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь “в лоб”. Умный гору обойдет… И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом – дальше.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с ребрами ‚ и точки и -середины ребер и соответственно. Плоскость пересекает ребро  в точке .

а) Докажите, что ;

б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью .

Рисунок 1 – к задаче 1

Построим сечение. Построим прямую – ведь точки и принадлежат одной грани. Построим прямую и найдем точку пересечения прямой и прямой – точку .

Рисунок 2 – к задаче 1

Эта точка принадлежит как плоскости грани , так и плоскости грани . Проведем прямую и определим точку пересечения этой прямой с ребром – точку .

Рисунок 3 – к задаче 1

Построим линии, по которым сечение «режет» грани параллелепипеда: .

Рисунок 4 – к задаче 1

Теперь построим прямую и определим точку ее пересечения с прямой – точка пересечения лежит в плоскости верхней грани, и это позволяет соединить ее с точкой . Теперь найдем место пересечения отрезка с ребром – точку , и можно обводить и штриховать сечение:

Рисунок 5 – к задаче 1

Докажем пункт а). Рассмотрим треугольники и . Они подобны, так как образованы параллельными прямыми: . Так как , то коэффициент подобия этих треугольников – . Тогда . Так как треугольники и также подобны с коэффициентом , то .  Но треугольники и равны по 2 признаку, следовательно, , или , то есть .

б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено голубым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 1

Площадь основания параллелепипеда равна 12, отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

Отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

Тогда площадь проекции равна

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла  – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, катет (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника :

По ранее доказанному , .

Тогда

Площадь сечения равна

Ответ: .

Задача 2. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На ребрах и  отмечены точки и  соответственно, причем .

а) Пусть –  точка пересечения плоскости с ребром . Докажите, что –  квадрат;

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью .

Рисунок 1 – к задаче 2

Проведем прямую и через точку – параллельную ей прямую, так как плоскость сечет противоположные грани параллелепипеда (прямой призмы) по параллельным прямым:

Рисунок 2 – к задаче 2

Найдем точку пересечения прямой и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани . Поэтому ее можно соединить с  точкой отрезком, который пересечет ребро в точке . Найдем точку пересечения прямой и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани . Поэтому ее можно соединить с  точкой отрезком, который пересечет ребро в точке .

Рисунок 3 – к задаче 2

Рисунок 4 – к задаче 2

Соединяя точки , , , , , , получим искомое сечение.

Докажем, что –  квадрат.

Рисунок 5 – к задаче 2

Так как отрезки и принадлежат одной плоскости (плоскости сечения) и одновременно параллельным плоскостям верхнего и нижнего оснований призмы, то они параллельны. Также .

и – диагонали прямых правильных призм со стороной основания 1 и высотой . Тогда

Получается, – как минимум, ромб. И по признаку параллелограмма, так как противоположные стороны попарно равны, то – квадрат.

б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено фиолетовым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 2

Площадь основания призмы равна 36, отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

Отрезаем треугольник : по условию, по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

Тогда площадь проекции равна

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла  – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, катет (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника :

По ранее доказанному , .

Тогда

Площадь сечения равна

Ответ: .