Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: объемы вписанных и описанных тел

В статье предложены решения некоторых задач на объемы вписанных и описанных конусов, сфер, пирамид, а также на определение по данному объему длины основания призмы или наоборот, объема по данной площади сечения.

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около нее описан другой конус с радиусом основания R. Найдите разность объемов этих конусов.

Понятно, что высота пирамиды и высоты обоих конусов совпадают. То есть, высота обоих конусов . Остается определить радиусы оснований. Для описанного конуса радиус  равен стороне основания пирамиды. Таким образом, радиус основания вписанного конуса равен высоте правильного треугольника со стороной , то есть .

Определим объем вписанного конуса:

   

Объем описанного конуса:

   

Определяем разность объемов:

   

Ответ: .

Задача 2. Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найдите разность объемов пирамиды и конуса.

Конус будет касаться сторон пирамиды так, что его образующая равна апофеме (они совпадают). Диаметр основания конуса будет равен стороне основания пирамиды. Определим теперь радиус основания конуса.

Радиус сферы , следовательно, .

Тогда треугольник является египетским, и его сторона .

Из подобия треугольников и следует:

   

Или

   

Тогда диаметр основания конуса 6, такова же и сторона пирамиды. Определим площадь основания пирамиды: , а площадь основания конуса равна . Надо найти разность объемов пирамиды и конуса:

   

Ответ: .

Задача 3. Через вершину S конуса проходит плоское сечение SАВ площадью 42. Точки А и В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5 . Найдите объем конуса, если .

Так как точки А и В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5, то угол между радиусами и равен . То есть треугольник – правильный, и основание треугольника сечения равно радиусу конуса.

Запишем теорему косинусов для треугольника сечения:

   

Откуда

   

Площадь сечения можно определить по формуле

   

Где – основание сечения, , – образующая, .

Зная косинус угла , определим синус через основное тригонометрическое тождество:

   

Тогда площадь сечения равна:

   

   

   

Тогда

   

Теперь и объем легко определить:

   

Где

   

   

Ответ:


Задача 4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и образует с двумя смежными гранями углы {\alpha} и {\beta} соответственно.
Пусть ребра параллелепипеда равны , и (высота). Тогда, если диагональ параллелепипеда равна , то

   

   

Определим высоту параллелепипеда по теореме Пифагора:

   

А объем такого параллелепипеда равен

   

Задача 5. Найдите сторону основания правильной треугольной призмы объемом , если угол между диагоналями двух ее боковых граней, проведенными из одной вершины, равен .

По теореме косинусов

   

С другой стороны, по теореме Пифагора,

   

Тогда

   

Объем призмы будет равен

   

   

Откуда

   

Поскольку , то

   

   

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *