Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь “в лоб”. Умный гору обойдет… И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом – дальше.
Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с ребрами
‚
и
точки
и
-середины ребер
и
соответственно. Плоскость
пересекает ребро
в точке
.
а) Докажите, что ;
б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью .

Рисунок 1 – к задаче 1
Построим сечение. Построим прямую – ведь точки
и
принадлежат одной грани. Построим прямую
и найдем точку пересечения прямой
и прямой
– точку
.

Рисунок 2 – к задаче 1
Эта точка принадлежит как плоскости грани , так и плоскости грани
. Проведем прямую
и определим точку пересечения этой прямой с ребром
– точку
.

Рисунок 3 – к задаче 1
Построим линии, по которым сечение «режет» грани параллелепипеда: .

Рисунок 4 – к задаче 1
Теперь построим прямую и определим точку ее пересечения с прямой
– точка
пересечения лежит в плоскости верхней грани, и это позволяет соединить ее с точкой
. Теперь найдем место пересечения отрезка
с ребром
– точку
, и можно обводить и штриховать сечение:

Рисунок 5 – к задаче 1
Докажем пункт а). Рассмотрим треугольники и
. Они подобны, так как образованы параллельными прямыми:
. Так как
, то коэффициент подобия этих треугольников –
. Тогда
. Так как треугольники
и
также подобны с коэффициентом
, то
. Но треугольники
и
равны по 2 признаку, следовательно,
, или
, то есть
.
б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено голубым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 1
Площадь основания параллелепипеда равна 12, отрезаем треугольник :
по условию,
по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Отрезаем треугольник :
по условию,
по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Тогда площадь проекции равна
Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник
. Он прямоугольный, катет
(равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка
может быть найдена из треугольника
:
По ранее доказанному ,
.
Тогда
Площадь сечения равна
Ответ: .
Задача 2. В правильной четырехугольной призме сторона
основания равна 6, а боковое ребро
равно
. На ребрах
и
отмечены точки
и
соответственно, причем
.
а) Пусть – точка пересечения плоскости
с ребром
. Докажите, что
– квадрат;
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью .

Рисунок 1 – к задаче 2
Проведем прямую и через точку
– параллельную ей прямую, так как плоскость сечет противоположные грани параллелепипеда (прямой призмы) по параллельным прямым:

Рисунок 2 – к задаче 2
Найдем точку пересечения прямой и
– точку
. Эта точка принадлежит плоскости грани
. Поэтому ее можно соединить с точкой
отрезком, который пересечет ребро
в точке
. Найдем точку пересечения прямой
и
– точку
. Эта точка принадлежит плоскости грани
. Поэтому ее можно соединить с точкой
отрезком, который пересечет ребро
в точке
.

Рисунок 3 – к задаче 2

Рисунок 4 – к задаче 2
Соединяя точки ,
,
,
,
,
, получим искомое сечение.
Докажем, что – квадрат.

Рисунок 5 – к задаче 2
Так как отрезки и
принадлежат одной плоскости (плоскости сечения) и одновременно параллельным плоскостям верхнего и нижнего оснований призмы, то они параллельны. Также
.
и
– диагонали прямых правильных призм со стороной основания 1 и высотой
. Тогда
Получается, – как минимум, ромб. И по признаку параллелограмма, так как противоположные стороны попарно равны, то
– квадрат.
б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено фиолетовым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 2
Площадь основания призмы равна 36, отрезаем треугольник :
по условию,
по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Отрезаем треугольник :
по условию,
по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,
Тогда площадь проекции равна
Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла . Рассмотрим треугольник
. Он прямоугольный, катет
(равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка
может быть найдена из треугольника
:
По ранее доказанному ,
.
Тогда
Площадь сечения равна
Ответ: .
Спасибо, да, квадрат g был лишним....
Анна, проверьте ответ к задаче 1 про шарик в сферической лунке. Там размерности не...
[latexpage] $$\upsilon_0\sin \alpha-gt=0$$ $$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha}{g}$$ $$h=\upsilon_0\sin \alpha...
А откуда берутся формула в 24...
Да,...