Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: объемы вписанных и описанных тел

В статье предложены решения некоторых задач на объемы вписанных и описанных конусов, сфер, пирамид, а также на определение по данному объему длины основания призмы или наоборот, объема по данной площади сечения.

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около нее описан другой конус с радиусом основания R. Найдите разность объемов этих конусов.

Понятно, что высота пирамиды и высоты обоих конусов совпадают. То есть, высота обоих конусов H. Остается определить радиусы оснований. Для описанного конуса радиус  R равен стороне основания пирамиды. Таким образом, радиус основания вписанного конуса равен высоте правильного треугольника со стороной R, то есть r=\frac{R\sqrt{3}}{2}.

Определим объем вписанного конуса:

    \[V_{vpis}=\frac{1}{3} \pi r^2 H=\frac{1}{4} \pi R^2 H\]

Объем описанного конуса:

    \[V_{opis}=\frac{1}{3} \pi R^2 H\]

Определяем разность объемов:

    \[V_{opis}- V_{vpis}=\pi R^2 H \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{12} \pi R^2 H\]

Ответ: V_{opis}- V_{vpis}=\frac{1}{12} \pi R^2 H.

Задача 2. Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найдите разность объемов пирамиды и конуса.

Конус будет касаться сторон пирамиды так, что его образующая равна апофеме (они совпадают). Диаметр основания конуса будет равен стороне основания пирамиды. Определим теперь радиус основания конуса.

Радиус сферы AO=OD=1, следовательно, BO=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}.

Тогда треугольник BOD является египетским, и его сторона BD=\frac{3}{4}.

Из подобия треугольников BOD и ABC следует:

    \[\frac{AC}{AB}=\frac{OD}{BD}\]

Или

    \[R_k=AC=\frac{AB \cdot OD}{BD}=3\]

Тогда диаметр основания конуса 6, такова же и сторона пирамиды. Определим площадь основания пирамиды: S_{pir}=a^2=36, а площадь основания конуса равна S_k=\pi R_k^2=9\pi. Надо найти разность объемов пирамиды и конуса:

    \[V_{pir}-V_k=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot \frac{9}{4}-\frac{1}{3}\cdot 9\pi \cdot\frac{9}{4}=\frac{108-27 \pi}{4}\]

Ответ: V_{pir}-V_k=\frac{108-27 \pi}{4}.

Задача 3. Через вершину S конуса проходит плоское сечение SАВ площадью 42. Точки А и В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5 . Найдите объем конуса, если \angle SAB = \аrccos{\frac{3}{\sqrt{58}}.

Так как точки А и В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5, то угол между радиусами OA и OB равен \frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}. То есть треугольник AOB – правильный, и основание треугольника сечения равно радиусу конуса.

Запишем теорему косинусов для треугольника сечения:

    \[l^2=l^2+R^2-2lR\cos {\alpha}\]

Откуда

    \[R=2l\cos{\alpha}\]

Площадь сечения можно определить по формуле

    \[S=\frac{1}{2}a\cdot b \sin{\alpha}\]

Где a – основание сечения, a=R, b – образующая, b=l.

Зная косинус угла SAB, определим синус через основное тригонометрическое тождество:

    \[\sin{\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{58}}=\frac{7}{\sqrt{58}}\]

Тогда площадь сечения равна:

    \[S=\frac{1}{2}l\cdot R \sin{\alpha}=\frac{1}{2}l\cdot 2l\cos{\alpha} \sin{\alpha}=42\]

    \[l^2\cdot \cos{\alpha} \sin{\alpha}=42\]

    \[l^2=\frac{42}{\cos{\alpha} \sin{\alpha}}=\frac{42}{\frac{7}{\sqrt{58}}\cdot \frac{3}{\sqrt{58}}}=116\]

Тогда

    \[R=2\sqrt{2\cdot58}\cdot\frac{3}{\sqrt{58}}}=6\sqrt{2}\]

Теперь и объем легко определить:

    \[V=\frac{1}{3}\pi R^2 H\]

Где

    \[H=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{116-72}=\sqrt{44}\]

    \[V=\frac{1}{3}\pi R^2 H=\frac{1}{3}\pi \cdot72\cdot \sqrt{44}=48\pi \sqrt{11}\]

Ответ: V=48\pi \sqrt{11}


Задача 4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и образует с двумя смежными гранями углы {\alpha} и {\beta} соответственно.
Пусть ребра параллелепипеда равны c, l и h (высота). Тогда, если диагональ параллелепипеда равна d, то

    \[l=d\sin{\alpha}\]

    \[c=d\sin {\beta}\]

Определим высоту параллелепипеда по теореме Пифагора:

    \[h^2=d^2- d^2\sin^2{\alpha}- d^2\sin^2 {\beta}\]

А объем такого параллелепипеда равен

    \[V=c l h=d^3 \sin {\alpha} \sin {\beta}\sqrt{1- \sin^2 {\alpha}-\sin^2 {\beta}}\]

Задача 5. Найдите сторону основания правильной треугольной призмы объемом V, если угол между диагоналями двух ее боковых граней, проведенными из одной вершины, равен \alpha.

По теореме косинусов

    \[a^2=2l^2-2l^2\cos{\alpha}\]

С другой стороны, по теореме Пифагора,

    \[l^2-a^2=h^2\]

Тогда

    \[h^2=2l^2\cos{\alpha}-l^2\]

Объем призмы будет равен

    \[V=S_{osn}h=\frac{1}{2}a\cdot h_{osn}\cdot h=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot h=\frac{a^2h\sqrt{3}}{4}\]

    \[V=2l^2(1-\cos{\alpha})\cdot l\sqrt{2\cos{\alpha}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=l^3(1-\cos{\alpha})\cdot\sqrt{2\cos{\alpha}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Откуда

    \[l=\sqrt[3]{\frac{2V}{\sqrt{3}(1-\cos{\alpha})\cdot\sqrt{2\cos{\alpha}-1}}}\]

Поскольку a=l\sqrt{2(1-\cos{\alpha})}, то

    \[a=\sqrt[3]{\frac{2V}{\sqrt{3}\cdot(1-\cos{\alpha})\cdot\sqrt{2\cos{\alpha}-1}}}\cdot\sqrt{2(1-\cos{\alpha})}=\]

    \[=\sqrt[3]{\frac{8V\sqrt{2(1-\cos{\alpha})}}{\sqrt{3(2\cos{\alpha}-1)}}}=\sqrt[3]{\frac{8V\sin {\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{3(2\cos{\alpha}-1)}}}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *