Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: координатно-векторный способ и теорема Менелая

Задачка попалась не то чтоб сложная, а объемная. И много всего пришлось для ее решения применить и вспомнить, всяких полезных теорем и формул, поэтому привожу решение. Полезная очень задачка.

Задача. На ребрах , и правильного тетраэдра с ребром 1 взяты такие точки , и  соответственно, что и . Плоскость пересекает прямую в точке . Найдите угол между прямыми и .

Рисунок 1

Построим плоскость . Для этого проведем луч до пересечения с лучом . Оба эти луча принадлежат плоскости , и точка их пересечения также принадлежит этой плоскости. Однако она принадлежит и плоскости благодаря принадлежности лучу . Следовательно, можно провести прямую через точку , принадлежащую секущей плоскости и точку , которая тоже ей принадлежит. Прямая пересечет ребра тетраэдра в точке . Соединим точки , ,  и и заштрихуем сечение:

Рисунок 2

Решение. В этой задаче я решила воспользоваться координатно-векторным способом решения. Однако прежде, чем вводить систему координат и определять координаты точек, надо определиться с положением точки . Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

Рисунок 3

   

   

   

Обозначим длину отрезка за , тогда . Подставляем:

   

   

   

Теперь посмотрим на наш тетраэдр с другой стороны и снова составим теорему Менелая:

Рисунок 4

   

   

   

   

Иными словами, .

Вот теперь пришла пора вводить систему координат. В случае правильной пирамиды это удобно сделать, совместив начало координат с серединой одной из сторон основания пирамиды. Тогда ось направим вдоль этой стороны, ось – вдоль высоты основания, ось – вверх. Пусть начало координат располагается в точке .

Высота основания пирамиды равна , длина отрезка , высота пирамиды

   

   

   

Тогда высота пирамиды равна

   

Наконец, можно определять координаты точек, нужных нам.

Рисунок 5

   

Так как точка делит отрезок в отношении от точки , то определим координаты этой точки, как делящей отрезок в заданном отношении:

   

   

   

Итак, координаты точки найдены: .

Теперь мы определим координаты векторов и   и их скалярное произведение, откуда и найдем косинус угла между векторами.

Координаты векторов: , , или  .

Найдем длины векторов:

   

   

Определяем косинус угла:

   

Можно было воспользоваться и теоремой косинусов: зная длины отрезков и , определить также длину отрезка – это можно сделать в треугольнике – и составить теорему косинусов уже для треугольника .

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *