Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Стереометрия: две задачи с применением теоремы Менелая.

Обе задачи очень интересные. Взяты из пособия В.В. Мирошина “ЕГЭ 2018. Тренировочные задания” – первая из варианта 4, вторая – из 27.

Задача 1. Основанием пирамиды   является параллелограмм . Точки  , и расположены на ребрах соответственно, и при этом

   

А) Докажите, что прямые   и пересекаются.

Б) Найдите отношение объема пирамиды к объему пирамиды .

Рисунок 1

Проведем высоту пирамиды. Основание высоты пирамиды – точка пересечения диагоналей параллелограмма . Проведем прямую и рассмотрим треугольник .

Рисунок 2

Рисунок 3

Пусть прямая пересекает высоту в точке . Определим, в каком отношении точка делит высоту . По теореме Менелая для треугольника

   

– диагональ параллелограмма, точка пересечения диагоналей в параллелограмме делит каждую из них пополам, поэтому . Ребро по условию разделили на 4 части, отрезок – одна из них, поэтому , . Тогда . Следовательно,

   

И тогда

   

Теперь рассмотрим плоскость и треугольник . Пусть прямая пересекает высоту в точке . Тогда, если точка делит высоту в таком же отношении, как и точка , то это одна и та же точка, и тогда именно в ней и пересекаются прямые и .

Рисунок 4

Продлим прямые  и до пересечения. Точку пересечения обозначим . Запишем теорему Менелая для треугольника :

   

Отношение по условию (ребро разделили на три части, одна из них – отрезок , две – отрезок ).

Далее необходимо определить длины отрезков и . Для этого рассмотрим подобные треугольники и . Запишем отношения для его сходственных сторон:

   

Или

   

Так как , то из подобных треугольников и   . Из этих же треугольников , следовательно, .

Так как  , то из подобных треугольников и    . Из этих же треугольников , следовательно, .

Тогда

   

Или

   

Или , то есть .

Тогда . Возвращаемся к нашей теореме Менелая:

   

   

Или

   

Перепишем:

   

Мы получили то же отношение, следовательно, точки и совпадают и прямые и в точке пересекаются.

Теперь определим объем пирамиды .

Объем пирамиды можно представить как сумму объемов пирамид и , у которых объемы равны:

   

   

Объем пирамиды можно представить как сумму объемов пирамид и :

Рисунок 5

Рисунок 6

   

Причем у пирамид и одна и та же высота, а также у пирамид и также одна и та же высота. Поэтому

   

И

   

Определим отношения площадей:

   

   

Поэтому

   

   

 

   

Ответ: Б) .

 

Задача 2. Точки  , и расположены на ребрах правильной четырехугольной пирамиды  соответственно, и при этом

   

А) Докажите, что плоскость  проходит через вершину пирамиды .

Б) Найдите  угол между плоскостью и плоскостью основания пирамиды , если , .

Рисунок 7

Если внимательно посмотреть на данные отношения, то можно заметить, что , то есть точки и расположены на одной высоте. Проведем прямую до пересечения с прямой , а прямую – до пересечения с прямой . Обозначим точки этих пересечений соответственно и . Тогда прямая – линия пересечения плоскостей и .

Рисунок 8

Рассмотрим треугольник и пересекающую его прямую . Запишем теорему Менелая:

   

Отношение , тогда

   

Откуда

   

В силу того, что , при записи теоремы Менелая для треугольника и пересекающей его прямой можно найти, что

   

Это означает, что треугольник – равнобедренный прямоугольный, и прямая обязательно пройдет через точку – это можно установить через площадь, например, или определив длину гипотенузы .

   

   

Таким образом, – высота треугольника , а по теореме о трех перпендикулярах наклонная . Следовательно, угол – искомый угол между плоскостями. Определим тангенс этого угла.

   

Найдем длины этих отрезков.

Высота пирамиды равна

   

Рассмотрим подобные  треугольники и , где – основание перпендикуляра, опущенного из точки к плоскости основания.

Рисунок 9

Запишем отношения сходственных сторон:

   

   

   

Тогда , а

   

Тогда

   

Угол будет равен

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *